Analisi Complessa : Calcolo integrali "semplici" col teorema dei residui
Salve a tutti , vi scrivo perché mi sto accingendo al calcolo degli integrali col teorema dei residui e sto incontrando enormi difficoltà .
Inoltre non dispongo dei risultati degli esercizi su cui devo esercitarmi.
Vorrei in particolare porre alla vostra attenzione i seguenti due esercizi:
1) $ int_(0)^(2*pi) (cos(2t))/(5+3cos(t)) $
2) $ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) $ dove $ D = {z ∈ C : |z| < 3 } $
Svolgimento Mio 1° Esercizio :
Ho pensato di riscrivere seni e coseni con le formule di Eulero , ponendo :
$ z = e^(j * t) <=> dz = j * e^(j * t ) d t<=> d t= (d z) / (j * z) $
A questo punto posso dire che :
$ cos(t) = (z^2+1)/(2z) $
e che :
$ cos(2t) = (z^4+1)/(2z^2) $
Allora sostituendo nell'integrale di partenza ottengo :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(z·(3·z^2 + 10·z + 3))·((d z)/(j·z)) = int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) d z $
Ora la mia domanda è : Come determino $ gamma $ ?
Al di là di ciò ho trovato che la funzione integranda presente 3 poli :
z0 = 0 che è un polo doppio
z1 = -3 che è un polo semplice
z2 = -1/3 che è un polo semplice
A questo punto , non sapendo come determinare $ gamma $ , non so se questi poli devo considerarli tutti o meno nel calcolo dei residui oppure no
Determinata $ gamma $ dovrei appunto applicare il teorema dei residui per il quale :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
dove $ z_k $ sono i poli precedentemente determinati .
Mi aiutate a capire come determinare $ gamma $ e se sto procedendo bene?
Svolgimento Mio 2° Esercizio :
In questo caso ho determinato che i poli della funzione integranda sono :
z0 = 0 , z1 = 2 , z2 = 5 che sono tutti e tre poli semplici.
A questo punto per le limitazioni sul dominio di integrazione escludo z2 e dunque applicando il teorema dei residui :
$ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
Il problema è che sia $ Res(f,0) $ sia $ Res(f,2) $ mi risultano entrambi nulli e dunque pari a 0 mi risulta l'integrale :
$ Res(f,0) = lim_(z->0) [ (z-0) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
e
$ Res(f,2) = lim_(z->2) [ (z-2) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
Non credo che sia tutto così semplice ... dove sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti coloro che si accingeranno a darmi una mano a fare un po' di chiarezza
Inoltre non dispongo dei risultati degli esercizi su cui devo esercitarmi.
Vorrei in particolare porre alla vostra attenzione i seguenti due esercizi:
1) $ int_(0)^(2*pi) (cos(2t))/(5+3cos(t)) $
2) $ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) $ dove $ D = {z ∈ C : |z| < 3 } $
Svolgimento Mio 1° Esercizio :
Ho pensato di riscrivere seni e coseni con le formule di Eulero , ponendo :
$ z = e^(j * t) <=> dz = j * e^(j * t ) d t<=> d t= (d z) / (j * z) $
A questo punto posso dire che :
$ cos(t) = (z^2+1)/(2z) $
e che :
$ cos(2t) = (z^4+1)/(2z^2) $
Allora sostituendo nell'integrale di partenza ottengo :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(z·(3·z^2 + 10·z + 3))·((d z)/(j·z)) = int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) d z $
Ora la mia domanda è : Come determino $ gamma $ ?
Al di là di ciò ho trovato che la funzione integranda presente 3 poli :
z0 = 0 che è un polo doppio
z1 = -3 che è un polo semplice
z2 = -1/3 che è un polo semplice
A questo punto , non sapendo come determinare $ gamma $ , non so se questi poli devo considerarli tutti o meno nel calcolo dei residui oppure no
Determinata $ gamma $ dovrei appunto applicare il teorema dei residui per il quale :
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
dove $ z_k $ sono i poli precedentemente determinati .
Mi aiutate a capire come determinare $ gamma $ e se sto procedendo bene?
Svolgimento Mio 2° Esercizio :
In questo caso ho determinato che i poli della funzione integranda sono :
z0 = 0 , z1 = 2 , z2 = 5 che sono tutti e tre poli semplici.
A questo punto per le limitazioni sul dominio di integrazione escludo z2 e dunque applicando il teorema dei residui :
$ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) = (2 pi j ) * ∑( Res(f,z_k) ) $
Il problema è che sia $ Res(f,0) $ sia $ Res(f,2) $ mi risultano entrambi nulli e dunque pari a 0 mi risulta l'integrale :
$ Res(f,0) = lim_(z->0) [ (z-0) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
e
$ Res(f,2) = lim_(z->2) [ (z-2) * ( sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) ] = 0 $
Non credo che sia tutto così semplice ... dove sbaglio?
Grazie in anticipo a tutti coloro che si accingeranno a darmi una mano a fare un po' di chiarezza
Risposte
•Aggiornamento esercizio 1 ... ancora non torna , MA :
Ho visto che quando si pone $ z=e^(j⋅t) $ allora $ gamma $ è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 .
Anche se sarei felice se qualcuno mi spiegasse come si fa a capire questa cosa.
Comunque così considerando $ gamma $ ho che il polo z1 = -3 è da scartare sicché esterno a $ gamma $ e allora
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) = (2 pi j ) * (Res(f,0) + Res(f,-1/3) ) $
Solo che mi risulta che
$ Res(f,0) = (10·j)/9 $
e
$ Res(f,-1/3) = - (41·j)/12 $
e dunque l'integrale risulterebbe pari a : $ (2 * pi * j ) ((10·j)/9 - (41·j)/12) = (83·pi)/18 $ ma non mi trovo col risultato proposto da wolfram alpha...
Ho visto che quando si pone $ z=e^(j⋅t) $ allora $ gamma $ è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 .
Anche se sarei felice se qualcuno mi spiegasse come si fa a capire questa cosa.
Comunque così considerando $ gamma $ ho che il polo z1 = -3 è da scartare sicché esterno a $ gamma $ e allora
$ int_(gamma)^() (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3)) = (2 pi j ) * (Res(f,0) + Res(f,-1/3) ) $
Solo che mi risulta che
$ Res(f,0) = (10·j)/9 $
e
$ Res(f,-1/3) = - (41·j)/12 $
e dunque l'integrale risulterebbe pari a : $ (2 * pi * j ) ((10·j)/9 - (41·j)/12) = (83·pi)/18 $ ma non mi trovo col risultato proposto da wolfram alpha...
La seconda funzione come fa ad avere due poli in $0$ ed in $2$?... Guarda bene! 
Per la domanda sulla circonferenza: chiediti qual è il modulo dei numeri del tipo $z=\mathbf{e}^{\mathbf{i} \theta}$.
Per la domanda sulla circonferenza: chiediti qual è il modulo dei numeri del tipo $z=\mathbf{e}^{\mathbf{i} \theta}$.
"gugo82":
La seconda funzione come fa ad avere due poli in $0$ ed in $2$?... Guarda bene!
Per la domanda sulla circonferenza: chiediti qual è il modulo dei numeri del tipo $z=\mathbf{e}^{\mathbf{i} \theta}$.
Ciao gugo82 , innanzitutto grazie per l'interesse , ho visto tuoi post in questa sezione e sei bravissimo .
Allora :
per la prima funzione
Volevo dapprima cheiderti in generale come " faccio a dire quale è la curva lungo la quale bisogna integrare?", tipo in questo esercizio perché $ gamma $ è proprio la circonferenza di raggio unitario e centro nell'origine?
"gugo82":
chiediti qual è il modulo dei numeri del tipo $z=\mathbf{e}^{\mathbf{i} \theta}$
Ok , dunque :
$ |z_0| = 0 < 1 => $ è contenuta in $ gamma $
$ |z_1| = 3 > 1 => $ non è contenuta in $ gamma $ ergo non dobbiamo considerarlo nel calcolo dei residui
$ |z_2| = 1/3 < 1 => $ è contenuta in $ gamma $
Quindi procediamo a calcolare i residui solo in z0 e z2
Essendo z0 un polo doppio :
$ Res(f,0) = lim_(z->0) d/(dz) [ z^2 * (z^4 + 1)/(j·z^2·(3·z^2 + 10·z + 3))] = (10j)/9 $
Mentre z2 essendo un polo semplice :
$ Res(f,-1/3) = lim_(z->-1/3) (z^4 + 1)/(j·z^2·3·(z + 3)) = - (41j)/36 $
Ergo l'integrale tutto viene : $ (2 pi j) * ( - (41j)/36 + (10j)/9) = pi/18 $
Ok allora mi trovo col risultato proposto da wolfram alpha, sono io stupido a non saper fare due limiti elementari.
Allora l'unica cosa che non mi è chiara è solo la determinazione di $ gamma $ , per il resto tutto ok
Passiamo pure al
secondo esercizio
"gugo82":
La seconda funzione come fa ad avere due poli in $0$ ed in $2$?... Guarda bene!
Ma ... 0 e 2 non annullano i denominatori del seno e del coseno ...
? Cosa c'è che non va?
"Warioss":
Ma ... 0 e 2 non annullano i denominatori del seno e del coseno ...
Quello sarebbe il dominio di esistenza nel caso di funzioni reali, qui siamo in campo complesso quindi la questione è un tantino differente. Senza scomodare le espressioni esponenziali di seno e coseno cosa possiamo dire? Per non saper nè leggere nè scrivere potremmo applicare il teorema sulla classificazione dei punti singolari. In tal caso vogliamo vedere se \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2 \) sono poli di \(\displaystyle f(z) \). Prima di procedere vorrei farti notare però che i poli sono gli zeri del denominatore. Dunque, il teorema afferma che :
Sia \(\displaystyle z_0 \) una singolarità isolata per \(\displaystyle f(z) \) (olomorfa in \(\displaystyle \Omega \)). Allora \(\displaystyle z_0 \) è un polo di ordine \(\displaystyle m \) per \(\displaystyle f(z) \) se :\(\displaystyle \lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z) = l \neq 0 \)
In base a quello che dici, \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2 \) sono poli del primo ordine per \(\displaystyle f(z) \), verifichiamo! Si tratta di risolvere :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z \frac{sin(\frac{1}{z}) cos(\frac{1}{z-2})}{z-5} \)
\(\displaystyle \lim_{z \to 2} (z-2) \frac{sin(\frac{1}{z}) cos(\frac{1}{z-2})}{z-5} \)
quanto viene?
"Oiram92":
[quote="Warioss"]Ma ... 0 e 2 non annullano i denominatori del seno e del coseno ...
Quello sarebbe il dominio di esistenza nel caso di funzioni reali, qui siamo in campo complesso quindi la questione è un tantino differente. Senza scomodare le espressioni esponenziali di seno e coseno cosa possiamo dire? Per non saper nè leggere nè scrivere potremmo applicare il teorema sulla classificazione dei punti singolari. In tal caso vogliamo vedere se \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2 \) sono poli di \(\displaystyle f(z) \). Prima di procedere vorrei farti notare però che i poli sono gli zeri del denominatore. Dunque, il teorema afferma che :
Sia \(\displaystyle z_0 \) una singolarità isolata per \(\displaystyle f(z) \) (olomorfa in \(\displaystyle \Omega \)). Allora \(\displaystyle z_0 \) è un polo di ordine \(\displaystyle m \) per \(\displaystyle f(z) \) se :\(\displaystyle \lim_{z \to z_0} (z-z_0)^m f(z) = l \neq 0 \)
In base a quello che dici, \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2 \) sono poli del primo ordine per \(\displaystyle f(z) \), verifichiamo! Si tratta di risolvere :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z \frac{sin(\frac{1}{z}) cos(\frac{1}{z-2})}{z-5} \)
\(\displaystyle \lim_{z \to 2} (z-2) \frac{sin(\frac{1}{z}) cos(\frac{1}{z-2})}{z-5} \)
quanto viene?[/quote]
Sono entrambi nulli i limiti, ergo quei due effettivamente non sono dei poli per la funzione integranda.... ci sono!
Dunque l'unico polo è z = 5 ?
Che tra l'altro è un polo semplice, sicché :
$ lim_(z->5) (z-5)*(sin(1/z)cos(1/(z-2)))/(z-5) = 1/2 (-sin(2/15) + sin(8/15)) => m = 1 $
Solo che ora
|z| = 5 > 3 => 5 non cade all'interno del dominio di integrazione (che dovrebbe essere una circonferenza centrata nell'origine e di raggio pari a 3) , sbaglio?
Quindi come si procede ora che l'unico polo che ho trovato non cade nel dominio di integrazione?
beh più semplice di così 
se non hai poli interni all'insieme di integrazione significa che :
se non hai poli interni all'insieme di integrazione significa che :\(\displaystyle \int_{D} f(z) dz = 0 \)
"Oiram92":
beh più semplice di così
\(\displaystyle \int_{D} f(z) dz = 0 \)
Ah ... wow...
Grazie mille allora ragazzi !
E' rimasta solo irrisolta quella questione della curva gamma da dove viene fuori , il resto tutto chiarissimo
la risposta te l'ha data @gugo82 qui :
i punti \(\displaystyle z \) sono tutti e soli i punti interni alla circonferenza di raggio unitario. Per semplificare un pò (senza sbagliare), quando integriamo tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2 \pi \) (come nel caso del primo esercizio) si sceglie di utilizzare la circonferenza di raggio unitario per la simmetria del problema (te ne rendi conto quando hai fatto quella sostituzione). Il discorso è un pò terra-terra e andrebbe giustificato.
"gugo82":
Per la domanda sulla circonferenza: chiediti qual è il modulo dei numeri del tipo $z=\mathbf{e}^{\mathbf{i} \theta}$.
i punti \(\displaystyle z \) sono tutti e soli i punti interni alla circonferenza di raggio unitario. Per semplificare un pò (senza sbagliare), quando integriamo tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2 \pi \) (come nel caso del primo esercizio) si sceglie di utilizzare la circonferenza di raggio unitario per la simmetria del problema (te ne rendi conto quando hai fatto quella sostituzione). Il discorso è un pò terra-terra e andrebbe giustificato.
"Oiram92":
la risposta te l'ha data @gugo82 qui :
[quote="gugo82"]Per la domanda sulla circonferenza: chiediti qual è il modulo dei numeri del tipo $z=\mathbf{e}^{\mathbf{i} \theta}$.
i punti \(\displaystyle z \) sono tutti e soli i punti interni alla circonferenza di raggio unitario. Per semplificare un pò (senza sbagliare), quando integriamo tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2 \pi \) (come nel caso del primo esercizio) si sceglie di utilizzare la circonferenza di raggio unitario per la simmetria del problema (te ne rendi conto quando hai fatto quella sostituzione). Il discorso è un pò terra-terra e andrebbe giustificato.[/quote]
Chiaro , grazie infinite!
Volevo porre alla vostra attenzione solo l'ultimo esercizio e poi spero di non disturbavi più sugli integrali con il teorema dei residui
il testo dell'esercizio è :
$ int_(-∞)^(+∞) (sin(t))/(t (t^2 + j t + 2) (t^2 - j)) dt $
Ora io credo si debba usare il teorema di Jordan quando gli estremi di integrazione sono +/- infinito.
Il Lemma di Jordan afferma che :
$ int_(-∞)^(+∞) (P(t))/(Q(t))* e^(a*j*t) dt = { ( if a>0=> 2pij*Res(f,z_k)),( if a<0=> - 2pij*Res(f,z_k)):} $
Quindi io dovrei ricondurre la mia integranda nella forma :
$(P(t))/(Q(t))* e^(a*j*t) $ , giusto?
Per farlo ho pensato di scrivere il seno come
$ sin(t) = (e^(jt)- e^(-jt))/(2j) $
e quindi l'integrale iniziale si potrebbe riscrivere come :
$ int_(-∞)^(+∞) e^(j·t)/(t·(t^2 + j·t + 2)·(t^2 - j)·(2·j)) dt $ - $ int_(-∞)^(+∞) e^(- j·t)/(t·(t^2 + j·t + 2)·(t^2 - j)·(2·j)) dt $
Dal polinomio al denominatore risultano 5 poli semplici :
t1 = 0
t2 = - 2j
t3 = j
t4 = - (√2 + √2j)/2
t5 = (√2 + √2j)/2
A questo punto come devo procedere? Grazie per la vostra pazienza e disponibilità
Per risolvere gli integrali in campo complesso il procedimento da seguire è abbastanza standard. L'unica "difficoltà" sta nell'inquadrare bene il dominio di integrazione da utilizzare, il resto sono solo calcoli e considerazioni. Andiamo per gradi :
1) Verifica della sommabilità
Innanzitutto vediamo se l'integranda è una funzione sommabile perchè, in tal caso, sappiamo sicuramente che l'integrale esiste ed è convergente ad un certo valore da definire. Per verificare la sommabilità ci vengono in aiuto i criteri di sommabilità (Analisi 1). Nello specifico dobbiamo verificare se l'integranda (in valore assoluto) è infinitesima di ordine \(\displaystyle \geq 1 \) all'infinito. Siccome :
ovvero per \(\displaystyle t \to +\infty \) è infinitesima di ordine \(\displaystyle 5 \). Osserviamo che (apparentemente) \(\displaystyle t=0 \) è un polo per \(\displaystyle f(t) \) perchè è uno zero del denominatore ed essendo interno all'insieme di integrazione potrebbe dare dei problemi. Tuttavia, se andiamo a classificare la discontinuità in \(\displaystyle 0 \) ci rendiamo conto che :
quindi in campo complesso il punto \(\displaystyle t_0 = 0 \) è un punto di discontinuità eliminabile (quindi non da problemi nell'insieme di integrazione), allora possiamo concludere che \(\displaystyle f(t) \) è sommabile nell'insieme di integrazione e di conseguenza l'integrale esiste e converge.
2) La funzione è pari/dispari ?
Adesso bisogna vedere se la funzione è pari/dispari perchè in tal caso (essendo simmetrica) si potrebbe scrivere :
Tuttavia, calcolando \(\displaystyle f(-t) \) ci rendiamo conto che la funzione non è nè pari nè dispari quindi procediamo allo step successivo.
3) Definiamo la \(\displaystyle f(z) \)
Adesso bisogna definire una \(\displaystyle f(z) \) che ci consente di semplificare un pò i conti dei residui senza andare a modificare il carattere di \(\displaystyle f(t) \), ovvero facendo soltanto delle considerazioni in termini di funzioni complesse. Infatti, sapendo che :
allora possiamo considerare il \(\displaystyle sin(t) \) al numeratore di \(\displaystyle f(t) \) come \(\displaystyle I_m(e^{i\;z}) \) no? Di conseguenza scegliamo :
ricordando che alla fine dei calcoli dovremo considerare soltanto la parte immaginaria della soluzione che otteniamo (a causa della sostituzione che abbiamo appena effettuato). La \(\displaystyle f(z) \) è definita in :
4) Scelta dell'insieme di integrazione
A volte la scelta viene imposta dal testo dell'esercizio quindi pazienza, in quel caso utilizzeremo quello fornito, nei casi in cui dobbiamo sceglierlo noi vediamo un pò come comportarci.
1) Verifica della sommabilità
Innanzitutto vediamo se l'integranda è una funzione sommabile perchè, in tal caso, sappiamo sicuramente che l'integrale esiste ed è convergente ad un certo valore da definire. Per verificare la sommabilità ci vengono in aiuto i criteri di sommabilità (Analisi 1). Nello specifico dobbiamo verificare se l'integranda (in valore assoluto) è infinitesima di ordine \(\displaystyle \geq 1 \) all'infinito. Siccome :
\(\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \left|\frac{sin(t)}{t\;(t^2 + i\;t + 2)(t^2 - i)}\right| \sim \lim_{t \to +\infty} \left|\frac{1}{t^5}\right| = 0 \)
ovvero per \(\displaystyle t \to +\infty \) è infinitesima di ordine \(\displaystyle 5 \). Osserviamo che (apparentemente) \(\displaystyle t=0 \) è un polo per \(\displaystyle f(t) \) perchè è uno zero del denominatore ed essendo interno all'insieme di integrazione potrebbe dare dei problemi. Tuttavia, se andiamo a classificare la discontinuità in \(\displaystyle 0 \) ci rendiamo conto che :
\(\displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) \to \frac{i}{2} \)
quindi in campo complesso il punto \(\displaystyle t_0 = 0 \) è un punto di discontinuità eliminabile (quindi non da problemi nell'insieme di integrazione), allora possiamo concludere che \(\displaystyle f(t) \) è sommabile nell'insieme di integrazione e di conseguenza l'integrale esiste e converge.
2) La funzione è pari/dispari ?
Adesso bisogna vedere se la funzione è pari/dispari perchè in tal caso (essendo simmetrica) si potrebbe scrivere :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 2 \cdot \int_{0}^{+\infty} f(t) dt \)
Tuttavia, calcolando \(\displaystyle f(-t) \) ci rendiamo conto che la funzione non è nè pari nè dispari quindi procediamo allo step successivo.
3) Definiamo la \(\displaystyle f(z) \)
Adesso bisogna definire una \(\displaystyle f(z) \) che ci consente di semplificare un pò i conti dei residui senza andare a modificare il carattere di \(\displaystyle f(t) \), ovvero facendo soltanto delle considerazioni in termini di funzioni complesse. Infatti, sapendo che :
\(\displaystyle e^{i\;z} = cos(z) + i \; sin(z) \)
allora possiamo considerare il \(\displaystyle sin(t) \) al numeratore di \(\displaystyle f(t) \) come \(\displaystyle I_m(e^{i\;z}) \) no? Di conseguenza scegliamo :
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^{i \; z}}{z\;(z^2 + i\;z + 2)(z^2 - i)} \)
ricordando che alla fine dei calcoli dovremo considerare soltanto la parte immaginaria della soluzione che otteniamo (a causa della sostituzione che abbiamo appena effettuato). La \(\displaystyle f(z) \) è definita in :
\(\displaystyle \mathbb{C} - \left\{0, \;i, \; -2i, \; \pm \sqrt{i} \right\} \)
4) Scelta dell'insieme di integrazione
A volte la scelta viene imposta dal testo dell'esercizio quindi pazienza, in quel caso utilizzeremo quello fornito, nei casi in cui dobbiamo sceglierlo noi vediamo un pò come comportarci.
[*:sk2k8o0p]
quando \(\displaystyle f(z) \) è una funzione razionale di tipo polinomiale o trigonometrica (e viene integrata in un qualsiasi sottoinsieme di \(\displaystyle ]-\infty,+\infty[ \)) si usa scegliere come insieme di integrazione la semicirconferenza definita da :
\(\displaystyle T = \left\{z \in \mathbb{C} : I_m(z) \geq 0 \; ; \; \epsilon \leq |z| \leq R \; ; \; R>1 \right\} \)
[/*:sk2k8o0p]
[*:sk2k8o0p]
quando \(\displaystyle f(z) \) è una funzione razionale di tipo polinomiale o trigonometrica (e viene integrata in un qualsiasi sottoinsieme di \(\displaystyle ]0,2\pi[ \)) si usa scegliere come insieme di integrazione la circonferenza goniometrica definita da :
\(\displaystyle T = \left\{z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \right\} \)
[/*:sk2k8o0p]
[*:sk2k8o0p]
quando \(\displaystyle f(z) \) è una funzione in cui compaiono dei logaritmi (poichè in campo complesso ha senso considerare il logaritmo con argomento negativo) dovremo analizzare il comportamento della circonferenza centrata nell'origine e raggio \(\displaystyle R \to \infty \). Per semplificare andremo sempre a considerare le due semicirconferenze :
\(\displaystyle T = \left\{z \in \mathbb{C} : I_m(z) \geq 0 \; ; \; \epsilon \leq |z| \leq R \; ; \; R>1 \right\} \)
\(\displaystyle T^{*} = \left\{z \in \mathbb{C} : I_m(z) \leq 0 \; ; \; \epsilon \leq |z| \leq R \; ; \; R>1 \right\} \)
[/*:sk2k8o0p]
[/list:u:sk2k8o0p]
ma fai attenzione al fatto che gli insiemi visti si riferiscono al caso generale! Se abbiamo dei punti di discontinuità sull'asse reale (cioè a parte immaginaria nulla) il dominio dovrà "scavalcarli" come imposto dal teorema ("...la curva di integrazione non deve passare per nessun punto di singolarità...").
Nel nostro caso la \(\displaystyle f(z) \) deriva da una funzione razionale trigonometrica in cui l'unico punto di singolarità (in questo caso eliminabile) è l'origine quindi il dominio di integrazione ha una forma del tipo 1) e graficamente :
[fcd="Dominio di integrazione"][FIDOCAD]
LI 100 35 100 140 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 20 105 185 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 105 90 4 3 0 0 0 * Γε
TY 120 60 4 3 0 0 0 * ΓR
TY 45 105 4 3 0 0 0 * -R
TY 150 105 4 3 0 0 0 * R
BE 50 105 60 50 140 45 150 105 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 110 105 150 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 105 90 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 90 105 90 95 110 95 110 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
LI 100 35 100 140 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 20 105 185 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 105 90 4 3 0 0 0 * Γε
TY 120 60 4 3 0 0 0 * ΓR
TY 45 105 4 3 0 0 0 * -R
TY 150 105 4 3 0 0 0 * R
BE 50 105 60 50 140 45 150 105 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 110 105 150 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 105 90 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 90 105 90 95 110 95 110 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
Allora per il lemma di Jordan possiamo scrivere :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Dai lemmi del piccolo e grande cerchio si ha che :
[*:sk2k8o0p]
Per il lemma del grande cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{R \to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)
[/*:sk2k8o0p]
[*:sk2k8o0p]
Per il lemma del piccolo cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} (z-0) \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = 0 \)
[/*:sk2k8o0p]
[/list:u:sk2k8o0p]
Quindi passando al limite per \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) si ha :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{0} f(t) dt + \int_{0}^{+\infty} f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt \)
Inoltre, per il teorema dei residui abbiamo che :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 2 \pi \; i \left(\sum_k Res(f(z),z_k) \right)\)
Adesso, quali residui dobbiamo calcolare? Riprendiamo il grafico del dominio (ricordando che \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \)) e tracciamo la posizione dei poli :
[fcd="Poli"][FIDOCAD]
LI 100 35 100 160 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 20 105 185 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 105 90 4 3 0 0 0 * Γε
TY 120 60 4 3 0 0 0 * ΓR
TY 45 105 4 3 0 0 0 * -R
TY 150 105 4 3 0 0 0 * R
TY 100 105 4 3 0 0 1 * 0
TY 105 75 4 3 0 0 1 * i
TY 125 85 4 3 0 0 1 * √i
TY 100 140 4 3 0 0 1 * -2i
SA 100 105 1
SA 100 145 1
SA 125 90 1
SA 100 80 1
BE 50 105 60 50 140 45 150 105 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 110 105 150 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 90 105 90 95 110 95 110 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 105 90 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
LI 100 35 100 160 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 20 105 185 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 105 90 4 3 0 0 0 * Γε
TY 120 60 4 3 0 0 0 * ΓR
TY 45 105 4 3 0 0 0 * -R
TY 150 105 4 3 0 0 0 * R
TY 100 105 4 3 0 0 1 * 0
TY 105 75 4 3 0 0 1 * i
TY 125 85 4 3 0 0 1 * √i
TY 100 140 4 3 0 0 1 * -2i
SA 100 105 1
SA 100 145 1
SA 125 90 1
SA 100 80 1
BE 50 105 60 50 140 45 150 105 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 110 105 150 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 90 105 90 95 110 95 110 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 105 90 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
Quali poli sono contenuti nel dominio di integrazione? Si vede subito che \(\displaystyle i, \; \sqrt{i} \) sono interni mentre tutti gli altri sono esterni, allora andremo a calcolare (ti lascio da fare i conti espliciti) :
\(\displaystyle Res(f(z),i) = \lim_{z \to i} (z-i) \cdot f(z) = \frac{1}{6e} - i \frac{1}{6e}\)
\(\displaystyle Res(f(z),\sqrt{i}) = \lim_{z \to \sqrt{i}} (z-\sqrt{i}) \cdot f(z) = e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \left[ \frac{-(2+\sqrt{2})cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(4-\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2})}{24-4\sqrt{2}} - i \; \frac{(-\sqrt{2}+4)cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(2+\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2})}{24-4\sqrt{2}} \right]\)
Trick: per il calcolo del secondo residuo prova a scrivere in maniera diversa \(\displaystyle \sqrt{i} \)
Adesso calcoliamo :
\(\displaystyle 2 \pi \; i \sum_k Res(f(z),z_k) =
\frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[(-\sqrt{2}+4)cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(2+\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] + i \left( \frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[-(2+\sqrt{2})cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(4-\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] \right)
\)
\frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[(-\sqrt{2}+4)cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(2+\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] + i \left( \frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[-(2+\sqrt{2})cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(4-\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] \right)
\)
Ricordando che (per la sostituzione fatta) dovevamo considerare solo la parte immaginaria della soluzione ottenuta,si ha :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t\;(t^2 + i\;t + 2)(t^2 - i)} dt = \frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[-(2+\sqrt{2})cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(4-\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] \)
PS: controlla meglio i conti perchè all'ultimo mi sono incartato un pò con i segni
"Oiram92":
Per risolvere gli integrali in campo complesso il procedimento da seguire è abbastanza standard. L'unica "difficoltà" sta nell'inquadrare bene il dominio di integrazione da utilizzare, il resto sono solo calcoli e considerazioni. Andiamo per gradi :
1) Verifica della sommabilità
Innanzitutto vediamo se l'integranda è una funzione sommabile perchè, in tal caso, sappiamo sicuramente che l'integrale esiste ed è convergente ad un certo valore da definire. Per verificare la sommabilità ci vengono in aiuto i criteri di sommabilità (Analisi 1). Nello specifico dobbiamo verificare se l'integranda (in valore assoluto) è infinitesima di ordine \(\displaystyle \geq 1 \) all'infinito. Siccome :
\(\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \left|\frac{sin(t)}{t\;(t^2 + i\;t + 2)(t^2 - i)}\right| \sim \lim_{t \to +\infty} \left|\frac{1}{t^5}\right| = 0 \)
ovvero per \(\displaystyle t \to +\infty \) è infinitesima di ordine \(\displaystyle 5 \). Osserviamo che (apparentemente) \(\displaystyle t=0 \) è un polo per \(\displaystyle f(t) \) perchè è uno zero del denominatore ed essendo interno all'insieme di integrazione potrebbe dare dei problemi. Tuttavia, se andiamo a classificare la discontinuità in \(\displaystyle 0 \) ci rendiamo conto che :
\(\displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) \to \frac{i}{2} \)
quindi in campo complesso il punto \(\displaystyle t_0 = 0 \) è un punto di discontinuità eliminabile (quindi non da problemi nell'insieme di integrazione), allora possiamo concludere che \(\displaystyle f(t) \) è sommabile nell'insieme di integrazione e di conseguenza l'integrale esiste e converge.
2) La funzione è pari/dispari ?
Adesso bisogna vedere se la funzione è pari/dispari perchè in tal caso (essendo simmetrica) si potrebbe scrivere :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 2 \cdot \int_{0}^{+\infty} f(t) dt \)
Tuttavia, calcolando \(\displaystyle f(-t) \) ci rendiamo conto che la funzione non è nè pari nè dispari quindi procediamo allo step successivo.
3) Definiamo la \(\displaystyle f(z) \)
Adesso bisogna definire una \(\displaystyle f(z) \) che ci consente di semplificare un pò i conti dei residui senza andare a modificare il carattere di \(\displaystyle f(t) \), ovvero facendo soltanto delle considerazioni in termini di funzioni complesse. Infatti, sapendo che :
\(\displaystyle e^{i\;z} = cos(z) + i \; sin(z) \)
allora possiamo considerare il \(\displaystyle sin(t) \) al numeratore di \(\displaystyle f(t) \) come \(\displaystyle I_m(e^{i\;z}) \) no? Di conseguenza scegliamo :
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^{i \; z}}{z\;(z^2 + i\;z + 2)(z^2 - i)} \)
ricordando che alla fine dei calcoli dovremo considerare soltanto la parte immaginaria della soluzione che otteniamo (a causa della sostituzione che abbiamo appena effettuato). La \(\displaystyle f(z) \) è definita in :
\(\displaystyle \mathbb{C} - \left\{0, \;i, \; -2i, \; \pm \sqrt{i} \right\} \)
4) Scelta dell'insieme di integrazione
A volte la scelta viene imposta dal testo dell'esercizio quindi pazienza, in quel caso utilizzeremo quello fornito, nei casi in cui dobbiamo sceglierlo noi vediamo un pò come comportarci.
[*:3enysmxc]
quando \(\displaystyle f(z) \) è una funzione razionale di tipo polinomiale o trigonometrica si usa scegliere come insieme di integrazione la semicirconferenza definita da :
\(\displaystyle T = \left\{z \in \mathbb{C} : I_m(z) \geq 0 \; ; \; \epsilon \leq |z| \leq R \; ; \; R>1 \right\} \)
[/*:3enysmxc]
[*:3enysmxc]
quando \(\displaystyle f(z) \) è una funzione in cui compaiono dei logaritmi (poichè in campo complesso ha senso considerare il logaritmo con argomento negativo) dovremo analizzare il comportamento della circonferenza centrata nell'origine e raggio \(\displaystyle R \to \infty \). Per semplificare andremo sempre a considerare le due semicirconferenze :
\(\displaystyle T = \left\{z \in \mathbb{C} : I_m(z) \geq 0 \; ; \; \epsilon \leq |z| \leq R \; ; \; R>1 \right\} \)
\(\displaystyle T^{*} = \left\{z \in \mathbb{C} : I_m(z) \leq 0 \; ; \; \epsilon \leq |z| \leq R \; ; \; R>1 \right\} \)
[/*:3enysmxc]
[/list:u:3enysmxc]
ma fai attenzione al fatto che gli insiemi visti si riferiscono al caso generale! Se abbiamo dei punti di discontinuità sull'asse reale (cioè a parte immaginaria nulla) il dominio dovrà "scavalcarli" come imposto dal teorema ("...la curva di integrazione non deve passare per nessun punto di singolarità...").
Nel nostro caso la \(\displaystyle f(z) \) deriva da una funzione razionale trigonometrica in cui l'unico punto di singolarità (in questo caso eliminabile) è l'origine quindi il dominio di integrazione ha una forma del tipo 1) e graficamente :
[fcd="Dominio di integrazione"][FIDOCAD]
LI 100 35 100 140 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 20 105 185 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 105 90 4 3 0 0 0 * Γε
TY 120 60 4 3 0 0 0 * ΓR
TY 45 105 4 3 0 0 0 * -R
TY 150 105 4 3 0 0 0 * R
BE 50 105 60 50 140 45 150 105 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 110 105 150 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 105 90 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 90 105 90 95 110 95 110 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
Allora per il lemma di Jordan possiamo scrivere :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Dai lemmi del piccolo e grande cerchio si ha che :
[*:3enysmxc]
Per il lemma del grande cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{R \to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)
[/*:3enysmxc]
[*:3enysmxc]
Per il lemma del piccolo cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} (z-0) \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = 0 \)
[/*:3enysmxc]
[/list:u:3enysmxc]
Quindi passando al limite per \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) si ha :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{0} f(t) dt + \int_{0}^{+\infty} f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt \)
Inoltre, per il teorema dei residui abbiamo che :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 2 \pi \; i \left(\sum_k Res(f(z),z_k) \right)\)
Adesso, quali residui dobbiamo calcolare? Riprendiamo il grafico del dominio (ricordando che \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \)) e tracciamo la posizione dei poli :
[fcd="Poli"][FIDOCAD]
LI 100 35 100 160 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 20 105 185 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 105 90 4 3 0 0 0 * Γε
TY 120 60 4 3 0 0 0 * ΓR
TY 45 105 4 3 0 0 0 * -R
TY 150 105 4 3 0 0 0 * R
TY 100 105 4 3 0 0 1 * 0
TY 105 75 4 3 0 0 1 * i
TY 125 85 4 3 0 0 1 * √i
TY 100 140 4 3 0 0 1 * -2i
SA 100 105 1
SA 100 145 1
SA 125 90 1
SA 100 80 1
BE 50 105 60 50 140 45 150 105 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 110 105 150 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 90 105 90 95 110 95 110 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 105 90 105 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
Quali poli sono contenuti nel dominio di integrazione? Si vede subito che \(\displaystyle i, \; \sqrt{i} \) sono interni mentre tutti gli altri sono esterni, allora andremo a calcolare (ti lascio da fare i conti espliciti) :
\(\displaystyle Res(f(z),i) = \lim_{z \to i} (z-i) \cdot f(z) = \frac{1}{6e} - i \frac{1}{6e}\)
\(\displaystyle Res(f(z),\sqrt{i}) = \lim_{z \to \sqrt{i}} (z-\sqrt{i}) \cdot f(z) = e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} \left[ \frac{-(2+\sqrt{2})cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(4-\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2})}{24-4\sqrt{2}} - i \; \frac{(-\sqrt{2}+4)cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(2+\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2})}{24-4\sqrt{2}} \right]\)
Trick: per il calcolo del secondo residuo prova a scrivere in maniera diversa \(\displaystyle \sqrt{i} \)
Adesso calcoliamo :
\(\displaystyle 2 \pi \; i \sum_k Res(f(z),z_k) =
\frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[(-\sqrt{2}+4)cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(2+\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] + i \left( \frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[-(2+\sqrt{2})cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(4-\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] \right)
\)
Ricordando che (per la sostituzione fatta) dovevamo considerare solo la parte immaginaria della soluzione ottenuta,si ha :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t\;(t^2 + i\;t + 2)(t^2 - i)} dt = \frac{\pi}{3e} + \frac{\pi \; e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}{12-2\sqrt{2}} \left[-(2+\sqrt{2})cos(\frac{\sqrt{2}}{2})+(4-\sqrt{2})sin(\frac{\sqrt{2}}{2}) \right] \)
PS: controlla meglio i conti perchè all'ultimo mi sono incartato un pò con i segni
@Oiram92 : ok ,credo di amarti
TUTTO CHIARISSIMO , non potevo richiedere spiegazione migliore .
Unici 2 dubbi che mi sono un attimo rimasti nel tuo svolgimento :
1) Nel grafico abbiamo preso anche la semi-circonferenza di raggio ε perché abbiamo così scavalcato la singolarità (sebbene eliminabile) che vi era nell'origine, giusto? Altresì avrei potuto prendere come percorso anche solo la semicirconferenza di raggio R , è corretto?
2)
"Oiram92":
Per il lemma del grande cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{R \to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)
[/*:3enysmxc]
Per il lemma del piccolo cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} (z-0) \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = 0 \)
[/*:3enysmxc]
forse mi prenderai a calci ma quei limiti non fanno zero... ad esempio :
$ lim_(z->0) (z-0) * e^(i·z)/(z·(z^2 + i·z + 2)·(z^2 - i)) = i/2 $ non è uguale a 0 ... MA sicuramente avrò inteso io male qualcosa
Grazie infinite in ogni modo
"Warioss":
1) Nel grafico abbiamo preso anche la semi-circonferenza di raggio ε perché abbiamo così scavalcato la singolarità (sebbene eliminabile) che vi era nell'origine, giusto? Altresì avrei potuto prendere come percorso anche solo la semicirconferenza di raggio R , è corretto?
Esatto
"Warioss":
2) forse mi prenderai a calci ma quei limiti non fanno zero... ad esempio :
$ lim_(z->0) (z-0) * e^(i·z)/(z·(z^2 + i·z + 2)·(z^2 - i)) = i/2 $ non è uguale a 0 ... MA sicuramente avrò inteso io male qualcosa
Tranquillo, non ti prendo a calci, ho sbagliato io
effettivamente quel limite tende a \(\displaystyle \frac{i}{2} \) per \(\displaystyle z \to 0 \) (mentre per \(\displaystyle z \to \infty \) fa \(\displaystyle 0 \)). In questo caso la questione si modifica un pò perchè il lemma del piccolo cerchio ci dice che esso contribuisce all'integrale con mezzo residuo ovvero :\(\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = \frac{1}{2} \left(2 \pi \;i Res(f(z),0) \right) = - \frac{\pi}{2} \)
Di conseguenza, quando \(\displaystyle R \to \infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) avremo :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt - (- \frac{\pi}{2}) = 2 \pi \;i \sum_k Res(f(z),z_k) \)
Cioè :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = - \frac{\pi}{2} + 2 \pi \;i \sum_k Res(f(z),z_k) \)
Il resto del procedimento è invariato perchè dopo aver calcolato i residui (ricontrolla anche quelli) andremo a prendere solo la parte immaginaria.
"Oiram92":
[quote="Warioss"]
1) Nel grafico abbiamo preso anche la semi-circonferenza di raggio ε perché abbiamo così scavalcato la singolarità (sebbene eliminabile) che vi era nell'origine, giusto? Altresì avrei potuto prendere come percorso anche solo la semicirconferenza di raggio R , è corretto?
Esatto
"Warioss":
2) forse mi prenderai a calci ma quei limiti non fanno zero... ad esempio :
$ lim_(z->0) (z-0) * e^(i·z)/(z·(z^2 + i·z + 2)·(z^2 - i)) = i/2 $ non è uguale a 0 ... MA sicuramente avrò inteso io male qualcosa
Tranquillo, non ti prendo a calci, ho sbagliato io
effettivamente quel limite tende a \(\displaystyle \frac{i}{2} \) per \(\displaystyle z \to 0 \) (mentre per \(\displaystyle z \to \infty \) fa \(\displaystyle 0 \)). In questo caso la questione si modifica un pò perchè il lemma del piccolo cerchio ci dice che esso contribuisce all'integrale con mezzo residuo ovvero :\(\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = \frac{1}{2} \left(2 \pi \;i Res(f(z),0) \right) = - \frac{\pi}{2} \)
Di conseguenza, quando \(\displaystyle R \to \infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) avremo :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt - (- \frac{\pi}{2}) = 2 \pi \;i \sum_k Res(f(z),z_k) \)
Cioè :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = - \frac{\pi}{2} + 2 \pi \;i \sum_k Res(f(z),z_k) \)
Il resto del procedimento è invariato perchè dopo aver calcolato i residui (ricontrolla anche quelli) andremo a prendere solo la parte immaginaria.[/quote]
Perfetto Grazie Mille , allora se ti va provo a farne uno da solissimo
Testo : $ int_(-∞)^(+∞) (sin(t))/(t^6+t) $
Passo I : Verifica sommabilità e convergenza
$ lim_(t->+∞) |(sin(t))/(t^6+t)| ~ lim_(t->+∞) |1/t^6| = 0 $ => Essendo un infinitesimo di ordine 6 >=1 , la funzione è sommabile e convergente.
In t = 0 vi è una discontinuità eliminabile , sicché :
$ lim_(t->0) (sin(t))/(t^6+t) = 1 $ .
Passo 2 : simmetrie
Essendo $ f(t) ≠ f(-t) ≠ -f(-t) => $ la funzione non è né pari né dispari
Passo 3 : funzione ausiliaria e poli
Essendo per l'identità di Eulero $ sin(t) = Im(e^(j*t))$
Scegliamo come funzione ausiliaria $f(z) = (e^(jz))/(z^6+z) $
z^6+z = 0 presente i seguenti poli semplici
$ z_0 = 0 $
$ z_1 = -1 $
$ z_2 = sqrt(5/8 + sqrt(5)/8) j + 1/4 (sqrt(5) - 1) $
$ z_3 = sqrt(5/8 - sqrt(5)/8) j + 1/4 (-1 - sqrt(5)) $
$ z_4 = 1/4 (-1 - sqrt(5)) - sqrt(5/8 - sqrt(5)/8) j $
$ z_5 = 1/4 (sqrt(5) - 1) - sqrt(5/8 + sqrt(5)/8) j $
Passo 4 : Scelta dell'insieme di integrazione
Qui mi dà seri problemi la presenza di $ z_1 = -1 $ ... in casi del genere è giusto scegliere il seguente insieme di integrazione ? :
In pratica ho "scavalcato" sia z0 che z1 e dunque gli unici poli inclusi nell'insieme di integrazione sono z2 e z3, è così che si fa?
Passo 5 : calcolo dell'integrale col teorema dei residui ed il lemma di jordan
Allora per il lemma di Jordan possiamo scrivere :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Dai lemmi del piccolo e grande cerchio si ha che :
Per il lemma del grande cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{R \to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)
Per il lemma del piccolo cerchio, essendo :
$lim_(z->0) (z-0) * f(z) = 1 => int_(Gamma_epsilon) f(z) dz = 1/2 * (2 pi j)*Res(f,z_k) = pi * j * 1 = pi*j $
Quindi passando al limite per \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) si ha :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{0} f(t) dt + \int_{0}^{+\infty} f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt \) $+ pi* j $
Inoltre, per il teorema dei residui abbiamo che :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 2 \pi \; i \left(\sum_k Res(f(z),z_k) \right)\) $- pi* j $
E si procede all'inguardabile calcolo dei residui in quei punti e sostituendo nell'espressione di sopra da cui prendiamo solo la parte immaginaria, troviamo il risultato. Tutto corretto?
"Warioss":
Passo I : Verifica sommabilità e convergenza
$ lim_(t->+∞) |(sin(t))/(t^6+t)| ~ lim_(t->+∞) |1/t^6| = 0 $ => Essendo un infinitesimo di ordine 6 >=1 , la funzione è sommabile e convergente.
In t = 0 vi è una discontinuità eliminabile , sicché :
$ lim_(t->0) (sin(t))/(t^6+t) = 1 $ .
Tutto ok
"Warioss":
Passo 2 : simmetrie
Essendo $ f(t) ≠ f(-t) ≠ -f(-t) => $ la funzione non è né pari né dispari
Perfetto
piccola nota: questo passaggio non è necessario scriverlo esplicitamente quando non serve, ti sarà utile nel caso in cui l'integrale da calcolare è del tipo :\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(t) dt \)
in tal caso (se la funzione è pari o dispari) puoi ricondurti al metodo che stiamo vedendo in questi post.
"Warioss":
Passo 3 : funzione ausiliaria e poli
Essendo per l'identità di Eulero $ sin(t) = Im(e^(j*t))$
Scegliamo come funzione ausiliaria $f(z) = (e^(jz))/(z^6+z) $
z^6+z = 0 presente i seguenti poli semplici
$ z_0 = 0 $
$ z_1 = -1 $
$ z_2 = sqrt(5/8 + sqrt(5)/8) j + 1/4 (sqrt(5) - 1) $
$ z_3 = sqrt(5/8 - sqrt(5)/8) j + 1/4 (-1 - sqrt(5)) $
$ z_4 = 1/4 (-1 - sqrt(5)) - sqrt(5/8 - sqrt(5)/8) j $
$ z_5 = 1/4 (sqrt(5) - 1) - sqrt(5/8 + sqrt(5)/8) j $
"Warioss":
Passo 4 : Scelta dell'insieme di integrazione
Qui mi dà seri problemi la presenza di $ z_1 = -1 $ ... in casi del genere è giusto scegliere il seguente insieme di integrazione ? :
In pratica ho "scavalcato" sia z0 che z1 e dunque gli unici poli inclusi nell'insieme di integrazione sono z2 e z3, è così che si fa?
L'idea di fondo è giusta però ricorda che quando scavalchi le singolarità stai usando "il cerchio piccolo" cioè stai facendo delle semicirconferenze di raggio molto piccolo intorno alle singolarità! Tutte le singolarità a parte immaginaria nulla. Infatti, quando applichiamo il lemma del cerchio piccolo andiamo a supporre che \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) di conseguenza il raggio della semicirconferenza (appunto \(\displaystyle \epsilon \)) diventa man mano sempre più piccolo finchè (al limite) la circonferenza sparisce del tutto ed il lemma ci fornisce il contributo del polo all'integrale. Il grafico corretto sarebbe :
[fcd="Cammino"][FIDOCAD]
LI 175 50 175 260 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 15 175 340 175 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 25 175 4 3 0 0 0 * -R
TY 320 175 4 3 0 0 0 * R
TY 95 175 4 3 0 0 0 * -1
TY 115 175 4 3 0 0 0 * -1-δ
TY 70 175 4 3 0 0 0 * -1+δ
TY 155 175 4 3 0 0 0 * -ε
TY 185 175 4 3 0 0 0 * ε
SA 175 175 0
SA 100 175 0
TY 255 135 4 3 0 0 1 * z2
SA 255 210 1
SA 140 120 1
SA 140 240 1
TY 140 115 4 3 0 0 1 * z3
TY 145 235 4 3 0 0 1 * z5
TY 175 175 4 3 0 0 1 * z0
TY 255 205 4 3 0 0 1 * z4
SA 255 140 1
TY 100 170 4 3 0 0 1 * z1
BE 80 175 80 155 115 150 120 175 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 160 175 160 160 185 160 185 175 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 30 175 80 175 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 185 175 320 175 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
BE 30 175 55 30 310 45 320 175 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 120 175 160 175 2
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
dove \(\displaystyle \epsilon,\delta \) sono quantità "piccole a piacere" che al limite tendono a \(\displaystyle 0 \).
"Warioss":
Passo 5 : calcolo dell'integrale col teorema dei residui ed il lemma di jordan
Allora per il lemma di Jordan possiamo scrivere :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Quasi..avendo "toppato" il disegno non ti sei reso conto del fatto che abbiamo un altro punto di singolarità che contribuisce all'integrale. Vediamo di aggiustarlo, dunque, come si vede dal grafico l'integrale sul cammino vale :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-1-\delta} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\delta}} f(z) dz + \int_{-1+\delta}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Per il lemma del grande cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{R \to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)
Per il lemma del piccolo cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z \; f(z) = 1 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = i \; \pi \)
\(\displaystyle \lim_{z \to -1} (z+1) \; f(z) = \frac{-cos(1)+ i\; sin(1)}{5} \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\delta \to 0} \int_{+\Gamma_{\delta}} f(z) dz = - \frac{\pi}{5} (sin(1) + i \; cos(1)) \)
Quindi passando al limite per \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon,\delta \to 0 \) si ha :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt - i \; \pi + \frac{\pi}{5} (sin(1) + i \; cos(1)) = 2 \pi \; i \; \sum_k Res(f(z),z_k) \)
Adesso, considerando che i punti interni :
\(\displaystyle z_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{4} + i \; \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; z_3 = \frac{1-\sqrt{5}}{4} + i \; \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}} \)
Calcolando i residui :
\(\displaystyle Res(f(z), z_2) = -\frac{1}{5} cos(z_2) - \frac{i}{5} sin(z_2) \)
\(\displaystyle Res(f(z), z_3) = -\frac{1}{5} cos(z_3) - \frac{i}{5} sin(z_3) \)
Quindi :
\(\displaystyle 2 \pi \; i \; \sum_k Res(f(z),z_k) = \frac{2 \pi}{5} \left( sin(z_2) + sin(z_3) \right) - i \; \frac{2 \pi}{5} \left(cos(z_2) + cos(z_3) \right) \)
Infine :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = \frac{2 \pi}{5} \left( sin(z_2) + sin(z_3) \right) - \frac{\pi}{5} sin(1) - i \; \left[- \pi + \frac{\pi}{5} cos(1) + \frac{2 \pi}{5} \left(cos(z_2) + cos(z_3) \right) \right] \)
Adesso dobbiamo osservare una cosa importante, \(\displaystyle z_2,z_3 \in \mathbb{C} \) sono argomenti del seno e coseno quindi la soluzione che dovremo prendere è :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t^6+t} dt = I_m \left\{\frac{2 \pi}{5} \left( sin(z_2) + sin(z_3) \right)\right\} + \pi - \frac{\pi}{5} cos(1) - \frac{2 \pi}{5} \left(cos(z_2) + cos(z_3) \right) \)
e non solo la seconda parte in cui figura la \(\displaystyle i \) proprio per il fatto che gli argomenti \(\displaystyle z_2,z_3 \) sono complessi ed avranno anche loro parte reale e parte immaginaria (e contribuiscono al risultato dell'integrale).
Al comodo elenco fatto da Oiram92 aggiungo che è doveroso saper classificare le singolarità dell'integrando complesso, prima di mettersi a far conti inutili.
Ad esempio, come osservavo prima, la funzione "brutta" di uno dei primi esercizi, cioè:
\[
f(z) = \frac{\sin \left( \frac{1}{z}\right)\ \cos\left( \frac{1}{z - 2}\right)}{z - 5}
\]
non ha affatto poli del primo ordine in $0$ ed in $2$, ma singolarità di tipo essenziale; quindi è impossibile calcolarne il residuo con qualche "formula magica" e bisogna ricorrere o all'espansione in serie di Laurent, oppure fare il conto in maniera diversa.
Ad esempio, come osservavo prima, la funzione "brutta" di uno dei primi esercizi, cioè:
\[
f(z) = \frac{\sin \left( \frac{1}{z}\right)\ \cos\left( \frac{1}{z - 2}\right)}{z - 5}
\]
non ha affatto poli del primo ordine in $0$ ed in $2$, ma singolarità di tipo essenziale; quindi è impossibile calcolarne il residuo con qualche "formula magica" e bisogna ricorrere o all'espansione in serie di Laurent, oppure fare il conto in maniera diversa.
@gugo82 ti dispiacerebbe approfondire un pò la questione riguardo alla risoluzione tramite lo sviluppo in serie di Laurent? Anche io sto studiando per l'appello di analisi 3 e mi farebbe comodo avere a disposizione qualche strumento in più (dato che il mio libro non è molto chiaro a riguardo).
Per argomentare un pò ciò che ho capito dal mio libro. Sviluppiamo in serie di Laurent (centrata in \(\displaystyle z=0 \)) :
e sviluppiamo in serie di Laurent (centrata in \(\displaystyle z=2 \)) :
Effettuando il prodotto secondo Cauchy possiamo scrivere :
che dovrebbe essere lo sviluppo in serie di Laurent cercato giusto? Da qui in poi non riesco più a capire dove si voglia andare a parare
Per argomentare un pò ciò che ho capito dal mio libro. Sviluppiamo in serie di Laurent (centrata in \(\displaystyle z=0 \)) :
\(\displaystyle sin \left(\frac{1}{z} \right) = \sum_{n}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{2n+1}} \)
e sviluppiamo in serie di Laurent (centrata in \(\displaystyle z=2 \)) :
\(\displaystyle cos \left(\frac{1}{z-2}\right) = \sum_{n}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \frac{1}{(z-2)^{2n}}\)
Effettuando il prodotto secondo Cauchy possiamo scrivere :
\(\displaystyle sin \left(\frac{1}{z}\right)\cdot cos \left(\frac{1}{z-2}\right) = \sum_{n}^{+\infty} \sum_{k}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{1}{z^{2k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!} \frac{1}{(z-2)^{2(n-k)}} \)
\(\displaystyle = \sum_{n}^{+\infty} \sum_{k}^{n} \frac{(-1)^n}{(2k+1)! \; (2(n-k))!} \frac{1}{z^{2k+1} \cdot (z-2)^{2(n-k)}} \)
che dovrebbe essere lo sviluppo in serie di Laurent cercato giusto? Da qui in poi non riesco più a capire dove si voglia andare a parare
"Oiram92":
Allora per il lemma di Jordan possiamo scrivere :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Quasi..avendo "toppato" il disegno non ti sei reso conto del fatto che abbiamo un altro punto di singolarità che contribuisce all'integrale. Vediamo di aggiustarlo, dunque, come si vede dal grafico l'integrale sul cammino vale :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-1-\delta} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\delta}} f(z) dz + \int_{-1+\delta}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Per il lemma del grande cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{R \to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)
Per il lemma del piccolo cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z \; f(z) = 1 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = i \; \pi \)
\(\displaystyle \lim_{z \to -1} (z+1) \; f(z) = \frac{-cos(1)+ i\; sin(1)}{5} \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\delta \to 0} \int_{+\Gamma_{\delta}} f(z) dz = - \frac{\pi}{5} (sin(1) + i \; cos(1)) \)
Quindi passando al limite per \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon,\delta \to 0 \) si ha :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt - i \; \pi + \frac{\pi}{5} (sin(1) + i \; cos(1)) = 2 \pi \; i \; \sum_k Res(f(z),z_k) \)
Adesso, considerando che i punti interni :
\(\displaystyle z_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{4} + i \; \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; z_3 = \frac{1-\sqrt{5}}{4} + i \; \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}} \)
Calcolando i residui :
\(\displaystyle Res(f(z), z_2) = -\frac{1}{5} cos(z_2) - \frac{i}{5} sin(z_2) \)
\(\displaystyle Res(f(z), z_3) = -\frac{1}{5} cos(z_3) - \frac{i}{5} sin(z_3) \)
Quindi :
\(\displaystyle 2 \pi \; i \; \sum_k Res(f(z),z_k) = \frac{2 \pi}{5} \left( sin(z_2) + sin(z_3) \right) - i \; \frac{2 \pi}{5} \left(cos(z_2) + cos(z_3) \right) \)
Infine :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = \frac{2 \pi}{5} \left( sin(z_2) + sin(z_3) \right) - \frac{\pi}{5} sin(1) - i \; \left[- \pi + \frac{\pi}{5} cos(1) + \frac{2 \pi}{5} \left(cos(z_2) + cos(z_3) \right) \right] \)
Adesso dobbiamo osservare una cosa importante, \(\displaystyle z_2,z_3 \in \mathbb{C} \) sono argomenti del seno e coseno quindi la soluzione che dovremo prendere è :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(t)}{t^6+t} dt = I_m \left\{\frac{2 \pi}{5} \left( sin(z_2) + sin(z_3) \right)\right\} + \pi - \frac{\pi}{5} cos(1) - \frac{2 \pi}{5} \left(cos(z_2) + cos(z_3) \right) \)
e non solo la seconda parte in cui figura la \(\displaystyle i \) proprio per il fatto che gli argomenti \(\displaystyle z_2,z_3 \) sono complessi ed avranno anche loro parte reale e parte immaginaria (e contribuiscono al risultato dell'integrale).
Fantastico! Tutto Chiaro!
Allora adesso provo davvero a farne uno fino in fondo da solo, spero che tu possa dirmi finalmente " okay, adesso è giusto"
P.S.: Ho avuto un'intuizione per l'altro esercizio , quello del quale stai discutendo anche tu con gugo82 , anche se ancora non ne sono venuto a capo definitivamente, dopo accludo anche questa intuizione.
Allora partiamo dall'esecizio nuovo :
Testo:
$ int_(-∞)^(+∞) (sin(t))/((t^2-i)(t+i)) $
Passo I : sommabilità e convergenza
$ lim_(t->∞) |(sin(t))/((t^2-i)(t+i))| ~ lim_(t->∞) |1/t^3| = 0 $
Allora la funzione integranda , essendo un infinitesimo di ordine 3>=1 è sommabile e convergente.
In t = 0 presente una discontinuità eliminabile , in quanto :
$lim_(t->0) (sin(t))/((t^2-i)(t+i)) = 0 $
Passo II : Funzione Ausiliaria e Individuazione dei Poli con Classificazione
Dall'identità di Eulero : $ sin(t) = Im{e^(i*t)} $
Da cui la nostra funzione ausiliaria sarà
$ f(z) = (e^(i*t))/((z^2-i)(z+i)) $
I cui poli sono
$ z_0 = -i $
$ z_1 = +√i $
$ z_2 = - √i $
E sono tutti poli semplici
Passo III : Individuazione del dominio di integrazione
Allora per il lemma di Jordan possiamo scrivere :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} f(t) dt - \int_{+ \Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} f(t) dt + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz \)
Per il lemma del grande cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{R \to +\infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)
Per il lemma del piccolo cerchio, essendo :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} (z-0) \cdot f(z) = 0 \;\;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\;\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = 0 \)
Quindi passando al limite per \(\displaystyle R \to +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) si ha :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{0} f(t) dt + \int_{0}^{+\infty} f(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt \)
Inoltre, per il teorema dei residui abbiamo che :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 2 \pi \; i \left(\sum_k Res(f(z),z_k) \right)\)
Passo IV : Calcolo dei residui e risultato
Come si vede dal dominio di integrazione, l'unico polo che dobbiamo considerare è $ z_1 = +√i $ , allora :
$ (2*pi*i) Res(f,√i ) = (2*pi*i) * lim_(z->√i) (z-√i) * (e^(iz))/((z+√i)(z-√i)(z+i)) = (2*pi*i) * lim_(z->√i)(e^(iz))/((z+√i)(z+i)) =
e^(- √2/2)(pi/2·cos(√2/2) + pi·((√2 - 1)/2)·sin(√2/2)) + i·e^(- √2/2)·(pi/2·sin(√2/2) - pi·((√2 - 1)/2)·cos(√2/2)) $
Ora il risultato dell'integrale di partenza sarà la parte immaginaria del residuo calcolato sopra :
$ int_(-∞)^(+∞) (sin(t))/((t^2-i)(t+i)) = e^(- √2/2)·(pi/2·sin(√2/2) - pi·((√2 - 1)/2)·cos(√2/2)) $
Credo sia corretto lo svolgimento , anche se non so perché mi trovo un po' diverso dal risultato proposto da wolfram alpha:
Fammi sapere se stavolta, finalmente, può andare e così mi tolgo dalle scatole
Per quanto riguarda invece il seguente esercizio :
Testo:
$ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) $ dove $ D = {z ∈ C : |z| < 3 } $
Abbiamo concordato che esso presenta :
in z= 0 e z=2 , due singolarità essenziali
e in z = 5 un polo semplice
Ora in generale se le singolarità sono un numero finito e queste sono isolate , di conseguenza anche quella all'infinito lo è e quindi vale che la somma dei residui fa 0 : $∑Res(f, z_k) = 0 $
Per tanto possiamo scrivere che :
$ Res(f, 0) + Res(f, 2) = –Res(f, 5) – Res(f, ∞) $
E i due ultimi residui sono calcolabili facilmente: z = 5 e z = ∞ sono dei poli.
Dunque :
$ Res(f,5) = lim_(z->5) (z-5)*(sin(1/z)*cos(1/(z-2))/(z-5)) = sin(1/5)*cos(1/3) $
Mentre per il residuo all'infinito determino g(w) ponendo z = 1/w in f(z) e poi risulta che
$ Res(f,∞) = - Res(g(w)/w^2 , 0 ) $
Allora
$ g(w) = (w·sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(1 - 5·w) => g(w)/w^2 = (sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(w·(1 - 5·w)) $
In definitiva:
$ Res(g(w)/w^2 , 0 ) = lim_(w->0) w * (sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(w·(1 - 5·w)) = 0 $ .
Ora 1) non sono sicuro di aver calcolato bene il residuo all'infinito, 2) non so come concludere l'esercizio
Il procedimento mi pare corretto (a parte il fatto che non abbiamo nessuna singolarità in \(\displaystyle 0 \) quindi non è necessario scavalcare quel punto). Però effettivamente il risultato che ottieni (e ottengo) è diverso da quello calcolato tramite software. Espandendo la soluzione dovremmo avere :
quindi probabilmente questo procedimento non è praticabile in questo caso.
\(\displaystyle \left(\frac{\pi}{2} - i \; \frac{\pi}{2} \right) \left(cos(\sqrt{i}) - cos(i) + i sin(\sqrt{i}) + \frac{sin(i)}{i} \right)\)
quindi probabilmente questo procedimento non è praticabile in questo caso.
"Oiram92":
(a parte il fatto che non abbiamo nessuna singolarità in \(\displaystyle 0 \) quindi non è necessario scavalcare quel punto)
Verissimo , hai ragione ... bastava usare come dominio di integrazione solo la semi-circonferenza di raggio R e dunque il lemma del grande cerchio, ma ad ogni modo non torna il risultato...
Allora aspettiamo gugo82 per conoscere cosa c'è che non va con i nostri approcci in quei due esercizi
Grazie mille comunque per la cortesia
---------------
Aggiornamento : ho rivisto i miei calcoli sul residuo all'infinito e credo che sia tutto corretto
@Gugo82 , ti riassumo allora brevemente i due esercizi per i quali chiediamo , se possibile , la tua attenzione, tutto quello precedente è andato
.Gli esercizi sono :
1° Esercizio
$ int_(partial D )^() (sin(1/z) cos(1/(z - 2)))/(z - 5) $ dove $ D = {z ∈ C : |z| < 3 } $
La funzione integranda presenta :
in z=0 e z=2 , due singolarità essenziali
e in z = 5 un polo semplice
Ora in generale se le singolarità sono un numero finito e queste sono isolate , di conseguenza anche quella all'infinito lo è e quindi vale che la somma dei residui fa 0 : $∑Res(f, z_k) = 0 $
Per tanto possiamo scrivere che :
$ Res(f, 0) + Res(f, 2) = –Res(f, 5) – Res(f, ∞) $
E i due ultimi residui sono calcolabili facilmente: z = 5 e z = ∞ sono dei poli.
Dunque :
$ Res(f,5) = lim_(z->5) (z-5)*(sin(1/z)*cos(1/(z-2))/(z-5)) = sin(1/5)*cos(1/3) $
Mentre per il residuo all'infinito determino g(w) ponendo z = 1/w in f(z) e poi risulta che
$ Res(f,∞) = - Res(g(w)/w^2 , 0 ) $
Allora
$ g(w) = (w·sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(1 - 5·w) => g(w)/w^2 = (sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(w·(1 - 5·w)) $
In definitiva:
$ Res(g(w)/w^2 , 0 ) = lim_(w->0) w * (sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(w·(1 - 5·w)) = 0 $ .
Pertanto io concluderei che :
$ ∫_(∂D) f(z)dz = 2πj(Res(f,0) + Res(f,3)) = –2πj(Res(f,5) + Res(f,∞)) = –2πj sin(1/5)cos(1/3) $
E' tutto corretto , risultato compreso?
2° Esercizio
$ int_(-∞)^(+∞) (sin(t))/((t^2-i)(t+i)) $
La funzione integranda , essendo un infinitesimo di ordine 3>=1 è sommabile e convergente.
Si sfrutta l'identità di Eulero : $ sin(t) = Im{e^(i*t)} $
Da cui la nostra funzione ausiliaria sarà
$ f(z) = (e^(i*t))/((z^2-i)(z+i)) $
I cui poli sono
$ z_0 = -i $
$ z_1 = +√i $
$ z_2 = - √i $
E sono tutti poli semplici.
Si sceglie il seguente dominio T di integrazione :
E si conclude che per il teorema dei residui congiuntamente col lemma del grande cerchio :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 2 \pi \; i \left(\sum_k Res(f(z),z_k) \right)\)
Come si vede dal dominio di integrazione, l'unico polo che dobbiamo considerare è $ z_1 = +√i $ , allora :
$ (2*pi*i) Res(f,√i ) = (2*pi*i) * lim_(z->√i) (z-√i) * (e^(iz))/((z+√i)(z-√i)(z+i)) =
(2*pi*i) * lim_(z->√i)(e^(iz))/((z+√i)(z+i)) =
e^(- √2/2)(pi/2·cos(√2/2) + pi·((√2 - 1)/2)·sin(√2/2)) + i·e^(- √2/2)·(pi/2·sin(√2/2) - pi·((√2 - 1)/2)·cos(√2/2)) $
Ora il risultato dell'integrale di partenza sarà la parte immaginaria del residuo calcolato sopra :
$ int_(-∞)^(+∞) (sin(t))/((t^2-i)(t+i)) = e^(- √2/2)·(pi/2·sin(√2/2) - pi·((√2 - 1)/2)·cos(√2/2)) $
Apparentemente sembrerebbe un procedimento corretto, ma wolframalpha suggerisce un risultato diverso, ossia:
Cosa sbagliamo dunque?
Grazie in anticipo
"Warioss":
Mentre per il residuo all'infinito determino g(w) ponendo z = 1/w in f(z) e poi risulta che
$ Res(f,∞) = - Res(g(w)/w^2 , 0 ) $
Allora
$ g(w) = (w·sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(1 - 5·w) => g(w)/w^2 = (sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(w·(1 - 5·w)) $
In definitiva:
$ Res(g(w)/w^2 , 0 ) = lim_(w->0) w * (sin(w)·cos(w/(2·w - 1)))/(w·(1 - 5·w)) = 0 $ .
Qui c'è qualche errore, intanto :
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z} \; \frac{1}{1-5\frac{1}{z}} sin \left(\frac{1}{z}\right)\;cos \left(\frac{1}{z} \; \frac{1}{1-2\;\frac{1}{z}}\right) \)
Quindi :
\(\displaystyle f \left(\frac{1}{z}\right) = f(\omega) = \frac{\omega}{1-5\omega}\; sin(\omega)\; cos \left(\frac{\omega}{1-2\omega}\right) \)
Inoltre il residuo all'infinito si calcola come (hai dimenticato il meno):
\(\displaystyle Res \left(-\frac{1}{\omega^2} f(\omega), 0 \right)= \lim_{\omega \to 0} - \frac{sin(\omega)}{w} \frac{1}{1-5\omega} \; cos\left(\frac{\omega}{1-2\omega}\right) = -1 \)
Di conseguenza :
\(\displaystyle \int_{+ \partial D} \frac{sin \left(\frac{1}{z} \right)\cdot cos\left(\frac{1}{z-2}\right)}{z-5} dz = 2 \pi \; i \left(- sin\left(\frac{1}{5}\right)\;cos\left(\frac{1}{3}\right)+1\right) \)
Per quanto riguarda il secondo esercizio anche io invoco l'aiuto di @gugo82 perchè non ho proprio la più pallida idea di come procedere..Facendo un pò di reverse engineering a partire dalla soluzione sembrerebbe che la sostituzione corretta per il \(\displaystyle sin(z) \) sia :
\(\displaystyle sin(z) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{-i} \right) \left(-\frac{1}{e} + e^{i \frac{3}{2}}\right) \)
ma non capisco proprio da dove derivi..
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