Analisi Complessa : Calcolo integrali "semplici" col teorema dei residui
Salve a tutti , vi scrivo perché mi sto accingendo al calcolo degli integrali col teorema dei residui e sto incontrando enormi difficoltà .
Inoltre non dispongo dei risultati degli esercizi su cui devo esercitarmi.
Vorrei in particolare porre alla vostra attenzione i seguenti due esercizi:
1) $ int_(0)^(2*pi) (cos(2t))/(5+3cos(t)) $
2) $ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) $ dove $ D = {z ∈ C : |z| < 3 } $
Svolgimento Mio 1° Esercizio :
Ho pensato di riscrivere seni e coseni con le formule di Eulero , ponendo :
$ z = e^(j * t) <=> dz = j * e^(j * t ) d t<=> d t= (d z) / (j * z) $
A questo punto posso dire che :
$ cos(t) = (z^2+1)/(2z) $
e che :
$ cos(2t) = (z^4+1)/(2z^2) $
Allora sostituendo nell'integrale di partenza ottengo :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(z·(3·z^2 + 10·z + 3))·((d z)/(j·z)) = int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) d z $
Ora la mia domanda è : Come determino $ gamma $ ?
Al di là di ciò ho trovato che la funzione integranda presente 3 poli :
z0 = 0 che è un polo doppio
z1 = -3 che è un polo semplice
z2 = -1/3 che è un polo semplice
A questo punto , non sapendo come determinare $ gamma $ , non so se questi poli devo considerarli tutti o meno nel calcolo dei residui oppure no
Determinata $ gamma $ dovrei appunto applicare il teorema dei residui per il quale :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
dove $ z_k $ sono i poli precedentemente determinati .
Mi aiutate a capire come determinare $ gamma $ e se sto procedendo bene?
Svolgimento Mio 2° Esercizio :
In questo caso ho determinato che i poli della funzione integranda sono :
z0 = 0 , z1 = 2 , z2 = 5 che sono tutti e tre poli semplici.
A questo punto per le limitazioni sul dominio di integrazione escludo z2 e dunque applicando il teorema dei residui :
$ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
Il problema è che sia $ Res(f,0) $ sia $ Res(f,2) $ mi risultano entrambi nulli e dunque pari a 0 mi risulta l'integrale :
$ Res(f,0) = lim_(z->0) [ (z-0) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
e
$ Res(f,2) = lim_(z->2) [ (z-2) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
Non credo che sia tutto così semplice ... dove sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti coloro che si accingeranno a darmi una mano a fare un po' di chiarezza
Inoltre non dispongo dei risultati degli esercizi su cui devo esercitarmi.
Vorrei in particolare porre alla vostra attenzione i seguenti due esercizi:
1) $ int_(0)^(2*pi) (cos(2t))/(5+3cos(t)) $
2) $ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) $ dove $ D = {z ∈ C : |z| < 3 } $
Svolgimento Mio 1° Esercizio :
Ho pensato di riscrivere seni e coseni con le formule di Eulero , ponendo :
$ z = e^(j * t) <=> dz = j * e^(j * t ) d t<=> d t= (d z) / (j * z) $
A questo punto posso dire che :
$ cos(t) = (z^2+1)/(2z) $
e che :
$ cos(2t) = (z^4+1)/(2z^2) $
Allora sostituendo nell'integrale di partenza ottengo :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(z·(3·z^2 + 10·z + 3))·((d z)/(j·z)) = int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) d z $
Ora la mia domanda è : Come determino $ gamma $ ?
Al di là di ciò ho trovato che la funzione integranda presente 3 poli :
z0 = 0 che è un polo doppio
z1 = -3 che è un polo semplice
z2 = -1/3 che è un polo semplice
A questo punto , non sapendo come determinare $ gamma $ , non so se questi poli devo considerarli tutti o meno nel calcolo dei residui oppure no
Determinata $ gamma $ dovrei appunto applicare il teorema dei residui per il quale :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
dove $ z_k $ sono i poli precedentemente determinati .
Mi aiutate a capire come determinare $ gamma $ e se sto procedendo bene?
Svolgimento Mio 2° Esercizio :
In questo caso ho determinato che i poli della funzione integranda sono :
z0 = 0 , z1 = 2 , z2 = 5 che sono tutti e tre poli semplici.
A questo punto per le limitazioni sul dominio di integrazione escludo z2 e dunque applicando il teorema dei residui :
$ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
Il problema è che sia $ Res(f,0) $ sia $ Res(f,2) $ mi risultano entrambi nulli e dunque pari a 0 mi risulta l'integrale :
$ Res(f,0) = lim_(z->0) [ (z-0) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
e
$ Res(f,2) = lim_(z->2) [ (z-2) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
Non credo che sia tutto così semplice ... dove sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti coloro che si accingeranno a darmi una mano a fare un po' di chiarezza
Risposte
"Oiram92":
Qui c'è qualche errore, intanto :
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z} \; \frac{1}{1-5\frac{1}{z}} sin \left(\frac{1}{z}\right)\;cos \left(\frac{1}{z} \; \frac{1}{1-2\;\frac{1}{z}}\right) \)
Quindi :
\(\displaystyle f \left(\frac{1}{z}\right) = f(\omega) = \frac{\omega}{1-5\omega}\; sin(\omega)\; cos \left(\frac{\omega}{1-2\omega}\right) \)
Sì , fin qui mi trovo
Mentre
"Oiram92":
Inoltre il residuo all'infinito si calcola come (hai dimenticato il meno):
\(\displaystyle Res \left(-\frac{1}{\omega^2} f(\omega), 0 \right)= \lim_{\omega \to 0} - \frac{sin(\omega)}{w} \frac{1}{1-5\omega} \; cos\left(\frac{\omega}{1-2\omega}\right) = -1 \)
Qui non mi trovo più
Perché
$ -f(w)/w^2 = - (w/(1 - 5 w) sin(w) cos(w/(1 - 2 w)))/w^2 = - (sin(w) cos(w/(1 - 2 w)))/((1 - 5 w) w) $
Poi
$ Res( -f(w)/w^2 , 0 ) = lim_(w->0) (w-0) * (- (sin(w) cos(w/(1 - 2 w)))/((1 - 5 w) w)) = 0 $
è come se ti fossi dimenticato di moltiplicare per " (w - 0 ) " ,
Quindi confermo poi che
$ ∫_(∂D) f(z)dz = 2πj(Res(f,0) + Res(f,3)) = –2πj(Res(f,5) + Res(f,∞)) = –2πj sin(1/5)cos(1/3) $
Mentre per il secondo nulla ancora, si aspetta gugo82
La funzione $f(z) = \frac{\sin(1/z) \cos(\frac{1}{z-2})}{z-5}$ non ha problemi all'infinito, non c'è bisogno di passare per la formula da voi citata per il calcolo dei residui all'infinito, infatti:
$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0 $ e dunque $Res{f, z= \infty} = 0$
$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0 $ e dunque $Res{f, z= \infty} = 0$
"Oiram92":
@gugo82 ti dispiacerebbe approfondire un pò la questione riguardo alla risoluzione tramite lo sviluppo in serie di Laurent? Anche io sto studiando per l'appello di analisi 3 e mi farebbe comodo avere a disposizione qualche strumento in più (dato che il mio libro non è molto chiaro a riguardo).
Per argomentare un pò ciò che ho capito dal mio libro. Sviluppiamo in serie di Laurent (centrata in \(\displaystyle z=0 \)) :
\(\displaystyle sin \left(\frac{1}{z} \right) = \sum_{n}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{2n+1}} \)
e sviluppiamo in serie di Laurent (centrata in \(\displaystyle z=2 \)) :
\(\displaystyle cos \left(\frac{1}{z-2}\right) = \sum_{n}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \frac{1}{(z-2)^{2n}}\)
Effettuando il prodotto secondo Cauchy possiamo scrivere :
\(\displaystyle sin \left(\frac{1}{z}\right)\cdot cos \left(\frac{1}{z-2}\right) = \sum_{n}^{+\infty} \sum_{k}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{1}{z^{2k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!} \frac{1}{(z-2)^{2(n-k)}} \)
\(\displaystyle = \sum_{n}^{+\infty} \sum_{k}^{n} \frac{(-1)^n}{(2k+1)! \; (2(n-k))!} \frac{1}{z^{2k+1} \cdot (z-2)^{2(n-k)}} \)
che dovrebbe essere lo sviluppo in serie di Laurent cercato giusto? Da qui in poi non riesco più a capire dove si voglia andare a parare
Il problema, come appariva evidente già da prima, è che non conosci sufficientemente le definizioni.
Cos'è uno sviluppo di Laurent intorno ad una singolarità?
"Warioss":
è come se ti fossi dimenticato di moltiplicare per " (w - 0 ) "
"Bremen000":
La funzione $f(z) = \frac{\sin(1/z) \cos(\frac{1}{z-2})}{z-5}$ non ha problemi all'infinito, non c'è bisogno di passare per la formula da voi citata per il calcolo dei residui all'infinito, infatti:
$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0 $ e dunque $Res{f, z= \infty} = 0$
è vero, avete entrambi ragione ovviamente
"gugo82":
Il problema, come appariva evidente già da prima, è che non conosci sufficientemente le definizioni.
Cos'è uno sviluppo di Laurent intorno ad una singolarità?
Sicuramente hai ragione, considera anche che il libro del mio professore è alquanto striminzito (il paragrafo sulla serie di Laurent contiene solo la definizione di corona circolare ed il teorema di Laurent) però questo non significa nulla..vuol dire che approfondirò su qualche dispensa online per cercare di tappare le lacune.
Venendo alla tua domanda non saprei rispondere con una definizione. L'unica cosa del mio libro che parla della serie di Laurent è appunto il teorema il quale dice che considerando una \(\displaystyle f(z) \) olomorfa su una corona circolare di centro \(\displaystyle z_0 \) è possibile approssimare la \(\displaystyle f(z) \) con una serie di potenze estesa tra \(\displaystyle -\infty \) e \(\displaystyle +\infty \). Nello specifico, i termini \(\displaystyle a_n \) della serie sono uguali a :
\(\displaystyle a_n = \frac{1}{2 \pi \;i} \int_{+\gamma} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}} d\xi \)
ma non credo che questa sia la risposta alla tua domanda, o perlomeno solo in parte
"Bremen000":
La funzione $f(z) = \frac{\sin(1/z) \cos(\frac{1}{z-2})}{z-5}$ non ha problemi all'infinito, non c'è bisogno di passare per la formula da voi citata per il calcolo dei residui all'infinito, infatti:
$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0 $ e dunque $Res{f, z= \infty} = 0$
Falso, in generale.
Esistono funzioni che hanno singolarità eliminabili in $\infty$, ma che hanno residuo diverso da $0$ in $\infty$... Ad esempio, $f(z)=1/z$.
Morale della favola: il contariello del residuo in $\infty$ va sempre fatto.
"Oiram92":
[quote="gugo82"]
Il problema, come appariva evidente già da prima, è che non conosci sufficientemente le definizioni.
Cos'è uno sviluppo di Laurent intorno ad una singolarità?
Sicuramente hai ragione, considera anche che il libro del mio professore è alquanto striminzito (il paragrafo sulla serie di Laurent contiene solo la definizione di corona circolare ed il teorema di Laurent) però questo non significa nulla..vuol dire che approfondirò su qualche dispensa online per cercare di tappare le lacune.[/quote]
Beh, basterebbe procurarsi degli appunti/dispense decenti... Ammesso che tu sia un ingegnere, potresti provare a cercare quelle di Metodi Matematici per l'Ingegneria del prof. Luigi Greco della Federico II.
"Oiram92":
Venendo alla tua domanda non saprei rispondere con una definizione. L'unica cosa del mio libro che parla della serie di Laurent è appunto il teorema il quale dice che considerando una \(\displaystyle f(z) \) olomorfa su una corona circolare di centro \(\displaystyle z_0 \) è possibile approssimare la \(\displaystyle f(z) \) con una serie di potenze estesa tra \(\displaystyle -\infty \) e \(\displaystyle +\infty \). Nello specifico, i termini \(\displaystyle a_n \) della serie sono uguali a :
\(\displaystyle a_n = \frac{1}{2 \pi \;i} \int_{+\gamma} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}} d\xi \)
ma non credo che questa sia la risposta alla tua domanda, o perlomeno solo in parte
Vabbé, ma ciò risponde ad un'altra domanda, cioè: "come si trovano i coefficienti dell'espansione in serie di Laurent?"
La domanda era: cos'è una serie di Laurent?
Se ci rifletti, la definizione è implicita in quello che hai appena scritto...
boh..ci ho ragionato parecchio e la risposta più semplice che mi viene in mente è che la serie di Laurent è un'estensione della serie di Taylor che ci consente di rappresentare una funzione in modo diverso (come serie di potenze) in un intorno di un punto di singolarità non eliminabile (in cui la funzione dunque non è definita). L'espansione in serie viene fatta su una corona circolare (escludendo il punto singolare) con raggio il più grande possibile in cui non ricadono altri punti di singolarità (supponendo che i punti di discontinuità della funzione siano isolati, altrimenti non sarebbe possibile l'espansione in serie). In particolare la funzione è analitica nella corona circolare scelta e quindi l'integrale che ci consente di calcolare i termini \(\displaystyle a_n \) è sempre convergente ad un certo valore per qualsiasi curva \(\displaystyle \gamma \) interna alla corona.
Questo è il massimo che sono riuscito a dedurre, altro non ne ho proprio idea..mi sembra di essere molto vicino ad una risposta formale corretta ma ancora non riesco a carpire il nocciolo della questione
ps: mi scuso dell'intromissione con @Warioss (essendo questo il suo post) però credo che anche lui potrebbe trarne giovamento da questa discussione costruttiva
Questo è il massimo che sono riuscito a dedurre, altro non ne ho proprio idea..mi sembra di essere molto vicino ad una risposta formale corretta ma ancora non riesco a carpire il nocciolo della questione
ps: mi scuso dell'intromissione con @Warioss (essendo questo il suo post) però credo che anche lui potrebbe trarne giovamento da questa discussione costruttiva
"Oiram92":
ps: mi scuso dell'intromissione con @Warioss (essendo questo il suo post) però credo che anche lui potrebbe trarne giovamento da questa discussione costruttiva
Tranquillo, sto imparando molto da ciò
"Warioss":
Tranquillo, sto imparando molto da ciò
speriamo allora che gugo risponda perchè adesso che mi ha messo la pulce nell'orecchio non riesco più a dormirci la notte..ho scaricato anche le dispense del prof. Luigi Greco (che confermo essere ben scritte e molto più argomentate del libro scritto dal mio prof) tuttavia (facendo anche la ricerca su google) nessuno sembra interessato a soffermarsi esplicitamente su cosa sia la serie di Laurent ma piuttosto come si fa ed a cosa può servire (ad esempio per la classificazione dei punti di singolarità e per il calcolo del residuo nel punto in cui è centrata la serie).
Semplicemente, si chiama serie di Laurent centrata in $z_0$ una serie del tipo:
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\ (z-z_0)^n
\]
in cui $a_n\in \CC$ per ogni indice intero $n$.
Sì prova che una serie di Laurent converge in un insieme che è una corona circolare (eventualmente degenere) di centro $z_0$ e che la somma e olomorfa in tale corona.
In particolare, ogni funzione $f$ olomorfa in un aperto $A\setminus\{z_0\}$ è rappresentabile come somma di un'opportuna serie di Laurent in un intorno forato di $z_0$, con i coefficienti $a_n$ che si ricavano usando le formulette precedenti.
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\ (z-z_0)^n
\]
in cui $a_n\in \CC$ per ogni indice intero $n$.
Sì prova che una serie di Laurent converge in un insieme che è una corona circolare (eventualmente degenere) di centro $z_0$ e che la somma e olomorfa in tale corona.
In particolare, ogni funzione $f$ olomorfa in un aperto $A\setminus\{z_0\}$ è rappresentabile come somma di un'opportuna serie di Laurent in un intorno forato di $z_0$, con i coefficienti $a_n$ che si ricavano usando le formulette precedenti.
Aspetta, forse sto iniziando a capire quando dici questo :
in pratica la risoluzione dell'integrale tramite la serie di Laurent viene fatta in modo "indiretto". Infatti, per risolvere l'integrale dovremmo calcolare i residui in \(\displaystyle 0 \) e in \(\displaystyle 2 \) ma (come dici tu) è impossibile perchè le singolarità sono di tipo essenziale quindi dovremmo ricorrere (quando è agevole farlo) allo sviluppo in serie di Laurent. In questo modo, calcolando prima lo sviluppo sulla corona centrata in \(\displaystyle 0 \) e poi su quella centrata in \(\displaystyle 2 \), avremmo il valore del residuo dato dal termine \(\displaystyle a_{-1} \) della serie, giusto?
L'altro modo di procedere era (come è stato fatto) quello del calcolo del residuo all'infinito (che, perlomeno in questo caso, mi sembra molto più semplice rispetto all'espansione in serie).
A questo punto se posso rubarti qualche altro post sarei curioso di capire (supponendo che il ragionamento fatto prima sia corretto) come possiamo sviluppare in serie quella funzione. Ci ho provato ma ad un certo punto mi sono bloccato..
Una possibile corona circolare centrata in \(\displaystyle 0 \) in cui \(\displaystyle f(z) \) è analitica potrebbe essere ad esempio \(\displaystyle |z|>5 \) in modo da escludere tutti i punti di singolarità no? Sviluppando i singoli termini in serie di Mac-Laurin dovrebbe essere :
anche se non sono del tutto convinto dello sviluppo del coseno. Supponendo che sia corretto adesso dovremmo effettuare il prodotto di Cauchy delle tre serie. Prendendone due qualsiasi riesco a farlo senza problemi, ad esempio :
a questo punto (leggendo altre discussioni simili sul forum in cui hai risposto) mi sembra di capire che si dovrebbe definire un nuovo indice \(\displaystyle j=... \) in modo tale da riportarsi ad una sommatoria del tipo :
e poi effettuare nuovamente il prodotto di Cauchy con la terza serie. Fatto questo il termine \(\displaystyle a_{-1} \) ci da il residuo in \(\displaystyle 0 \) di \(\displaystyle f(z) \). Poi si procede in modo simile per il punto \(\displaystyle 2 \).
Quindi adesso la domanda è: come si effettua quello sviluppo in serie di Laurent? scusami ma ho il terrore di trovare qualcosa di simile all'esame e non avere la più pallida idea di come muovermi..
"gugo82":
Ad esempio, come osservavo prima, la funzione "brutta" di uno dei primi esercizi, cioè:
\[
f(z) = \frac{\sin \left( \frac{1}{z}\right)\ \cos\left( \frac{1}{z - 2}\right)}{z - 5}
\]
non ha affatto poli del primo ordine in $0$ ed in $2$, ma singolarità di tipo essenziale; quindi è impossibile calcolarne il residuo con qualche "formula magica" e bisogna ricorrere o all'espansione in serie di Laurent [...]
in pratica la risoluzione dell'integrale tramite la serie di Laurent viene fatta in modo "indiretto". Infatti, per risolvere l'integrale dovremmo calcolare i residui in \(\displaystyle 0 \) e in \(\displaystyle 2 \) ma (come dici tu) è impossibile perchè le singolarità sono di tipo essenziale quindi dovremmo ricorrere (quando è agevole farlo) allo sviluppo in serie di Laurent. In questo modo, calcolando prima lo sviluppo sulla corona centrata in \(\displaystyle 0 \) e poi su quella centrata in \(\displaystyle 2 \), avremmo il valore del residuo dato dal termine \(\displaystyle a_{-1} \) della serie, giusto?
"gugo82":
[...] oppure fare il conto in maniera diversa.
L'altro modo di procedere era (come è stato fatto) quello del calcolo del residuo all'infinito (che, perlomeno in questo caso, mi sembra molto più semplice rispetto all'espansione in serie).
A questo punto se posso rubarti qualche altro post sarei curioso di capire (supponendo che il ragionamento fatto prima sia corretto) come possiamo sviluppare in serie quella funzione. Ci ho provato ma ad un certo punto mi sono bloccato..
Una possibile corona circolare centrata in \(\displaystyle 0 \) in cui \(\displaystyle f(z) \) è analitica potrebbe essere ad esempio \(\displaystyle |z|>5 \) in modo da escludere tutti i punti di singolarità no? Sviluppando i singoli termini in serie di Mac-Laurin dovrebbe essere :
\(\displaystyle sin\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{-2n-1} \)
\(\displaystyle cos\left(\frac{1}{z-2}\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (z-2)^{2n} \)
\(\displaystyle \frac{1}{z-5} = -\frac{1}{5} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{5^n} = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{5^{n+1}} \)
anche se non sono del tutto convinto dello sviluppo del coseno. Supponendo che sia corretto adesso dovremmo effettuare il prodotto di Cauchy delle tre serie. Prendendone due qualsiasi riesco a farlo senza problemi, ad esempio :
\(\displaystyle sin\left(\frac{1}{z}\right) \cdot cos\left(\frac{1}{z-2}\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^n}{(2k+1)! \; (2n-2k)! \; (z-2)^{2n-2k}} z^{-2k-1} \)
a questo punto (leggendo altre discussioni simili sul forum in cui hai risposto) mi sembra di capire che si dovrebbe definire un nuovo indice \(\displaystyle j=... \) in modo tale da riportarsi ad una sommatoria del tipo :
\(\displaystyle \sum_{j=...}^{+\infty} a_j\;z^j \)
e poi effettuare nuovamente il prodotto di Cauchy con la terza serie. Fatto questo il termine \(\displaystyle a_{-1} \) ci da il residuo in \(\displaystyle 0 \) di \(\displaystyle f(z) \). Poi si procede in modo simile per il punto \(\displaystyle 2 \).
Quindi adesso la domanda è: come si effettua quello sviluppo in serie di Laurent? scusami ma ho il terrore di trovare qualcosa di simile all'esame e non avere la più pallida idea di come muovermi..
Il modo in cui calcoli il prodotto degli sviluppi è sbagliato.
Per fare il calcolo correttamente, tutti gli sviluppi in serie vanno centrati nello stesso punto $z_0$.
Cerco di spiegarti un po' la tecnica.
Lo sviluppo in serie di Laurent della funzione:
\[
f(z) = \sin \frac{1}{z}\cdot \frac{\cos \frac{1}{z-2}}{z-5}
\]
centrato in $z_0=0$ si può calcolare prendendo il prodotto secondo Cauchy della serie di Laurent di \(f_1(z) = \sin \frac{1}{z}\) centrata in $0$ (la quale contiene solo la parte singolare) e della serie di Laurent di \(f_2(z) = \frac{\cos \frac{1}{z-2}}{z-5}\) sempre centrata in $0$ (la quale contiene solo la parte regolare, cioè è una serie di Taylor).
Determinare lo sviluppo di Laurent di $f_1$ è semplicissimo, perché si ricava dall'espansione del seno in serie di potenze:
\[
f_1(z) = \sum_{h=1}^\infty \frac{(-1)^{h+1}}{(2h-1)!}\ \frac{1}{z^{2h-1}} = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \frac{1}{z^n}\; ,
\]
con:
\[
a_n:= \begin{cases} 0 &\text{, se } n \geq 0 \text{ oppure se } n < 0\text{ è pari} \\
\frac{(-1)^{h+1}}{(2h-1)!} &\text{, se } 0>n=-(2h-1) \text{ è dispari}\; ,
\end{cases}
\]
ma determinare esplicitamente lo sviluppo in serie di Taylor di $f_2$ è più difficile... Per ora diciamo che:
\[
f_2(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n\ z^n
\]
con raggio di convergenza uguale a $2$ (poiché $f_2$ ha due punti singolari al finito, in $2$ -singolarità essenziale- e $5$ -polo semplice-, col primo più vicino allo $0$).
Ne consegue che:
\[
f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty \underbrace{\left( \sum_{i+j=n} a_ib_j\right)}_{=:c_n}\ z^n\; ,
\]
con sviluppo convergente in $0<|z|<2$.
Per calcolare il residuo di $f$ in $0$ basta determinare il coefficiente $c_{-1}$, cioè basta calcolare la somma:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{i+j=-1} a_ib_j\\
&=\sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_ib_{-(i-1)} \; ;
\end{split}
\]
notiamo che i coefficienti $b_n$ sono definiti per $n\ge 0$, ergo $b_{-(i+1)}$ ha senso solo se $i+1\le 0$ ossia se $i\le -1$ e perciò la sommatoria si riscrive:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{i=-\infty}^{-1} a_ib_{-(i+1)}\\
&= \sum_{k=1}^\infty a_{-k} b_{k-1}\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte gli $a_n$ sono diversi da zero solo se $n$ è negativo e dispari, ergo deve aversi $k$ dispari cioè $k=2h-1$ con $h=1,2,\ldots $ e la sommatoria si riscrive:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{h=1}^\infty a_{-(2h-1)} b_{2h-2}\\
&= \sum_{h=1}^\infty \frac{(-1)^{h+1}}{(2h-1)!} b_{2h-2}\; .
\end{split}
\]
Ne viene che per determinare il residuo $c_{-1}$ si devono calcolare i coefficienti di posto pari nell'espansione in serie di Taylor di $f_2$ e la somma della serie al terzo membro della precedente.
Da quanto appena detto è evidente che non conviene fare il conto in questa maniera.
Per fare il calcolo correttamente, tutti gli sviluppi in serie vanno centrati nello stesso punto $z_0$.
Cerco di spiegarti un po' la tecnica.
Lo sviluppo in serie di Laurent della funzione:
\[
f(z) = \sin \frac{1}{z}\cdot \frac{\cos \frac{1}{z-2}}{z-5}
\]
centrato in $z_0=0$ si può calcolare prendendo il prodotto secondo Cauchy della serie di Laurent di \(f_1(z) = \sin \frac{1}{z}\) centrata in $0$ (la quale contiene solo la parte singolare) e della serie di Laurent di \(f_2(z) = \frac{\cos \frac{1}{z-2}}{z-5}\) sempre centrata in $0$ (la quale contiene solo la parte regolare, cioè è una serie di Taylor).
Determinare lo sviluppo di Laurent di $f_1$ è semplicissimo, perché si ricava dall'espansione del seno in serie di potenze:
\[
f_1(z) = \sum_{h=1}^\infty \frac{(-1)^{h+1}}{(2h-1)!}\ \frac{1}{z^{2h-1}} = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \frac{1}{z^n}\; ,
\]
con:
\[
a_n:= \begin{cases} 0 &\text{, se } n \geq 0 \text{ oppure se } n < 0\text{ è pari} \\
\frac{(-1)^{h+1}}{(2h-1)!} &\text{, se } 0>n=-(2h-1) \text{ è dispari}\; ,
\end{cases}
\]
ma determinare esplicitamente lo sviluppo in serie di Taylor di $f_2$ è più difficile... Per ora diciamo che:
\[
f_2(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n\ z^n
\]
con raggio di convergenza uguale a $2$ (poiché $f_2$ ha due punti singolari al finito, in $2$ -singolarità essenziale- e $5$ -polo semplice-, col primo più vicino allo $0$).
Ne consegue che:
\[
f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty \underbrace{\left( \sum_{i+j=n} a_ib_j\right)}_{=:c_n}\ z^n\; ,
\]
con sviluppo convergente in $0<|z|<2$.
Per calcolare il residuo di $f$ in $0$ basta determinare il coefficiente $c_{-1}$, cioè basta calcolare la somma:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{i+j=-1} a_ib_j\\
&=\sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_ib_{-(i-1)} \; ;
\end{split}
\]
notiamo che i coefficienti $b_n$ sono definiti per $n\ge 0$, ergo $b_{-(i+1)}$ ha senso solo se $i+1\le 0$ ossia se $i\le -1$ e perciò la sommatoria si riscrive:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{i=-\infty}^{-1} a_ib_{-(i+1)}\\
&= \sum_{k=1}^\infty a_{-k} b_{k-1}\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte gli $a_n$ sono diversi da zero solo se $n$ è negativo e dispari, ergo deve aversi $k$ dispari cioè $k=2h-1$ con $h=1,2,\ldots $ e la sommatoria si riscrive:
\[
\begin{split}
c_{-1} &= \sum_{h=1}^\infty a_{-(2h-1)} b_{2h-2}\\
&= \sum_{h=1}^\infty \frac{(-1)^{h+1}}{(2h-1)!} b_{2h-2}\; .
\end{split}
\]
Ne viene che per determinare il residuo $c_{-1}$ si devono calcolare i coefficienti di posto pari nell'espansione in serie di Taylor di $f_2$ e la somma della serie al terzo membro della precedente.
Da quanto appena detto è evidente che non conviene fare il conto in questa maniera.
wow 
grazie mille gugo, ero sicuro di aver sbagliato clamorosamente quello sviluppo ed un pò a naso presumevo che dietro ci fossero una miriade di considerazioni da fare ma non immaginavo così. Anche perchè utilizzando il residuo all'infinito (già si vedeva ad occhio che era quello il metodo più semplice da adottare) si raggiunge la soluzione in un baleno. Grazie ancora per la spiegazione e tutti i consigli che mi hai dato finora
grazie mille gugo, ero sicuro di aver sbagliato clamorosamente quello sviluppo ed un pò a naso presumevo che dietro ci fossero una miriade di considerazioni da fare ma non immaginavo così. Anche perchè utilizzando il residuo all'infinito (già si vedeva ad occhio che era quello il metodo più semplice da adottare) si raggiunge la soluzione in un baleno. Grazie ancora per la spiegazione e tutti i consigli che mi hai dato finora
Salve a tutti, mi intrometto nella discussione per chiedere un chiarimento.
Mi sono imbattuto anche io nell'esercizio $ oint_(gamma ) (sin(1/z)cos(1/(z-2)))/(z - 5) dz $ e ho trovato come risultato il seguente:
$ 2pii( -Res(f,5) -Res(f,oo) ) = -2pii(sin(1/5)cos(1/3)) $
Non avendo il risultato volevo sapere se il risulato è corretto e, leggendo i messaggi precedenti, mi è parso di capire che lo sia. Potete confermare?
Mi sono imbattuto anche io nell'esercizio $ oint_(gamma ) (sin(1/z)cos(1/(z-2)))/(z - 5) dz $ e ho trovato come risultato il seguente:
$ 2pii( -Res(f,5) -Res(f,oo) ) = -2pii(sin(1/5)cos(1/3)) $
Non avendo il risultato volevo sapere se il risulato è corretto e, leggendo i messaggi precedenti, mi è parso di capire che lo sia. Potete confermare?
Se nel tuo esercizio \(\displaystyle \gamma \) è la stessa dell'esercizio al primo post allora si, sennò bisogna rivedere un pò i calcoli in base al dominio di integrazione del tuo esercizio.
Sì, è la stessa curva. Ti ringrazio per l'aiuto.
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