Analisi

[kal1]

ciao,
esiste il limite di una funzione costante? es: $f(x)=1$?

[_Tipper]

Certo, purché il valore a cui fai tendere $x$ sia un punto che sta nella chiusura del dominio.

[kal1]

allora, il limite per $x rarr x_0$ di $f(x) = 1$ è $1$?

[_Tipper]

Dipende dal dominio di $f$. Se è definita su $\mathbb{R}$ sì, se è definita su un intervallo $[a,b]$ e $x_0 \in [a,b]$ sì, etc..., ma se ad esempio il dominio fosse $[a,b]$ e $x_0 \notin [a,b]$ allora tale limite non esisterebbe.

[kal1]

ciao,
Sia $f(x)= 1/x^2 + sgn$ $x$.
Il limite di $f(x)$ per $x rarr 0$ è $+oo$, anche se la funzione $sgn$ $x$ (funzione segno) non ammette limite per
$x rarr 0$? E' possibile? oppure il limite di $f(x)$ per $x rarr 0$ non esiste?

[_Tipper]

La funzione segno è limitata fra $-1$ e $1$. Vale

$\frac{1}{x^2} -1 \le \frac{1}{x^2} + "sgn"(x) \le \frac{1}{x^2} + 1$ per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Ma $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} -1 = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} + 1 = +\infty$, pertanto $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} + "sgn"(x) = +\infty$ per il teorema dei due carabinieri.

[gugo82]

"Tipper":La funzione segno è limitata fra $-1$ e $1$. Vale

$\frac{1}{x^2} -1 \le \frac{1}{x^2} + "sgn"(x) \le \frac{1}{x^2} + 1$ per ogni $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Ma $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} -1 = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} + 1 = +\infty$, pertanto $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} + "sgn"(x) = +\infty$ per il teorema dei due carabinieri.

In realtà non c'è bisogno di maggiorare $f(x)$ poiché basta la minorazione $1/x^2 -1 \le 1/x^2 + "sgn"(x)$ per concludere che $lim_(xto 0)1/x^2 + "sgn"(x)=+oo$.

[_Tipper]

Melius abundare quam deficiere.