Analisi complessa

[Pivot1]

Trovare e^z dove z è un numero complesso della roma x+iy.

1) z = e + i5pigreco

e^z = (e^x) *(cosy + i seny) per definizione.

allora e^(e + i5pigreco) = (e^e)*(cos5pigreco + isen5pigreco) = - e^e;

Ora come si fa quest'altro?

2) z = -i

e^z = (e^x) *(cosy + i seny) per definizione.

e^(-i) = [cos(-i) + i sen(-i)]

ora come si procede? Si usano gli archi associat, o si applicano le definizioni

cosz = (1/2)*(e^iz + e^ -iz)

senz = (1/2i)*(e^iz - e^-iz)

e quast'altro:

3) z = pigraco - i/2

e^z = (e^x) *(cosy + i seny) per definizione.

e^(pigreco- i/2) = e^pigreco * [cos(-1/2) + i sen(-1/2)]

Ora come prima, come si procede?

Grazie mille ciao

[Nidhogg]

(3) $e^(a+ib)=e^a*(cos(b) + i*sin(b))=e^(pi)*(cos(-1/2) + i*sin(-1/2))$, essendo $cos(-z)=cos(z)$ e $sin(-z)=-sin(z)$ si ha:
$e^(pi)*(cos(-1/2) + i*sin(-1/2))=e^(pi)*(cos(1/2) - i*sin(1/2))$

Per la formula di Eulero $e^(-i*theta) = cos(theta) - i*sin(theta)$, si ha:

$e^(pi)*(cos(1/2) - i*sin(1/2))=e^(pi)*e^(-i/2)=e^(pi-1/2)$

[spassky]

2) z = -i

e^z = (e^x) *(cosy + i seny) per definizione.

e^(-i) = [cos(-i) + i sen(-i)]

ora come si procede? Si usano gli archi associat, o si applicano le definizioni

cosz = (1/2)*(e^iz + e^ -iz)

senz = (1/2i)*(e^iz - e^-iz)

E' l'applicazione della definizione che mi sembra errata. Nell'esponenziale complesso, oltre a e^Re(z) l'argomento delle funzioni sin e cos è Im(z) che nel caso z=-i è pari a -1, non a -i...
Ti trovi ?

[Nidhogg]

(2) $e^(ib)=cos(b) + i*sin(b)=(cos(-1) + i*sin(-1))$, essendo $cos(-z)=cos(z)$ e $sin(-z)=-sin(z)$ si ha:
$(cos(-1) + i*sin(-1))=(cos(1) - i*sin(1))$

Per la formula di Eulero $e^(-i*theta) = cos(theta) - i*sin(theta)$, si ha:

$(cos(1) - i*sin(1))=e^(-i)$

[Pivot1]

si hai ragione mi sono confuso Grazie leonardo ora è più chiaro.