[Analisi 2] Massimi e minimi su una curva
Trovare massimi e minimi assoluti di $f(x,y)$ sulla curva $g(x,y)=1$ dove:
$f(x,y)= x/(1+x^2+y^2)$ e $g(x,y)=(x-1)^2/4+y^2$.
Trova $(-1,0)$ come punto di minimo e $(3,0)$ come punto di massimo.
Come fa?
Il mio ostacolo è quel $g(x,y)=1$...non l'avevo mai visto fino ad ora come procedo?
Il mio solito modo è porre le derivate prime uguali a 0 per cercare i punti critici poi impostare il metodo dei moltiplicatori di lagrange.
Ma in questo caso si fa diversamente?ci sono strade migliori?Grazie
$f(x,y)= x/(1+x^2+y^2)$ e $g(x,y)=(x-1)^2/4+y^2$.
Trova $(-1,0)$ come punto di minimo e $(3,0)$ come punto di massimo.
Come fa?
Il mio ostacolo è quel $g(x,y)=1$...non l'avevo mai visto fino ad ora come procedo?
Il mio solito modo è porre le derivate prime uguali a 0 per cercare i punti critici poi impostare il metodo dei moltiplicatori di lagrange.
Ma in questo caso si fa diversamente?ci sono strade migliori?Grazie
Risposte
Questo è un problema di ricerca di punti di estremo vincolati. Vincolati appunti alla curva g. Devi usare i moltiplicatori di Lagrange
Ok ma di solito mi dava un solo valore di $g(x,y)$,cioè quello con le incognite.
Cosa me ne faccio della prima equazione $g(x,y)=1$?
Cosa me ne faccio della prima equazione $g(x,y)=1$?
Non capisco cosa intendi, cosa significa: un solo valore delle incognite ?
Questo è il vincolo..
Devi imporre semplicemtne che: $\nablaf(x,y) = \lambda\nablag(x,y)$
Cosa me ne faccio della prima equazione g(x,y)=1?
Questo è il vincolo..
Devi imporre semplicemtne che: $\nablaf(x,y) = \lambda\nablag(x,y)$
Allora mi spiego meglio....di solito mi dava un solo $g(x,y)$, questa volta invece me ne da 2...cosa cambia?
Ma veramente io ne vedo uno solo... $g(x, y)=1$ è il vincolo, $f(x, y)$ la funzione di cui cercare gli estremi. Da manuale, insomma, non si capisce quale sia il problema, Matteo. Risolvi l'equazione che ti ha detto Stefano e troverai i punti critici di $f$ sul vincolo assegnato.
Ragazzi ho provato a risolverlo vi posto la soluzione per piacere ditemi se ho fatto giusto 
1)Impongo la derivata della funzione e del vincolo uguali a 0 ed ottengo il sistema:
$\{(1-x^2+y^2=0),(-2xy=0):}$
Dalla seconda equazione prima pongo x=0,sostituisco alla prima e non ottengo soluzioni, poi pongo y=0 sostituisco alla prima ed ottengo i punti $(1,0),(-1,0)$,ma nessuno dei due soddisfa il vincolo quindi li scarto,giusto?
Passo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange ed imposto il sistema:
$\{(1-x^2+y^2=\lambda(1/2)(x-1)),(-2xy=\lambda2y),(((x-1)^2)/4+y^2=1):}$
Dalla seconda equazione ricavo $x=-\lambda$ e vado a sostituire alla prima.
Facendo un pò di calcoli ottengo questi risultati: $y=2\lambda$,$y=-\lambda$...mi chiedo ma è possibile che y sia espressa in funzione di $\lambda$ due volte?Questo è il mio grande dubbio...
Poi a questo punto non è difficile vado a sostituire al vincolo i valori di x ed y in funzione di $\lambda$,trovo quanto vale,e ritorno ai valori di x ed y sostituendo al posto di $\lambda$ il valore che ho trovato.
Grazie mille a chiunque mi aiuterà...!!
1)Impongo la derivata della funzione e del vincolo uguali a 0 ed ottengo il sistema:
$\{(1-x^2+y^2=0),(-2xy=0):}$
Dalla seconda equazione prima pongo x=0,sostituisco alla prima e non ottengo soluzioni, poi pongo y=0 sostituisco alla prima ed ottengo i punti $(1,0),(-1,0)$,ma nessuno dei due soddisfa il vincolo quindi li scarto,giusto?
Passo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange ed imposto il sistema:
$\{(1-x^2+y^2=\lambda(1/2)(x-1)),(-2xy=\lambda2y),(((x-1)^2)/4+y^2=1):}$
Dalla seconda equazione ricavo $x=-\lambda$ e vado a sostituire alla prima.
Facendo un pò di calcoli ottengo questi risultati: $y=2\lambda$,$y=-\lambda$...mi chiedo ma è possibile che y sia espressa in funzione di $\lambda$ due volte?Questo è il mio grande dubbio...
Poi a questo punto non è difficile vado a sostituire al vincolo i valori di x ed y in funzione di $\lambda$,trovo quanto vale,e ritorno ai valori di x ed y sostituendo al posto di $\lambda$ il valore che ho trovato.
Grazie mille a chiunque mi aiuterà...!!
Apparte il fatto che nelle derivate della $f(x,y)$ manca il denominatore alla seconda. Comunqe è normale che possano venirti più valori di $\lambda$, ti verranno soluzioni del tipo: $(x,y,z,\lambda)$. Dopo he le hai trovati semplicemente consideri quei punti scartando il quarto valore, cioè se ti viene: (1,2,3,5), il tuo punto sarà: (1,2,3)
Intanto grazie!Allora per la derivata ho scritto così perchè una frazione si annulla se il numeratore è uguale a zero era solo una semplificazione...per il resto non mi è molto chiara la tua spiegazione...
Allora io ho ottenuto questi valori:$x=-\lambda$,$y=2\lambda$,$y=-\lambda$ e a questo punto pensavo di procederem così.
Prendo $x=-\lambda$ e $y=-\lambda$ e li vado a sostituire al vincolo.Arrivo ad un'equazione di secondo grado per cui $\lambda=2$ e $\lambda=1/2$. A questo punto trovo i punti $(-2,-2),(-1/2,-1/2)$ giusto?
Poi faccio la stessa cosa per $x=-\lambda$,$y=2\lambda$ e troverò altri punti.E' giusto il ragionamento?
Spero di si perchè la cosa delle 4 coordinate non l'ho capita:)
Allora io ho ottenuto questi valori:$x=-\lambda$,$y=2\lambda$,$y=-\lambda$ e a questo punto pensavo di procederem così.
Prendo $x=-\lambda$ e $y=-\lambda$ e li vado a sostituire al vincolo.Arrivo ad un'equazione di secondo grado per cui $\lambda=2$ e $\lambda=1/2$. A questo punto trovo i punti $(-2,-2),(-1/2,-1/2)$ giusto?
Poi faccio la stessa cosa per $x=-\lambda$,$y=2\lambda$ e troverò altri punti.E' giusto il ragionamento?
Spero di si perchè la cosa delle 4 coordinate non l'ho capita:)
ah si ok.. quello che volevo dirti con quel discorso, è che formalmente dovresti considerare anche $\lambda$ come soluzione, scrivendo per i primi 2 punti ad esempio: $(-2,-2,2) , (-1/2, -1/2, 1/2)$. Che poi l' ultima componente non c' entri niente con i punti di massimo e minimo del piano, questa è un' altra cosa..
Infatti dopo la togli come hai fatto tu..
Infatti dopo la togli come hai fatto tu..
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