[ANALISI 2] Massimi e minimi vincolati con sostituzione del vincolo circonferenza
Salve sono alle prese con questo esercizio, vorrei sapere se lo svolgimento è corretto:
Trovare max e min relativi di assoluti di $f(x,y)=e^-(x^2)+y^2-log(1+x^2) $ su $ x^2+y^2<=1 $
Per studiare il bordo, ho imposto la relazione: $y^2=1-x^2$ e l'ho sostituita nella funzione $g(x)$ che risulta:
$g(x)=e^-(x^2)+1-x^2-log(1+x^2) $
Applicando il metodo delle derivate successive, trovo solo il punto $x=0$ che risulta essere un massimo.
Dunque, ricordando la condizione:
${ (y=+-sqrt(1-x^2 )),( x=0 ):}$
Ottengo i punti di massimo $(0, +-1) $
quando metto la funzione su wolframalpha però ottengo anche dei minimi nei punti $(+-1,0)$
Dove sbaglio?
Il problema non è nei punti stazionari interni perchè la soluzione è $(0,0)$
Grazie per l'aiuto.
Trovare max e min relativi di assoluti di $f(x,y)=e^-(x^2)+y^2-log(1+x^2) $ su $ x^2+y^2<=1 $
Per studiare il bordo, ho imposto la relazione: $y^2=1-x^2$ e l'ho sostituita nella funzione $g(x)$ che risulta:
$g(x)=e^-(x^2)+1-x^2-log(1+x^2) $
Applicando il metodo delle derivate successive, trovo solo il punto $x=0$ che risulta essere un massimo.
Dunque, ricordando la condizione:
${ (y=+-sqrt(1-x^2 )),( x=0 ):}$
Ottengo i punti di massimo $(0, +-1) $
quando metto la funzione su wolframalpha però ottengo anche dei minimi nei punti $(+-1,0)$
Dove sbaglio?
Il problema non è nei punti stazionari interni perchè la soluzione è $(0,0)$
Grazie per l'aiuto.
Risposte
non ho controllato i calcoli,ma ad occhio direi che non hai tenuto conto del fatto che una funzione derivabile in un compatto $[a,b]$ assume i valori massimi o minimi (assoluti) o nei punti interni all'intervallo in cui si annulla la derivata o in uno (o entrambi se la funzione assume lo stesso valore) degli estremi dell'intervallo
quindi,giocoforza,se all'interno c'è solo il massimo,i minimi li devi andare a pescare agli estremi dell'intervallo $[-1,1]$
quindi,giocoforza,se all'interno c'è solo il massimo,i minimi li devi andare a pescare agli estremi dell'intervallo $[-1,1]$
"quantunquemente":
non ho controllato i calcoli,ma ad occhio direi che non hai tenuto conto del fatto che una funzione derivabile in un compatto $[a,b]$ assume i valori massimi o minimi (assoluti) o nei punti interni all'intervallo in cui si annulla la derivata o in uno (o entrambi se la funzione assume lo stesso valore) degli estremi dell'intervallo
quindi,giocoforza,se all'interno c'è solo il massimo,i minimi li devi andare a pescare agli estremi dell'intervallo $[-1,1]$
Scusa la domanda, probabilmente è un problema di prerequisiti.
Gli estremi dell'intervallo definito dalla circonferenza $x^2+y^2<=1$ che si parametrizza come $(cos t , sen t) $ con $t€[0,2 pi) $ non dovrebbe essere $(1,0)$ che si ottiene sostituendo gli estremi nella parametrizzazione?
Grazie per l'aiuto.
il parametro $t$ è fuorviante
$z=y^2=sqrt(1-x^2)$ è definita in $[-1,1]$
quindi anche $g(x)$ è da studiare in tale intervallo
$z=y^2=sqrt(1-x^2)$ è definita in $[-1,1]$
quindi anche $g(x)$ è da studiare in tale intervallo
"quantunquemente":
il parametro $t$ è fuorviante
$z=y^2=sqrt(1-x^2)$ è definita in $[-1,1]$
quindi anche $g(x)$ è da studiare in tale intervallo
Ho preso i punti dell'intervallo $[-1,1]$ e l'ho messi nella derivata seconda della funzione ristretta al vincolo:
$g''(x)=e^(-x^2)(2-4x)-2+(x^2-1)/(x^2+1)^2 $
Nei punti di estremo mi escono minimi in $(+-1,0)$ che dovrebbe essere giusto!
Il procedimento è giusto?
Devo sempre analizzare i punti dell'intervallo?
Grazie per l'aiuto!!!!!!!
ti do un consiglio:per i prossimi esercizi falla più spiccia senza disturbare la derivata seconda
determina i punti interni in cui la derivata si annulla e calcola quanto vale la funzione in questi punti
poi,calcola $g(a)$ ed $g(b)$
a questo punto,confronta tutti i valori trovati ed otterrai automaticamente il (o i) massimo e il (o i) minimi assoluti di $g(x)$ in $[a,b]$
determina i punti interni in cui la derivata si annulla e calcola quanto vale la funzione in questi punti
poi,calcola $g(a)$ ed $g(b)$
a questo punto,confronta tutti i valori trovati ed otterrai automaticamente il (o i) massimo e il (o i) minimi assoluti di $g(x)$ in $[a,b]$
"quantunquemente":
ti do un consiglio:per i prossimi esercizi falla più spiccia senza disturbare la derivata seconda
determina i punti interni in cui la derivata si annulla e calcola quanto vale la funzione in questi punti
poi,calcola $g(a)$ ed $g(b)$
a questo punto,confronta tutti i valori trovati ed otterrai automaticamente il (o i) massimo e il (o i) minimi assoluti di $g(x)$ in $[a,b]$
Grazie, almeno mi risparmio un passaggio!!
Grazie per l'aiuto!!
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