[Analisi 2] Ragionamento corretto o errato?

[DoppioZero]

Qualcuno mi potrebbe dire se lo svolgimento di questo esercizio è giusto?

Allora ho la seguente funzione: $ F(x,y)= (cos(5x)arctan(2y) , lambda sin(5)/(1+4y^2)) $
Nella prima parte, devo trovare tutte le $ lambda $ tali che F sia conservativa in $ R^3 $
Attraverso vari calcoli, si arriva che F è conservativa se e solo se $ lambda = 2/5 $

Detto questo, la seconda parte mi chiede: "trovare una funzione potenziale $ U=(x,y) $ per tale $ lambda $
Allora divido la $ F(x,y) $ in due funzioni: $ f1(x,y)= cos(5x)arctan(2y) $ e $ f2(x,y)= (2sin(5x))/(5+20y^2) $
Poi procedo nel seguente modo:

1) $ (dU)/dx (x,y) =f1(x,y)= cos(5x)arctan(2y) $ e 2) $ (dU)/dy (x,y) =f2(x,y)= (2sin(5x))/(5+20y^2) $

Integro la 1 e ottengo 3) $ U(x,y)= 1/5 sin(5x)arctan(2y)+c(y) $ con c una sola funzione nella variabile y.
Sostituisco nella 2) e ottengo:
$ (dU)/dy (x,y) =f2(x,y)= (2sin(5x))/(5+20y^2) +c'(y) ->c'(y)=0 $
integro rispetto a y e ottengo $ c(y)=c -> cЄR $
Sostituisco nella 3) e ottengo la funzione cercata $ U(x,y)=1/5 sin(5x)arctan(2y)+c $

E qui finisce l'esercizio. Qualcuno mi dice se è giusto? E nel caso contrario, dove sbaglio?

[HaldoSax]

Il ragionamento è corretto complimenti

[DoppioZero]

Hai levato un peso, che alloggiava nel mio Io interiore, da diversi giorni ahahah Grazie mille

[dissonance]

Invece di tenerti pesi dentro, calcola il gradiente di $U$. Se ritrovi il campo vettoriale di partenza hai fatto bene. Altrimenti hai fatto male. Molto semplice e funziona anche all'esame