Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.
Qualcuno può aiutarmi nel svolgere il seguente esercizio con maggior dettaglio per il primo punto!L'esercizio cita le seguente traccia:
Calcolare
1)il polinomio di Mac-Laurin del secondo ordine con resto di Peano della funzione
$f(x,y)$=$e^(3xy)-x log(1+2x+3y)-1$;
2)i seguenti limiti dopo utilizzando lo sviluppo appena ottenuto tenendo conto che $f(x,y)$ $~~$ $poli. +o(x^2+y^2)$:
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(x^2+y^2) $
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(sqrt(x^2+y^2)) $
Calcolare
1)il polinomio di Mac-Laurin del secondo ordine con resto di Peano della funzione
$f(x,y)$=$e^(3xy)-x log(1+2x+3y)-1$;
2)i seguenti limiti dopo utilizzando lo sviluppo appena ottenuto tenendo conto che $f(x,y)$ $~~$ $poli. +o(x^2+y^2)$:
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(x^2+y^2) $
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(sqrt(x^2+y^2)) $
Risposte
Cosa hai provato?
ciao Guido spero di esserti di aiuto ecco quello che ho fatto io per il punto 1:
Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$
la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.
Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$
la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.
Ragazzi, ma non perdete tempo inutilmente… Avete funzioni elementari delle quali conoscete gli sviluppi di Taylor da Analisi I: usateli.
"mashi1994":
ciao Guido spero di esserti di aiuto ecco quello che ho fatto io per il punto 1:
Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$
la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.
Grazie mille io una cosa però non ho capito, calcolata questa formula che faccio? Devo esplicitare $f(x_0,y_0)$ oppure l'incremento cioè->$f(x_0+h,y_0+k)$
"gugo82":
Ragazzi, ma non perdete tempo inutilmente… Avete funzioni elementari delle quali conoscete gli sviluppi di Taylor da Analisi I: usateli.
Purtroppo il professore ha richiesto di utilizzare la formula che mashi1994 ha scritto
"guidocastiello00":
[quote="gugo82"]Ragazzi, ma non perdete tempo inutilmente… Avete funzioni elementari delle quali conoscete gli sviluppi di Taylor da Analisi I: usateli.
Purtroppo il professore ha richiesto di utilizzare la formula che mashi1994 ha scritto[/quote]
Beh, nella traccia non è scritto… Ma, anche se fosse, non si fa Matematica con il cervello legato dietro la schiena.
Il polinomio di Taylor del secondo ordine di $f(x,y) := e^(3xy)-x log(1+2x+3y)-1 $ centrato in $(0,0)$ si ricava con gli sviluppi elementari:
\[
f(x,y) = -2x^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\; \ldots
\]
Giusto?
ciao ragazzi,
purtroppo non sono un guro della matematica, e quella formula che ti ho scritto guido anche se giusta il più delle volte seguirla è un palo nel deretano, infatti già qui le derivate non sono proprio immediate nel complesso e avere calcoli prolissi in un tema d'esame non aiuta proprio, sono sicuro che quando dovrai affrontare l'esame sarai spronato ad usare gli sviluppi come dice gugo.
Gugo purtroppo non ricordo nemmeno io come si arriva a quel risultato, ad esempio se conosco lo sviluppo di:
$e^z$ come è lo sviluppo di $e^(3xy)$?
Devo prendere $e^z$ con $z = 3xy$?
potresti quanto meno descrivere a parole quali sono i passaggi?
grazie!
purtroppo non sono un guro della matematica, e quella formula che ti ho scritto guido anche se giusta il più delle volte seguirla è un palo nel deretano, infatti già qui le derivate non sono proprio immediate nel complesso e avere calcoli prolissi in un tema d'esame non aiuta proprio, sono sicuro che quando dovrai affrontare l'esame sarai spronato ad usare gli sviluppi come dice gugo.
Gugo purtroppo non ricordo nemmeno io come si arriva a quel risultato, ad esempio se conosco lo sviluppo di:
$e^z$ come è lo sviluppo di $e^(3xy)$?
Devo prendere $e^z$ con $z = 3xy$?
potresti quanto meno descrivere a parole quali sono i passaggi?
grazie!
"mashi1994":
Gugo purtroppo non ricordo nemmeno io come si arriva a quel risultato, ad esempio se conosco lo sviluppo di:
$e^z$ come è lo sviluppo di $e^(3xy)$?
Devo prendere $e^z$ con $z = 3xy$?
Sì.
È una tecnica base di Analisi I.
Allora credo di esserci arrivato:
sapendo che
$e^z=$$\sum_{n=0}^(\infty) (x^n)/(n!)$
allora il suo sviluppo di Taylor al secondo ordine risulta essere:
$e^z=1+z+(z^2/2)+o(z^2)$
nella formula notiamo che abbiamo:
$e^(3xy)-1$
che possiamo sostituire in base allo sviluppo con:
$3xy + o(gugo qua che ci va messo?)$
poi sapendo che:
$log(1+z)=\sum_{n=1}^(\infty) (-1)^(n+1)(z^n)/n$
il suo sviluppo di Taylor al secondo ordine risulta essere:
$log(1+z)=z-z^2/2+o(z^2???è corretto?)$
sapendo che z=2x+3y:
$xlog(1+2x+3y)=2x^2+3xy$
unendo le due cose abbiamo:
$f(x,y) = 3xy - 2x^2 - 3xy + o(x^2+y^2) = -2x^2 + o(x^2+y^2)$
sapendo che
$e^z=$$\sum_{n=0}^(\infty) (x^n)/(n!)$
allora il suo sviluppo di Taylor al secondo ordine risulta essere:
$e^z=1+z+(z^2/2)+o(z^2)$
nella formula notiamo che abbiamo:
$e^(3xy)-1$
che possiamo sostituire in base allo sviluppo con:
$3xy + o(gugo qua che ci va messo?)$
poi sapendo che:
$log(1+z)=\sum_{n=1}^(\infty) (-1)^(n+1)(z^n)/n$
il suo sviluppo di Taylor al secondo ordine risulta essere:
$log(1+z)=z-z^2/2+o(z^2???è corretto?)$
sapendo che z=2x+3y:
$xlog(1+2x+3y)=2x^2+3xy$
unendo le due cose abbiamo:
$f(x,y) = 3xy - 2x^2 - 3xy + o(x^2+y^2) = -2x^2 + o(x^2+y^2)$
L’unica differenza tra polinomio di Taylor in una ed in due variabili è che il polinomio, invece di avere un unico termine per ogni grado, ha $1$ termine di grado $0$, $2$ termini di primo grado (quello in $x$ e quello in $y$), $3$ termini di secondo grado (in $x^2$, in $xy$ ed in $y^2$), etc…
E l’unica differenza della formula di Taylor in una ed in due variabili è che il resto d’ordine $n$ è un o-piccolo di $(sqrt(x^2 + y^2))^n$ invece che di $x^n$.
Dunque, sviluppando al secondo ordine troviamo:
\[
\begin{split}
e^{3xy} &= 1 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2) \\
x\ \log (1 + 2x + 3y) &= x\ \left( 2x + 3y - \frac{1}{2}\ (2x + 3y)^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\right) \\
&= 2x^2 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2)
\end{split}
\]
e perciò:
\[
f(x,y) = 1 + 3xy - 2x^2 - 3xy - 1 + \text{o}(x^2 + y^2) = -2x^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\; .
\]
E l’unica differenza della formula di Taylor in una ed in due variabili è che il resto d’ordine $n$ è un o-piccolo di $(sqrt(x^2 + y^2))^n$ invece che di $x^n$.
Dunque, sviluppando al secondo ordine troviamo:
\[
\begin{split}
e^{3xy} &= 1 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2) \\
x\ \log (1 + 2x + 3y) &= x\ \left( 2x + 3y - \frac{1}{2}\ (2x + 3y)^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\right) \\
&= 2x^2 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2)
\end{split}
\]
e perciò:
\[
f(x,y) = 1 + 3xy - 2x^2 - 3xy - 1 + \text{o}(x^2 + y^2) = -2x^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\; .
\]
"guidocastiello00":
[quote="mashi1994"]ciao Guido spero di esserti di aiuto ecco quello che ho fatto io per il punto 1:
Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$
la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.
Grazie mille io una cosa però non ho capito, calcolata questa formula che faccio? Devo esplicitare $f(x_0,y_0)$ oppure l'incremento cioè->$f(x_0+h,y_0+k)$[/quote]
Guarda per essere il più chiari possibile manca solo da dire che $h=(x-x_o)$ e $k=(y-y_o)$ quindi $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0+x-x_0,y_0+y-y_0)=f(x,y)$.
Tu vuoi ottenere una approssimazione polinomiale di $f(x,y)$, non ha molto senso esplicitare per $f(x_0,y_0)$.
"gugo82":
L’unica differenza tra polinomio di Taylor in una ed in due variabili è che il polinomio, invece di avere un unico termine per ogni grado, ha $1$ termine di grado $0$, $2$ termini di primo grado (quello in $x$ e quello in $y$), $3$ termini di secondo grado (in $x^2$, in $xy$ ed in $y^2$), etc…
E l’unica differenza della formula di Taylor in una ed in due variabili è che il resto d’ordine $n$ è un o-piccolo di $(sqrt(x^2 + y^2))^n$ invece che di $x^n$.
Dunque, sviluppando al secondo ordine troviamo:
\[
\begin{split}
e^{3xy} &= 1 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2) \\
x\ \log (1 + 2x + 3y) &= x\ \left( 2x + 3y - \frac{1}{2}\ (2x + 3y)^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\right) \\
&= 2x^2 + 3xy + \text{o}(x^2 + y^2)
\end{split}
\]
e perciò:
\[
f(x,y) = 1 + 3xy - 2x^2 - 3xy - 1 + \text{o}(x^2 + y^2) = -2x^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\; .
\]
Grazie Gugo! Questa cosa non mi era chiara infatti!
(Peccato che non si possa mettere mi piace in questo forum!)
Giusto per non scrivere un messaggio per nulla passo al punto 2 per concludere l'esercizio:
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(x^2+y^2) = lim_{(x,y) \to \(0,0)}(-2x^2)/(x^2+y^2)$
usando la tecnica delle restrizioni puoi notare che per $y=x$ il limite tende a -1, mentre per $x=y^2$ il limite tende a 0.
Quindi il limite non esiste.
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(sqrt(x^2+y^2)) $
qui invece puoi passare a coordinate polari ottenendo semplificando:
$\lim_{\rho \to \0}-2\rho(cos\theta)^2$
$\rho$ tende a 0 mentre $(cos\theta)^2$ è una quantità limitata, quindi il limite esiste e vale 0.
Grazie mille per l'aiuto,procedo ora con il secondo punto!
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