Analisi complessa

[wedge]

Calcolare il seguente integrale sul contorno circolare |z|=1

$1/(2pi i) int frac{f'(z)}{f(z)} dz$ [1]

nei seguenti casi:
a) $f(z) = (z − z_0)^m$ con m intero positivo e $|z_0| < 1$
b) $f(z) = 1/(z−z0)^m$ con m intero positivo e $|z_0| < 1$
c) con una generica funzione razionale $f(z) = (P^n (z))/ (Q^m (z))$ con P e Q polinomi di grado n e m, rispettivamente.

posto la mia soluzione in spoiler, grazie a chi ci darà un'occhiata

punto a
$f(z) = (z - z_0)^m$
$f'(z) = m(z - z_0)^(m-1)$
l'integrale diventa $1/(2pi i) int frac{m}{z-z_0} dz = m$


punto b
con un ragionamento simile si arriva al risultato $-m$


punto c, quello che mi ha fatto penare
$f(z)=P/Q$
$f'(z)= (Q P' - P Q')/(Q^2)$
l'integrale [1] diventa quindi con poche manipolazioni algebriche
$1/(2pi i) int frac{P'}{P} - frac{Q'}{Q} dz$ [2]
per il teorema fondamentale dell'algebra P avrà l radici, quindi

$P= (z-z_1)(z-z_2)....(z-z_l)$
$P'= (z-z_1)(z-z_2)....(z-z_l) * sum_1 ^l 1/(z-z_i)$

idem per Q e Q', quindi [2]
diventa $1/(2pi i) int sum_1 ^l 1/(z-z_i) - sum_1 ^m 1/(z-z_m) dz$
direi quindi che la soluzione è
$1/(2pi i) int frac{f'(z)}{f(z)} dz = p - q$,
ove p è il numero delle radici di P che cadono entro il cerchio unitario e similmente q il numero delle radici di Q entro il cerchio unitario.

che ne dite?

[leev]

Anche in c) le singolarità di $f$ son supposte essere di modulo diverso da 1?

Lo chiedo, più che altro, perché ho trovato un teorema, che conferma i tuoi risultati, e che nessita quest'ipotesi.

Comunque, sbaglio, o in c non hai risolto esattamente lo stesso problema che avevi posto?

[wedge]

"leev":Anche in c) le singolarità di $f$ son supposte essere di modulo diverso da 1?

è vero, non ho considerato il caso in cui le singolarità con modulo 1.
in tal caso mi sembra di ricordare che il residuo pesa metà se la singolarità cade sul cammino di integrazione

Comunque, sbaglio, o in c non hai risolto esattamente lo stesso problema che avevi posto?

in cosa è diverso?

[leev]

"wedge":

Comunque, sbaglio, o in c non hai risolto esattamente lo stesso problema che avevi posto?

in cosa è diverso?

ah no, scusa, avevo interpretato male gli indici sui polinomi

"wedge":[quote="leev"]Anche in c) le singolarità di $f$ son supposte essere di modulo diverso da 1?

è vero, non ho considerato il caso in cui le singolarità con modulo 1.
in tal caso mi sembra di ricordare che il residuo pesa metà se la singolarità cade sul cammino di integrazione
[/quote]

perché pesa metà?

[Eredir]

Piccola nota informativa: il risultato del terzo integrale, nel caso in cui la funzione non abbia zeri e poli sul cammino, viene chiamato principio dell'argomento ed è utilizzato per collegare il numero di avvolgimenti al numero di zeri e poli della funzione.

[wedge]

"leev":
perché pesa metà?

è una cosa che mi sembra d'aver visto un po' di tempo fa. il gioco consisteva nel girare attorno alla singolarità sul cammino con un pezzo di cammino semicircolare con raggio che tende a 0.
se riesco più tardi formalizzo il procedimento.

[Kroldar]

"wedge":
il gioco consisteva nel girare attorno alla singolarità sul cammino con un pezzo di cammino semicircolare con raggio che tende a 0.

Esatto. Si sfrutta il lemma del piccolo cerchio.

[Lau2]

ciao a tutti....sto studiando proprio ora per l'esame funzioni di una variabile complessa!!
sulle dispense del mio professore tutto è confermato...a parte il fatto che nel punto c l'integrale è uguale a p-q pero p non dovrebbe essere uguale al numero di radici di P pero contati con molteplicità? e allo stesso modo q il numero di radici di Q contati con molteplicità?

[leev]

sìsì, le molteplicità vanno considerate
e son considerate nel procedimento di wedge