Analisi 2 Max e min vincolati
Salve ragazzi, sto cercando di risolvere un esercizio di anali 2 su max e minimi vincolati, fin ora ho risolto quelli all'interno del cerchio questo lo chiede all'esterno e ho un po di difficolta.
la funziona è la seguente
\(\displaystyle f(x,y)=3x^{2}+4y^{2}-6x-12 \), di questa funziona devo cercare gli estremi assoluti fuori dal cerchio \(\displaystyle x^{2}-y^{2}\geq4 \), passo a studiare sulla frontiera utilizzanto il metodo della parametrizzazione e ponendo quindi \(\displaystyle y=\pm\sqrt(4-x^{2}) \).
fin qui tutti apposto, mi calcolo ma mia funzione \(\displaystyle h(x)=-x^{2}-6x+4 \) di cui studio il segno della derivata seconda e verifico che per \(\displaystyle x=-2 \) ho un punto di max infatti la funzione è positiva solo per \(\displaystyle x\leq-3 \) e per \(\displaystyle x=2 \) abbiamo un punto di minimo. ovviamente tali punti sono solo relativi.
qui mi blocco come faccio a dimostrare se sono assoluti all'eterno del cerchio?
penso di dover utilizzare i limiti e studiare la funzione come si comporta all'infinito ma non so da dove inziare
la funziona è la seguente
\(\displaystyle f(x,y)=3x^{2}+4y^{2}-6x-12 \), di questa funziona devo cercare gli estremi assoluti fuori dal cerchio \(\displaystyle x^{2}-y^{2}\geq4 \), passo a studiare sulla frontiera utilizzanto il metodo della parametrizzazione e ponendo quindi \(\displaystyle y=\pm\sqrt(4-x^{2}) \).
fin qui tutti apposto, mi calcolo ma mia funzione \(\displaystyle h(x)=-x^{2}-6x+4 \) di cui studio il segno della derivata seconda e verifico che per \(\displaystyle x=-2 \) ho un punto di max infatti la funzione è positiva solo per \(\displaystyle x\leq-3 \) e per \(\displaystyle x=2 \) abbiamo un punto di minimo. ovviamente tali punti sono solo relativi.
qui mi blocco come faccio a dimostrare se sono assoluti all'eterno del cerchio?
penso di dover utilizzare i limiti e studiare la funzione come si comporta all'infinito ma non so da dove inziare
Risposte
se usi le coordinate polari non dovresti avere difficoltà a dimostrare come si comporta la funzione quando $rho rarr+infty$
edit : ma $x^2-y^2 geq 4$ è un errore di battitura?
edit : ma $x^2-y^2 geq 4$ è un errore di battitura?
Si scusami è solo un errore di battitura sarebbe \(\displaystyle x^{2}+y^{2}\geq4 \). allora ho seguito il tuo consiglio e ho usato le coordinate polari
\(\displaystyle lim_{\rho \to +\infty}(\rho(3\rho*cos^{2}\theta+4\rho*sen^{2}\theta-6cos\theta)-12) \) tale limite mi risulta \(\displaystyle +\infty \) (spero di non aver sbagliato) quindi i punti trovati sulla frontiera sono solo relativi e non assoluti.
giusto?
devo pero cercare i punti dove \(\displaystyle \nabla f(x,y)=0 \) quello è un p.to di max o minimo assoluto
\(\displaystyle lim_{\rho \to +\infty}(\rho(3\rho*cos^{2}\theta+4\rho*sen^{2}\theta-6cos\theta)-12) \) tale limite mi risulta \(\displaystyle +\infty \) (spero di non aver sbagliato) quindi i punti trovati sulla frontiera sono solo relativi e non assoluti.
giusto?
devo pero cercare i punti dove \(\displaystyle \nabla f(x,y)=0 \) quello è un p.to di max o minimo assoluto
scusa,ma se la funzione tende a $+infty$ è chiaro che non ha massimo assoluto
quindi avrai solo un punto di minimo assoluto,sulla frontiera o dove si annullano le derivate parziali
quindi avrai solo un punto di minimo assoluto,sulla frontiera o dove si annullano le derivate parziali
perfetto, quindi controllando \(\displaystyle \nabla f(x,y)=0 \) mi trovo il p.to\(\displaystyle (1,0) \) controllando hessiano e derivata parziale seconda mi risulta un minimo assoluto. nel p.to \(\displaystyle (1,0) \).
grazie mille.
grazie mille.
Il dominio in cui devi calcolare max e min assoluti è definito da $x^2+y^2 >=4 $ , mentre il punto $(1,0)$ non è in questo dominio....
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