[ANALISI 2] Integrale triplo calcolo volume
Salve, devo calcolare il volume del solido:
$ {(x-1)^2+y^2<=z<=2y+3 } $
Quindi devo fare l'integrale triplo:
$int int int 1dx dy dz$
Ho pensato di passare alle coordinate cilindriche, ho trovato l'intervallo per $z$ ma non mi convince molto.
Non riesco a trovare l'intervallo per $ rho $.
Per $ vartheta$ penso che l'intervallo sia $[0,2pi]$ perchè il solido è un paraboloide ellettico.
Grazie per l'aiuto
$ {(x-1)^2+y^2<=z<=2y+3 } $
Quindi devo fare l'integrale triplo:
$int int int 1dx dy dz$
Ho pensato di passare alle coordinate cilindriche, ho trovato l'intervallo per $z$ ma non mi convince molto.
Non riesco a trovare l'intervallo per $ rho $.
Per $ vartheta$ penso che l'intervallo sia $[0,2pi]$ perchè il solido è un paraboloide ellettico.
Grazie per l'aiuto
Risposte
si potrebbe anche fare così :
prima di tutto bisogna imporre $2y+3geq(x-1)^2+y^2$ che dà luogo al cerchio $D={(x,y) in mathbbR^2 : (x-1)^2+(y-1)^2 leq 4}$
poi si può impostare l'integrale
$ int int_(D) dx dy int_((x-1)^2+y^2)^(2y+3) dz $
e poi passare alle coordinate polari quando c'è da calcolare l'integrale doppio su $D$
prima di tutto bisogna imporre $2y+3geq(x-1)^2+y^2$ che dà luogo al cerchio $D={(x,y) in mathbbR^2 : (x-1)^2+(y-1)^2 leq 4}$
poi si può impostare l'integrale
$ int int_(D) dx dy int_((x-1)^2+y^2)^(2y+3) dz $
e poi passare alle coordinate polari quando c'è da calcolare l'integrale doppio su $D$
"quantunquemente":
si potrebbe anche fare così :
prima di tutto bisogna imporre $2y+3geq(x-1)^2+y^2$ che dà luogo al cerchio $D={(x,y) in mathbbR^2 : (x-1)^2+(y-1)^2 leq 4}$
poi si può impostare l'integrale
$ int int_(D) dx dy int_((x-1)^2+y^2)^(2y+3) dz $
e poi passare alle coordinate polari quando c'è da calcolare l'integrale doppio su $D$
Grazie per il tuo prezioso aiuto.
Ho applicato lo stesso ragionamento a questa superficie:
$ {(x-1)^2/9 + y^2/4 <=z<=1}$
Quindi:
$int int_D dx dy int_((x-1)^2/9 + y^2/4 <=1)^(1) dz $
Imponendo:
$(x-1)^2/9 + y^2/4 <=1$
Ho l'equazione di un "ellisse" nel quale però non riesco a porre le giuste coordinate polari.
Il termine $(x-1)^2$ mi manda in confusione.
Ho anche difficoltà con la superficie:
${z=5-x^2-4y^2, z>=1 }$
Infatti quel $z=$ mi manda fuori strada riguardo la comprensione dell'intervallo di z.
Grazie per l'aiuto
up
up
in generale,la parte di piano racchiusa dall'ellisse di equazione
$(x-x_0)^2/a^2+(y-y_0)^2/b^2=1$
si parametrizza in questo modo
$ { ( x=x_0+arhocostheta ),( y=y_0+brhosentheta ):} $
con $rho in [0,1],theta in [0,2pi]$
per il secondo solido ,imponendo $5-x^2-4y^2geq 1$ hai $x^2+4y^2leq4$
per $z$ non c'è un intervallo perchè come hai detto abbiamo una superficie non una parte di spazio delimitata da superfici
più precisamente,hai la superficie $z=5-4x^2-y^2$ che si proietta,nel piano $z=0$,nella parte di piano racchiusa dall'ellisse $x^2+4y^2=4$
$(x-x_0)^2/a^2+(y-y_0)^2/b^2=1$
si parametrizza in questo modo
$ { ( x=x_0+arhocostheta ),( y=y_0+brhosentheta ):} $
con $rho in [0,1],theta in [0,2pi]$
per il secondo solido ,imponendo $5-x^2-4y^2geq 1$ hai $x^2+4y^2leq4$
per $z$ non c'è un intervallo perchè come hai detto abbiamo una superficie non una parte di spazio delimitata da superfici
più precisamente,hai la superficie $z=5-4x^2-y^2$ che si proietta,nel piano $z=0$,nella parte di piano racchiusa dall'ellisse $x^2+4y^2=4$
"quantunquemente":
in generale,la parte di piano racchiusa dall'ellisse di equazione
$(x-x_0)^2/a^2+(y-y_0)^2/b^2=1$
si parametrizza in questo modo
$ { ( x=x_0+arhocostheta ),( y=y_0+brhosentheta ):} $
con $rho in [0,1],theta in [0,2pi]$
per il secondo solido ,imponendo $5-x^2-4y^2geq 1$ hai $x^2+4y^2leq4$
per $z$ non c'è un intervallo perchè come hai detto abbiamo una superficie non una parte di spazio delimitata da superfici
più precisamente,hai la superficie $z=5-4x^2-y^2$ che si proietta,nel piano $z=0$,nella parte di piano racchiusa dall'ellisse $x^2+4y^2=4$
Grazie al tuo mi stanno uscendo i primi esercizi sui flussi!
Ti volevo chiede un ultima cosa su questa superfice di rotazione:
La superficie sia formata dalla rotazione completa della curva ${ ( x=t ),( z=-t+1 ):}$ attorno all'asse z con $1/2<=t<=1$.
Quindi la superficie finale mi esce:
${ (x=t cos alpha ),( y=t sen alpha ),( z=-t+1 ):}$ con $1/2<=t<=1$ e $0<=alpha<=2pi$
La mia domanda è questa:
Per calcolare la normale, è giusto fare il prodotto vettoriale delle derivate parziali della curva?
Per intederci, le derivate parziali rispetto a $t$ e rispetto a $alpha$.
Grazie per l'aiuto!!!!!
posto $P_t=(cosalpha,senalpha,-1)$ e $P_alpha=(-tsenalpha,tcosalpha,0)$,il vesore normale è dato da
$(P_t times P_alpha)/(||P_t times P_alpha||)$
$(P_t times P_alpha)/(||P_t times P_alpha||)$
Grazie molte per il tuo aiuto.
Si lo sò che devo dividere per la norma, mi ero solo scordato!
Grazie ancora per l'aiuto che mi hai dato!
Si lo sò che devo dividere per la norma, mi ero solo scordato!
Grazie ancora per l'aiuto che mi hai dato!
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