[Analisi Complessa] Correzione integrale curvilineo.
Ciao a tutti, devo svolgere queste esercizio trovato in rete:
\(\displaystyle \int_{\gamma} \frac{z^{2}RE(z)}{z+2} dz \)
Dove \(\displaystyle \gamma \) è la circonferenza di centro 1e raggio 4 percorsa in senso antiorario.
Scrivo il mio svolgimento:
\(\displaystyle RE(z) = \frac{z+\overline{z}}{2} \)
Andando a sostituire e a simplificare ottengo:
\(\displaystyle \frac{z^{3}}{z+2} \)
La curva la parametrizzo in questo modo:
\(\displaystyle \begin{cases} x(t) = 1+4\cos(t) \\ y(t) = 4sin(t) \end{cases} \)
Con \(\displaystyle t\in[0:2\pi] \)
Quindi scrivo:
\(\displaystyle z(t) = 1+4\cos(t) + 4i\sin(t) \) ossia \(\displaystyle z(t) = 1+4e^{it} \) dove \(\displaystyle dz = 4ie^{it} \)
Sostituendo all'integrale ottengo:
\(\displaystyle \int_{t=0}^{2\pi} \frac{(1+4e^{it})^{3}}{1+4e^{it} +2} * (4ie^{it}) dt \)
L'integrale fa \(\displaystyle -16i\pi \) (Svolto con Wolfram Alpha).
Invece il risultato corretto dovrebbe essere \(\displaystyle -20i\pi \)
Dove sbaglio? C'è un modo più "furbo" per risolvere questo esercizio? In questo modo sembra molto lungo e l'integrale non credo sia immediato.
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle \int_{\gamma} \frac{z^{2}RE(z)}{z+2} dz \)
Dove \(\displaystyle \gamma \) è la circonferenza di centro 1e raggio 4 percorsa in senso antiorario.
Scrivo il mio svolgimento:
\(\displaystyle RE(z) = \frac{z+\overline{z}}{2} \)
Andando a sostituire e a simplificare ottengo:
\(\displaystyle \frac{z^{3}}{z+2} \)
La curva la parametrizzo in questo modo:
\(\displaystyle \begin{cases} x(t) = 1+4\cos(t) \\ y(t) = 4sin(t) \end{cases} \)
Con \(\displaystyle t\in[0:2\pi] \)
Quindi scrivo:
\(\displaystyle z(t) = 1+4\cos(t) + 4i\sin(t) \) ossia \(\displaystyle z(t) = 1+4e^{it} \) dove \(\displaystyle dz = 4ie^{it} \)
Sostituendo all'integrale ottengo:
\(\displaystyle \int_{t=0}^{2\pi} \frac{(1+4e^{it})^{3}}{1+4e^{it} +2} * (4ie^{it}) dt \)
L'integrale fa \(\displaystyle -16i\pi \) (Svolto con Wolfram Alpha).
Invece il risultato corretto dovrebbe essere \(\displaystyle -20i\pi \)
Dove sbaglio? C'è un modo più "furbo" per risolvere questo esercizio? In questo modo sembra molto lungo e l'integrale non credo sia immediato.
Grazie in anticipo.
Risposte
L'integrale da calcolare, dopo aver svolto i prodotti, è della funzione
$$\frac{z^2(z+\bar{z})}{2(z+2)}=\frac{z^3+z|z|^2}{2(z+2)}$$
non quello che hai scritto tu.
$$\frac{z^2(z+\bar{z})}{2(z+2)}=\frac{z^3+z|z|^2}{2(z+2)}$$
non quello che hai scritto tu.
Grazie per la risposta.
Riscrivendo i passaggi , da questo:
\(\displaystyle \frac{z^{2} (z+\overline{z})}{2(z+2)} \)
sostituisco:
\(\displaystyle z = x+iy \)
\(\displaystyle \overline{z} = x-iy\)
Quindi:
\(\displaystyle \frac{(x+iy)^{2} * (x+iy +x-iy)}{2(x+iy +2)} \)
E quindi posso scrivere: \(\displaystyle \frac{2z^{3}}{2(z+2)} \) che semplificando diventa \(\displaystyle \frac{z^{3}}{z+2} \)
Perchè il modulo? z potrebbe essere < 0 ?
Grazie ancora.
Riscrivendo i passaggi , da questo:
\(\displaystyle \frac{z^{2} (z+\overline{z})}{2(z+2)} \)
sostituisco:
\(\displaystyle z = x+iy \)
\(\displaystyle \overline{z} = x-iy\)
Quindi:
\(\displaystyle \frac{(x+iy)^{2} * (x+iy +x-iy)}{2(x+iy +2)} \)
E quindi posso scrivere: \(\displaystyle \frac{2z^{3}}{2(z+2)} \) che semplificando diventa \(\displaystyle \frac{z^{3}}{z+2} \)
Perchè il modulo? z potrebbe essere < 0 ?
Grazie ancora.
A te pare che
$$(x+iy)^2\cdot(2x)=(x+iy)^3$$
???????????????????????????????????????????????????????????????????????
$$(x+iy)^2\cdot(2x)=(x+iy)^3$$
???????????????????????????????????????????????????????????????????????
Cavolo no, che stupido!
Grazie.
Grazie.
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