[ANALISI 2] Massimi e minimi due variabili, gradiente si annulla su una curva
salve, questo esercizio mi sta facendo impazzire:
Studiare max e min della funzione:
$f(x,y)= (xy)/(1+x^2y^2) $
Studio i punti dove il gradiente si annulla:
${ ( y(1-x^2y^2)=0 ),( x(1-x^2y^2)=0 ):}$
Trovo la soluzione $ (x,y)=(0,0) $ che dall'hessiano risulta essere sella.
Poi trovo la soluzione:
${ ( 1-x^2y^2=0 ),( x(x^2y^2-x^2y^2)=0 ):}$
Quindi il gradiente si annulla su tutta la curva:
$1-x^2y^2=0$ che è una cosa del tipo:
Adesso cosa devo fare? Come faccio a mettermi nell'intorno di una funzione simile?
Ho provato ad usarla come vincolo.
La funzione dovrebbe avere max e min secondo wolframalpha in:
Ho fatto in questo modo, restringendo la funzione con le curve:
$1-x^2y^2=0$
$x^2=1/y^2$
$x=+-1/y$
Quindi:
$f(1/y,y)= (1/y y)/( 1+ y^2 1/y^2) = 1/2 $ poi faccio la stessa cosa per $x=-1/y$ ed esce $-1/2$
Ma come faccio a trovare i punti?
Come faccio a sapere che sono max e min globali?
Il procedimento che ho fatto dovrebbe avere senso. Per verificarlo ho impostato il sistema dei moltiplicatori di Lagrange (z è il moltiplicatore) :
${ ( y-x^2y^3=z(-2xy^2) ),( x-x^3y^2=z(-2x^2y) ),( 1-x^2y^2=0 ):} $
e le soluzioni sono:
$x=+-1 y=+-1 z=0$
qualcuno può aiutarmi verificando questi passi?
Grazie
Studiare max e min della funzione:
$f(x,y)= (xy)/(1+x^2y^2) $
Studio i punti dove il gradiente si annulla:
${ ( y(1-x^2y^2)=0 ),( x(1-x^2y^2)=0 ):}$
Trovo la soluzione $ (x,y)=(0,0) $ che dall'hessiano risulta essere sella.
Poi trovo la soluzione:
${ ( 1-x^2y^2=0 ),( x(x^2y^2-x^2y^2)=0 ):}$
Quindi il gradiente si annulla su tutta la curva:
$1-x^2y^2=0$ che è una cosa del tipo:
Adesso cosa devo fare? Come faccio a mettermi nell'intorno di una funzione simile?
Ho provato ad usarla come vincolo.
La funzione dovrebbe avere max e min secondo wolframalpha in:
Ho fatto in questo modo, restringendo la funzione con le curve:
$1-x^2y^2=0$
$x^2=1/y^2$
$x=+-1/y$
Quindi:
$f(1/y,y)= (1/y y)/( 1+ y^2 1/y^2) = 1/2 $ poi faccio la stessa cosa per $x=-1/y$ ed esce $-1/2$
Ma come faccio a trovare i punti?
Come faccio a sapere che sono max e min globali?
Il procedimento che ho fatto dovrebbe avere senso. Per verificarlo ho impostato il sistema dei moltiplicatori di Lagrange (z è il moltiplicatore) :
${ ( y-x^2y^3=z(-2xy^2) ),( x-x^3y^2=z(-2x^2y) ),( 1-x^2y^2=0 ):} $
e le soluzioni sono:
$x=+-1 y=+-1 z=0$
qualcuno può aiutarmi verificando questi passi?
Grazie
Risposte
up
Attenzione i moltiplicatori di lagrange possono essere un buon metodo per calcolare max e min vincolati, ma tu vuoi calcolare max e min su $RR^2$.
Inoltre tu sul vincolo sai benissimo come si comporta la funzione, (hai visto che e' costante).
Prova a verificare se $ f(x,y)<=1/2 $ per le $x,y in RR_+$
Inoltre tu sul vincolo sai benissimo come si comporta la funzione, (hai visto che e' costante).
Prova a verificare se $ f(x,y)<=1/2 $ per le $x,y in RR_+$
si potrebbe anche porre $z=xy$ e ricondursi allo studio della funzione dispari
$g(z)=z/(1+z^2)$
$g(z)=z/(1+z^2)$
"Wilde":
Attenzione i moltiplicatori di lagrange possono essere un buon metodo per calcolare max e min vincolati, ma tu vuoi calcolare max e min su $ RR^2 $.
Inoltre tu sul vincolo sai benissimo come si comporta la funzione, (hai visto che e' costante).
Prova a verificare se $ f(x,y)<=1/2 $ per le $ x,y in RR_+ $
"quantunquemente":
si potrebbe anche porre $z=xy$ e ricondursi allo studio della funzione dispari
$g(z)=z/(1+z^2)$
Prima di tutto grazie! per il vostro aiuto
Ho fatto in questo modo:
$z=xy$
$ g(z)=z/(1+z^2) $
Usando il metodo delle derivate successive:
$1-z^2=0$
$z=+-1 $
Quindi ho max in $ +1 $ e min $ -1 $ dove la funzione vale:
$f(1)=1/2$ e $f(-1)=-1/2$
Che sono i valori di max e min anche di $f(x,y)$ che abbiamo studiato per $z=xy $
Adesso ho una domanda:
Come faccio e trovarmi i punti $(x,y)$ una volta che ho effettuato il cambio di variabile $ z=xy$?
E' necessario farlo?
Posso affermare che $f(1)=1/2$ e $f(-1)=-1/2$ sono max e min anche di $f(x,y)$ ?
Grazie per l'aiuto!
la funzione assume massimo $1/2$ su tutti i punti della curva $xy=1$ e minimo $-1/2$ su tutti i punti della curva $xy=-1$
"quantunquemente":
la funzione assume massimo $1/2$ su tutti i punti della curva $xy=1$ e minimo $-1/2$ su tutti i punti della curva $xy=-1$
Ti ringrazio sei stato chiaro, come sempre!
"quantunquemente":
la funzione assume massimo $1/2$ su tutti i punti della curva $xy=1$ e minimo $-1/2$ su tutti i punti della curva $xy=-1$
Ti scrivo questo esercizio che ho svolto, molto simile all'altro, se puoi fammi sapere se è giusto!
Trovare max e min di $f(x,y)=xy-e^(xy) $
Cambio la variabile $xy=t$
Studio la funzione $f(t)=t-e^t $
Attraverso il metodo delle derivate successive studio max e min:
$1-e^t=0$
$e^t=1$
$t=0$
$f''(t) <0|t=0 $ in $t=0$ ho un max
Quindi la funzione $f(x,y)$ assume massimo di valore $-1$ su tutti i punti della curva t.c $xy=0$
quindi in $(0,0)$ e su tutti i punti $(x,0)$ e $(0,y)$
Dovrebbe quadrare, perchè il grafico è il seguente:
[img]http://www4f.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP976320c7ed3e5d66gc0g000056ce2iha5b2ihia3?MSPStoreType=image/gif&s=36&w=240.&h=217.&cdf=MeshControl&cdf=RangeControl[/img]
concordo : la funzione di partenza non è limitata inferiormente ed assume massimo $-1$ su tutti i punti degli assi cartesiani
"quantunquemente":
concordo : la funzione di partenza non è limitata inferiormente ed assume massimo $-1$ su tutti i punti degli assi cartesiani
Ciao, grazie per l'aiuto che mi stai dando nel capire questi esercizi.
Se non disturbo, vorrei porti all'attenzione il seguente esercizio, in modo da verificare se lo svolgimento è corretto.
trovare max/min di:
$f(x,y)=ylog(1+x^2)+x^3 $
Cerco i punti dove si annulla il gradiente, ottenendo il sistema:
$ { ( (2xy)/(x^2+1)+3x^2=0 ),( log(1+x^2)=0 ):} $
trovo i punti $(0,y)$ $AA y € R^2$
Calcolo l'hessiano (non lo scrivo perchè il termine $f_(xx)$ è molto lungo.
Restringo l'hessiano ai punti (0,y) ottenendo:
$ | ( 2y , 0 ),(0 , 0 ) | $
Quindi per tutti i punti $(0,y)$ con $y>0$ la funzione assume MINIMO LOCALE.
Per tutti i punti $(0,y)$ con $y<0$ la funzione assume MASSIMO LOCALE
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