Analisi 2 Integrale Triplo e Volume Solido
Salve, mi sto esercitando sugli integrali tripli, per la precisione sul calcolo dei volumi di solidi, premetto che so come calcolare gli integrali tripli, ma spesso mi ritrovo in difficoltà nell'analisi del dominio, come in questo esercizio:
Mi viene chiesto di calcolare il volume del dominio D, descritto in questo modo:
$ D={(x,y,z)∈ R^3 : 0=y>= -x sqrt(3)} $
Ora, ho capito che il solido è formato da una circonferenza alla base, che ha raggio 2, è ha una altezza $ z=4 $ e che ad "unire" l'origine degli assi con la circonferenza ho la retta di equazione $ y= -x sqrt(3) $ però non capisco la notazione $ {... x>=y>= -x sqrt(3)} $ cosa voglia dire e perchè c'è anche $ x>= $ ... Detto questo, sono incerto se procedere in due modi su come calcolare il volume
1) Calcolo il primo integrale in $ dz $ con estremi da $ 0 $ a $ 4 $ e poi calcolo l'integrale doppio passando in coordinate polari
Oppure:
2) Calcolo l'integrale triplo usando come estremi gli estremi di x y e z, e in tal caso questi sarebbero corretti ?
$ z∈[0,4] $ $ x∈[0,2] $ e poi (ma non ne sono certo di quest'ultima) $ y∈[-sqrt3,sqrt2] $
Qualcuno mi saprebbe dare una mano per favore? Grazie in anticipo
Mi viene chiesto di calcolare il volume del dominio D, descritto in questo modo:
$ D={(x,y,z)∈ R^3 : 0
Ora, ho capito che il solido è formato da una circonferenza alla base, che ha raggio 2, è ha una altezza $ z=4 $ e che ad "unire" l'origine degli assi con la circonferenza ho la retta di equazione $ y= -x sqrt(3) $ però non capisco la notazione $ {... x>=y>= -x sqrt(3)} $ cosa voglia dire e perchè c'è anche $ x>= $ ... Detto questo, sono incerto se procedere in due modi su come calcolare il volume
1) Calcolo il primo integrale in $ dz $ con estremi da $ 0 $ a $ 4 $ e poi calcolo l'integrale doppio passando in coordinate polari
Oppure:
2) Calcolo l'integrale triplo usando come estremi gli estremi di x y e z, e in tal caso questi sarebbero corretti ?
$ z∈[0,4] $ $ x∈[0,2] $ e poi (ma non ne sono certo di quest'ultima) $ y∈[-sqrt3,sqrt2] $
Qualcuno mi saprebbe dare una mano per favore? Grazie in anticipo
Risposte
Ora, ho capito che il solido è formato da una circonferenza alla base, che ha raggio 2, è ha una altezza z=4 e che ad "unire" l'origine degli assi con la circonferenza ho la retta di equazione y=−x3√ però non capisco la notazione {...x≥y≥−x3√} cosa voglia dire e perchè c'è anche x≥ ... Detto questo, sono incerto se procedere in due modi su come calcolare il volume
La notazione $ x \geq y \geq -xroot()(3) $ indica la regione di piano "sotto" la retta $y=x$ e "sopra" la retta $ y = -xroot()(3)$. Se a questa informazione aggiungi la circonferenza scopri che il tuo dominio è uno spicchio di circonferenza (per z = 4).
Spero di averti aiutato (e di non aver scritto idiozie)!
Ciao, anzitutto grazie per avermi risposto... Ho provato a risolvere l'esercizio, ma mi viene diverso da come hai fatto te, cioè ho considerato $ x>= -x sqrt3 $, facendo tutte le intersezioni varie, arrivo alla conclusione che il dominio mi descrive un semicilindro avente queste proprietà $ z∈(0,4] $ $ θ∈[-π/3 , π/2 ] $ ed in fine $ ρ∈(0,2] $
Invece ora rifacendo come hai detto te, mi verrebbe ancora diverso perchè avrei due rette a descrivere il piano, e non solo una. Facendo cosi mi risulterebbe simile, ma con $ θ $ appartenente ad un intervallo più breve... Non saprei sinceramente cosa fare
Invece ora rifacendo come hai detto te, mi verrebbe ancora diverso perchè avrei due rette a descrivere il piano, e non solo una. Facendo cosi mi risulterebbe simile, ma con $ θ $ appartenente ad un intervallo più breve... Non saprei sinceramente cosa fare
La circonferenza di raggio 2 incontra la retta $y=x$ in $(\root_(2),\root_(2))$ mentre la retta $y=-x\root_(3)$ lo fa in $(1,\root_(3))$ (considerando solo il primo e il quarto quadrante). Normalizzando i punti rispetto al raggio ottieni:
$(1/root()(2),1/root()(2)) , (1/2,- \root_(3)/2) $
corrispondenti a $ \theta = ( -\pi/3 , \pi/4) $, un intervallo effettivamente ridotto rispetto al tuo.
Utilizzando coordinate cilindriche riscrivi il dominio:
$ D={ 0 \leq \rho \leq root_(z) \leq 2 , -\pi/3 \leq \theta \leq \pi/4 , 0 \leq z \leq 4} $
E quindi integri.
$(1/root()(2),1/root()(2)) , (1/2,- \root_(3)/2) $
corrispondenti a $ \theta = ( -\pi/3 , \pi/4) $, un intervallo effettivamente ridotto rispetto al tuo.
Utilizzando coordinate cilindriche riscrivi il dominio:
$ D={ 0 \leq \rho \leq root_(z) \leq 2 , -\pi/3 \leq \theta \leq \pi/4 , 0 \leq z \leq 4} $
E quindi integri.
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