Analisi 5
$f:\RR->\RR$ $C^1$ e limitata. Mostrare che tutte le soluzioni di $y'=f(y)$ sono monotone.
Risposte
Ti mando un'idea che dovrebbe funzionare se "messa in bella".
Dato che $f$ è $C^1$ la soluzione è unica. In particolare se ho una soluzione $y$
e ad un certo istante $x_0$ si ha $f(y(x_0))=0$ allora la soluzione deve essere costante
(perché la costante è soluzione e vale l'unicità).
Questo implica che se $f(y(x_0))>0$ allora $f(y(x))>0$ per ogni $x$, altrimenti
$f(y(x))$ dovrebbe passare per zero, ma in questo caso dovrebbe essere sempre stata
zero. Stesso discorso se $f(y(x_0))<0$.
Dato che $f$ è $C^1$ la soluzione è unica. In particolare se ho una soluzione $y$
e ad un certo istante $x_0$ si ha $f(y(x_0))=0$ allora la soluzione deve essere costante
(perché la costante è soluzione e vale l'unicità).
Questo implica che se $f(y(x_0))>0$ allora $f(y(x))>0$ per ogni $x$, altrimenti
$f(y(x))$ dovrebbe passare per zero, ma in questo caso dovrebbe essere sempre stata
zero. Stesso discorso se $f(y(x_0))<0$.
la limitatezza serve per l'unicità perchè l'intervallo non è compatto?
Premesso che stasera non sono sicuro di ragionare bene (ho appena detto delle stupidaggini nel post sulla doppia induzione), devo
confessare che a parere mio la limitatezza di $f$ non serve. Se $f$ è $C^1$ allora è localmente lipschitziana e quindi la soluzione fino a che
esiste è unica e mi pare allora che il ragionamento che ho accennato preima dovrebbe funzionare - controlla però.
In realtà, secondo me non serve neanche la derivabilità perché si tratta di un'equazione a variabili separabili e si può
dare una formula per le soluzioni (in assenza di lipschitzianità soluzioni non costanti possono incollarsi alle costant, ma non
possono tornare indietro).
Comunque nel caso $C^1$ l'unicità dovrebbe aiutare: le soluzioni che in $x_0$ partono da una $y_0$
in cui $f$ è positiva rimangono sempre nella componente connessa di ${f(y)>0}$ che contiene $y_0$ non potendo mai raggiungere uno zero di $f$
(appunto per l'unicità).
confessare che a parere mio la limitatezza di $f$ non serve. Se $f$ è $C^1$ allora è localmente lipschitziana e quindi la soluzione fino a che
esiste è unica e mi pare allora che il ragionamento che ho accennato preima dovrebbe funzionare - controlla però.
In realtà, secondo me non serve neanche la derivabilità perché si tratta di un'equazione a variabili separabili e si può
dare una formula per le soluzioni (in assenza di lipschitzianità soluzioni non costanti possono incollarsi alle costant, ma non
possono tornare indietro).
Comunque nel caso $C^1$ l'unicità dovrebbe aiutare: le soluzioni che in $x_0$ partono da una $y_0$
in cui $f$ è positiva rimangono sempre nella componente connessa di ${f(y)>0}$ che contiene $y_0$ non potendo mai raggiungere uno zero di $f$
(appunto per l'unicità).
$f:RR rightarrow RR$ e tale che $f in C^1(RR,RR)$ implica che $f$ è globalmente Lipschitziana e quindi la soluzione esiste ed è unica.
Non è vero... $f(x)=x^2$ non è lipschitziana.
Però $C^1$ e limitata implica globalmente lipschitziana?
Comunque credo che tu abbia ragione Vicious
Comunque credo che tu abbia ragione Vicious
o meglio penso che servano per lavorare su soluzioni globali. Ecco, forse il problema è che se la soluzione è definita solo su un intorno, poi si potrebbe prolungare su un altro intervallo in qualche altra maniera facendo perdere la monotonia. (Si avrebbe monotonia su ciascun intervallo, ma non globale)
"Luca.Lussardi":
Non è vero... $f(x)=x^2$ non è lipschitziana.
$f$ però limitata non è!
Sia $f:RR rightarrow RR$ tale che $f in C^1(RR,RR)$ limitata, allora esiste una costante $K>=0$ tale che:
$|f(x_1)-f(x_2)| <= K|x_1-x_2|$
mi pare di ricordare che questo segue da:
$|(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2)|=|f'(epsilon)|$
ma non ricordo i dettagli...
$|f(x_1)-f(x_2)| <= K|x_1-x_2|$
mi pare di ricordare che questo segue da:
$|(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2)|=|f'(epsilon)|$
ma non ricordo i dettagli...
"Lord K":
mi pare di ricordare che questo segue da:
$|(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2)|=|f'(epsilon)|$
la limitatezza di $f$ mi dice che $|f'(epsilon)|$ è limitata su tutti gli $epsilon$ che vengono presi dal teorema di Lagrange. Ma chi mi dice che li prendo tutti? Non mi pare che sia ovvio.
$f(x)=\sin(x^2)$ è $C^1$, limitata ma non è globalmente lipschitziana. Però per l'unicità della soluzione di
$y'=F(y)$ non serve che $F$ sia globalmente lipschiziana, basta localmente lipschitziana (e quindi basta che $F$ sia $C^1$).
Continuo a dire che non vedo a cosa serva la limitatezza di $F$ - però chi ha dato l'esercizio probabilmente aveve in mente un'altra
dimostrazione in cui magari la limitatezza tornava utile.
$y'=F(y)$ non serve che $F$ sia globalmente lipschiziana, basta localmente lipschitziana (e quindi basta che $F$ sia $C^1$).
Continuo a dire che non vedo a cosa serva la limitatezza di $F$ - però chi ha dato l'esercizio probabilmente aveve in mente un'altra
dimostrazione in cui magari la limitatezza tornava utile.
bene.. comunque credo di aver capito a che serve la limitatezza.Sotto questa hp (ma anche sotto l'ipotesi che $f$ cresca al più linearmente) la soluzione del problema è globale e quindi si può parlare di monotonia tranquillamente senza correre il rischio che la sol esploda in tempo finito e poi riparta da qualche altro punto, facendo sì che sia monotona a pezzi, ma non globalmente (tipo $y(x)=1/x$ per capirsi)
Questo è perfettamente ragionevole - io davo peer scontato che le soluzioni fossero definite su un intervallo
(altrimenti è ovvio che non c'è collegamento tra un pezzo di soluzione e un altro)
(altrimenti è ovvio che non c'è collegamento tra un pezzo di soluzione e un altro)
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