Analisi 2 - funzioni misurabili - misura del vuoto
questo è un problema di definizione (magari è una cosa perfettamente ovvia e banale quella su cui mi sto perdendo) che mi è venuto in mente questa sera mentre stavo cercando di risolvere un esercizio.
Sia $f:RR^d->RR$. f si dice misurabile se $AA t \in\RR$ si ha che $F_t:={x\in\RR^d|f(x)>t}$ è misurabile.
Ora se $F_t=O/$ che misura ha? cioè per me (cioè la definizione che ci è stata data per questa prima parte del corso di insieme misurabile) un insieme E si dice misurabile se $\chi_E[x]$ è integrabile. Si pone $|E|=int\chi_E[x]dx$.
quindi $\chi_(O/)[x]={(1 " se "x\in\O/),(0 " altrimenti"):}$ cioè $\chi_(O/)[x]=0AAx$ quindi, tornando all'insieme considerato, se $F_t=O/=>|F_t|=0$ giusto?
quindi se volessi integrare secondo riemannn $int_0^(+oo)|F_t|dt$, mettendo che la funzione f su cui è definito $F_t$ è continua e limitata e per semplicità sempre positiva a supporto compatto, allora esiste $"sup"{f(x)}$ e quindi $EEt_o$ tc $AAt>t_0, F_t=O/$. Quindi $int_0^(+oo)|F_t|dt=int_0^(t_0)|F_t|dt$ ? con $t_0="sup"{f(x)}$
ho detto bestialità o il mio ragionamento è corretto?
grazie a tutti
Sia $f:RR^d->RR$. f si dice misurabile se $AA t \in\RR$ si ha che $F_t:={x\in\RR^d|f(x)>t}$ è misurabile.
Ora se $F_t=O/$ che misura ha? cioè per me (cioè la definizione che ci è stata data per questa prima parte del corso di insieme misurabile) un insieme E si dice misurabile se $\chi_E[x]$ è integrabile. Si pone $|E|=int\chi_E[x]dx$.
quindi $\chi_(O/)[x]={(1 " se "x\in\O/),(0 " altrimenti"):}$ cioè $\chi_(O/)[x]=0AAx$ quindi, tornando all'insieme considerato, se $F_t=O/=>|F_t|=0$ giusto?
quindi se volessi integrare secondo riemannn $int_0^(+oo)|F_t|dt$, mettendo che la funzione f su cui è definito $F_t$ è continua e limitata e per semplicità sempre positiva a supporto compatto, allora esiste $"sup"{f(x)}$ e quindi $EEt_o$ tc $AAt>t_0, F_t=O/$. Quindi $int_0^(+oo)|F_t|dt=int_0^(t_0)|F_t|dt$ ? con $t_0="sup"{f(x)}$
ho detto bestialità o il mio ragionamento è corretto?
grazie a tutti
Risposte
Se ho capito cosa vuoi dire, secondo me hai ragione. In pratica tu dici:
la misura di $emptyset$ è zero e su questo non ci piove (del resto se non fosse così andremmo incontro a paradossi, credo).
Detto questo, tu vuoi calcolare un integrale di $|F_t|$, cioè della funzione che ad ogni $t$ associa la misura della controimmagine $f^(-1)(t, +infty)$. E se supponiamo che $f$ sia limitata, allora non c'è bisogno di integrare su tutto $[0, infty]$, ci fermiamo ad un certo $t_0$. Mi pare giusto. Ma cosa ti dice che $t\mapsto|F_t|$ sia integrabile? (Non è una domanda retorica, me lo sto chiedendo anche io).
la misura di $emptyset$ è zero e su questo non ci piove (del resto se non fosse così andremmo incontro a paradossi, credo).
Detto questo, tu vuoi calcolare un integrale di $|F_t|$, cioè della funzione che ad ogni $t$ associa la misura della controimmagine $f^(-1)(t, +infty)$. E se supponiamo che $f$ sia limitata, allora non c'è bisogno di integrare su tutto $[0, infty]$, ci fermiamo ad un certo $t_0$. Mi pare giusto. Ma cosa ti dice che $t\mapsto|F_t|$ sia integrabile? (Non è una domanda retorica, me lo sto chiedendo anche io).
La misura di Peano-Jordan dell'insieme vuoto è zero: infatti, fissato $\epsilon >0$, è possibile ricoprire $\emptyset$ con la cella $[0,\root[d]{\epsilon}]^d$ di misura pari ad $\epsilon$.*
Ciò implica che l'insieme vuoto è anche misurabile secondo Lebesgue e che esso ha misura nulla secondo Lebesgue.
D'altra parte, in uno spazio di misura astratto $(X,\ccM ,\mu)$ l'insieme vuoto ha sempre misura o nulla o infinita: invero, è $\emptyset =\bigcup_(n=1)^(+oo) \emptyset$ con l'unione a secondo membro disgiunta; l'additività numerabile di $\mu$ implica che:
$\quad \mu (\emptyset) =\sum_(n=1)^(+oo) \mu (\emptyset)$
e l'uguaglianza è possibile se e solo se $\mu (\emptyset )=0$ oppure $\mu (\emptyset) =+oo$. Ovviamente supposto $\mu (\emptyset)=+oo$ per la monotonia di $\mu$ avresti: $AA E\in \ccM$,
$\quad \emptyset \subseteq E \quad => \quad +oo=\mu (\emptyset )<= \mu (E)<= +oo \quad => \quad \mu (E)=+oo\quad $;
perciò l'ipotesi $\mu (\emptyset)=+oo$ implica che $\mu$ è una misura banalissima su $X$ (infatti è la misura identicamente uguale a $+oo$).
Ne consegue che l'insieme vuoto ha misura nulla in ogni spazio di misura "interessante".
__________
* Si dice che un insieme $A\subseteq \RR^d$ ha misura nulla secondo Peano-Jordan se e solo se, comunque si fissi $\epsilon >0$, esiste un numero finito di celle $I_1,\ldots ,I_N$ (con $I_j:=[a_j^1,b_j^1]\times \cdots \times [a_j^d,b_j^d]$ per $j=1,\ldots ,N$) a due a due prive di punti interni in comune e tali che:
1) $A\subseteq \bigcup_(j=1)^(N) I_j \quad$,
2) $\sum_(j=1)^(N) m(I_j) <= \epsilon \quad$,
ove $m(I_j):=\prod_(i=1)^(d) (b_j^i -a_j^i)$ è la misura di Peano-Jordan della cella $I_j$.
Ciò implica che l'insieme vuoto è anche misurabile secondo Lebesgue e che esso ha misura nulla secondo Lebesgue.
D'altra parte, in uno spazio di misura astratto $(X,\ccM ,\mu)$ l'insieme vuoto ha sempre misura o nulla o infinita: invero, è $\emptyset =\bigcup_(n=1)^(+oo) \emptyset$ con l'unione a secondo membro disgiunta; l'additività numerabile di $\mu$ implica che:
$\quad \mu (\emptyset) =\sum_(n=1)^(+oo) \mu (\emptyset)$
e l'uguaglianza è possibile se e solo se $\mu (\emptyset )=0$ oppure $\mu (\emptyset) =+oo$. Ovviamente supposto $\mu (\emptyset)=+oo$ per la monotonia di $\mu$ avresti: $AA E\in \ccM$,
$\quad \emptyset \subseteq E \quad => \quad +oo=\mu (\emptyset )<= \mu (E)<= +oo \quad => \quad \mu (E)=+oo\quad $;
perciò l'ipotesi $\mu (\emptyset)=+oo$ implica che $\mu$ è una misura banalissima su $X$ (infatti è la misura identicamente uguale a $+oo$).
Ne consegue che l'insieme vuoto ha misura nulla in ogni spazio di misura "interessante".
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* Si dice che un insieme $A\subseteq \RR^d$ ha misura nulla secondo Peano-Jordan se e solo se, comunque si fissi $\epsilon >0$, esiste un numero finito di celle $I_1,\ldots ,I_N$ (con $I_j:=[a_j^1,b_j^1]\times \cdots \times [a_j^d,b_j^d]$ per $j=1,\ldots ,N$) a due a due prive di punti interni in comune e tali che:
1) $A\subseteq \bigcup_(j=1)^(N) I_j \quad$,
2) $\sum_(j=1)^(N) m(I_j) <= \epsilon \quad$,
ove $m(I_j):=\prod_(i=1)^(d) (b_j^i -a_j^i)$ è la misura di Peano-Jordan della cella $I_j$.
@Gugo: visto che l'hai tirato in mezzo ne approfitto che leggo incuriosito il tuo post: cos'è uno spazio di misura astratto?
@dissonance: ne stavo parlando con un mio amico oggi della questione dell'integrabilità di $|F_t|$. Noi sappiamo che essendo f a supporto compatto, continua sempre positiva (come nelle ipotesi che davo sopra) allora $F_t=f^(-1){f(x)-t>0}$ che è la controimmagine di un aperto connesso tramite funzione continua, quindi $F_t$ dovrebbe essere un aperto connesso. Inoltre spostandosi di $t+epsilon$, si ha che $F_t\sup\F_(t+epsilon)$.
Quindi da questo possiamo concludere che quello che si crea facendo variare $t\in\RR_0^+$ è un aperto di $RR^d$ tc $F_t\sup\F_(t+epsilon),AAepsilon>0$ inoltre per quanto detto prima dovrebbe esistere un $t_0$ tc $AAt>t_0=>F_t=O/=>F_0$ contiene tutti gli altri insimemi $F_t,AAt>0$.
Quindi $|F_t|$ per tutti questi ragionamenti dovrebbe dare la misura di sottoinsiemi, discendendo con "gradualità" nell'insieme(passi il termine questa è solo l'idea, penso che mi divertirò a formalizzare un attimo meglio) ; dovrebbe risultare che $|F_t|$ è una funzione continua e quindi integrabile. Questa è l'idea, quindi ora si passa a fare i calcoli bene... voi che ne pensate?
@dissonance: ne stavo parlando con un mio amico oggi della questione dell'integrabilità di $|F_t|$. Noi sappiamo che essendo f a supporto compatto, continua sempre positiva (come nelle ipotesi che davo sopra) allora $F_t=f^(-1){f(x)-t>0}$ che è la controimmagine di un aperto connesso tramite funzione continua, quindi $F_t$ dovrebbe essere un aperto connesso. Inoltre spostandosi di $t+epsilon$, si ha che $F_t\sup\F_(t+epsilon)$.
Quindi da questo possiamo concludere che quello che si crea facendo variare $t\in\RR_0^+$ è un aperto di $RR^d$ tc $F_t\sup\F_(t+epsilon),AAepsilon>0$ inoltre per quanto detto prima dovrebbe esistere un $t_0$ tc $AAt>t_0=>F_t=O/=>F_0$ contiene tutti gli altri insimemi $F_t,AAt>0$.
Quindi $|F_t|$ per tutti questi ragionamenti dovrebbe dare la misura di sottoinsiemi, discendendo con "gradualità" nell'insieme(passi il termine questa è solo l'idea, penso che mi divertirò a formalizzare un attimo meglio) ; dovrebbe risultare che $|F_t|$ è una funzione continua e quindi integrabile. Questa è l'idea, quindi ora si passa a fare i calcoli bene... voi che ne pensate?
Uno spazio di misura astratto è una terna ordinata $(X,\ccM ,\mu)$ in cui:
1) $X$ è un insieme non vuoto;
2) $\ccM$ è una famiglia di parti di $X$ (i cui insiemi vengono detti misurabili in $X$) che gode delle seguenti proprietà:
a. $X\in \ccM$ (o, equivalentemente, a'.$\emptyset \in \ccM$);
b. $\ccM$ è chiusa rispetto alla complementazione, ossia $AA E\in \ccM, X\setminus E \in \ccM$;
c. $\ccM$ è chiusa rispetto all'unione numerabile, ossia per ogni successione $(E_n) \subseteq \ccM$ si ha anche$\bigcup_(n=1)^(+oo) E_n \in \ccM$;
[N.B.: ogni famiglia $\ccM$ che gode delle a, b ,c viene detta $\sigma$-algebra.]
3) $\mu : \ccM \to [0,+oo]$ è un'applicazione che gode della seguente proprietà:
d. $\mu$ è numerabilmente additiva, ossia per ogni successione $(E_n)\subseteq \ccM$ d'insiemi disgiunti risulta $\mu (\bigcup_(n=1)^(+oo) E_n) =\sum_(n=1)^(+oo) \mu (E_n)$.
[N.B.: ogni funzione che goda della d è detta misura su $\ccM$ (o, impropriamente, misura su $X$). In molti testi di Teoria della Misura si richiede che la misura $\mu$ goda anche della proprietà:
f. esiste un $E\in \ccM$ tale che $\mu (E) != +oo$ (o, equivalentemente, f'. $\mu (\emptyset )=0$);
tale proprietà caratterizza gli spazi di misura "interessanti", giacché esclude la possibilità che $\mu$ sia la misura identicamente uguale a $+oo$.]
Le proprietà a e b (o direttamente la a') ti assicurano che $\emptyset$ è misurabile in ogni spazio di misura astratto; la d è invece usata per stabilire che $\mu (\emptyset) =\sum_(n=1)^(+oo) \mu (\emptyset)$.
Ovviamente esistono degli spazi di misura astratti: ad esempio se si prende $X!=\emptyset$, $\ccM :=P(X)$ (parti di $X$) e si definisce:
$AA E\in \ccM , \quad \mu (E):=\{(1, " se " x_0\in E),(0, " se " x_0\notin E):}$
ove $x_0\in X$ è fissato, lo spazio $(X,\ccM,\mu)$ è uno spazio di misura astratto (ti lascio la semplice verifica di questo fatto!
); in particolare la misura $\mu$ è detta misura di Dirac centrata in $x_0$.
La struttura di spazio di misura è quella su cui si basa la Teoria dell'Integrazione: avendo a disposizione uno spazio di misura $X$ ed uno spazio topologico $Y$ è possibile determinare una classe di funzioni di $X$ in $Y$, dette funzioni misurabili, per le quali ha senso il calcolo dell'integrale $\int_X f" d"\mu$; si prova inoltre che $E\in \ccM$ se e solo se la funzione caratteristica $\chi_E$ è misurabile e che, in tal caso, $\mu (E) =\int_X \chi_E " d"\mu$.
1) $X$ è un insieme non vuoto;
2) $\ccM$ è una famiglia di parti di $X$ (i cui insiemi vengono detti misurabili in $X$) che gode delle seguenti proprietà:
a. $X\in \ccM$ (o, equivalentemente, a'.$\emptyset \in \ccM$);
b. $\ccM$ è chiusa rispetto alla complementazione, ossia $AA E\in \ccM, X\setminus E \in \ccM$;
c. $\ccM$ è chiusa rispetto all'unione numerabile, ossia per ogni successione $(E_n) \subseteq \ccM$ si ha anche$\bigcup_(n=1)^(+oo) E_n \in \ccM$;
[N.B.: ogni famiglia $\ccM$ che gode delle a, b ,c viene detta $\sigma$-algebra.]
3) $\mu : \ccM \to [0,+oo]$ è un'applicazione che gode della seguente proprietà:
d. $\mu$ è numerabilmente additiva, ossia per ogni successione $(E_n)\subseteq \ccM$ d'insiemi disgiunti risulta $\mu (\bigcup_(n=1)^(+oo) E_n) =\sum_(n=1)^(+oo) \mu (E_n)$.
[N.B.: ogni funzione che goda della d è detta misura su $\ccM$ (o, impropriamente, misura su $X$). In molti testi di Teoria della Misura si richiede che la misura $\mu$ goda anche della proprietà:
f. esiste un $E\in \ccM$ tale che $\mu (E) != +oo$ (o, equivalentemente, f'. $\mu (\emptyset )=0$);
tale proprietà caratterizza gli spazi di misura "interessanti", giacché esclude la possibilità che $\mu$ sia la misura identicamente uguale a $+oo$.]
Le proprietà a e b (o direttamente la a') ti assicurano che $\emptyset$ è misurabile in ogni spazio di misura astratto; la d è invece usata per stabilire che $\mu (\emptyset) =\sum_(n=1)^(+oo) \mu (\emptyset)$.
Ovviamente esistono degli spazi di misura astratti: ad esempio se si prende $X!=\emptyset$, $\ccM :=P(X)$ (parti di $X$) e si definisce:
$AA E\in \ccM , \quad \mu (E):=\{(1, " se " x_0\in E),(0, " se " x_0\notin E):}$
ove $x_0\in X$ è fissato, lo spazio $(X,\ccM,\mu)$ è uno spazio di misura astratto (ti lascio la semplice verifica di questo fatto!
); in particolare la misura $\mu$ è detta misura di Dirac centrata in $x_0$.La struttura di spazio di misura è quella su cui si basa la Teoria dell'Integrazione: avendo a disposizione uno spazio di misura $X$ ed uno spazio topologico $Y$ è possibile determinare una classe di funzioni di $X$ in $Y$, dette funzioni misurabili, per le quali ha senso il calcolo dell'integrale $\int_X f" d"\mu$; si prova inoltre che $E\in \ccM$ se e solo se la funzione caratteristica $\chi_E$ è misurabile e che, in tal caso, $\mu (E) =\int_X \chi_E " d"\mu$.
"fu^2":
...che è la controimmagine di un aperto connesso tramite funzione continua, quindi $F_t$ dovrebbe essere un aperto connesso. ...
non ho ancora finito di leggere per la verità ma questa cosa non mi torna. Ad esempio, sia $f: x\mapstox^2$. La controimmagine di $(1, 2)$ è l'unione disgiunta $(-sqrt(2), -1)uu(1, sqrt(2))$ che non è ovviamente un aperto connesso. o mi sbaglio? la connessione che le funzioni continue conservano è "in avanti", nel senso che l'immagine di un connesso è connessa, mi pare.
(Adesso che Gugo ha introdotto il concetto di misura, possiamo dire che quello che finora abbiamo chiamato $|F_t|$ non è altro che la misura di Peano-Jordan di $f^(-1)(t, infty)$.)
@ fu^2: A parte l'osservazione del mio post precedente, sono convinto che tu abbia ragione quando dici che l'applicazione $t\mapsto|F_t|$ è Riemann-integrabile. Per un motivo molto semplice: è una funzione di una variabile, limitata, monotona, e al di fuori di un intervallo compatto vale zero. (In sostanza è quello che dicevi tu prima, tra l'altro). Fine.
Che dici?
Io penso che ci siamo fatti ingannare dal fatto che $f$ sia una funzione di più variabili. $f$ lo è, ma $t\mapsto|F_t|$ è una funzione di una variabile, a valori reali, definita su un intervallo. Roba da scuola media insomma
@ fu^2: A parte l'osservazione del mio post precedente, sono convinto che tu abbia ragione quando dici che l'applicazione $t\mapsto|F_t|$ è Riemann-integrabile. Per un motivo molto semplice: è una funzione di una variabile, limitata, monotona, e al di fuori di un intervallo compatto vale zero. (In sostanza è quello che dicevi tu prima, tra l'altro). Fine.
Che dici?
Io penso che ci siamo fatti ingannare dal fatto che $f$ sia una funzione di più variabili. $f$ lo è, ma $t\mapsto|F_t|$ è una funzione di una variabile, a valori reali, definita su un intervallo. Roba da scuola media insomma
si, potevo nn incespicarmi in dubbi discorsi sull'essere connesso e riscrivere il post senza quella parolaccia e ottenevo la stessa risposta che è quella a cui siamo giunti, bene bene... direi prima parte del problema risolto 
infatti non serve sapere che è continua... cioè per l'osservazione fatta si ha che $F_(t+h)\subF_t,AAh>0,t>=0$. Inolltre $F_0\sup\F_1\sup...supF_tsup..supF_(t_0)$ quindi è una catena limitata di insiemi strettamente decrescente. Questo implica che $|F_t|$ è una funzione monotona definita su un insieme compatto. Quindi è integrabile. Perfetto!
infatti non serve sapere che è continua... cioè per l'osservazione fatta si ha che $F_(t+h)\subF_t,AAh>0,t>=0$. Inolltre $F_0\sup\F_1\sup...supF_tsup..supF_(t_0)$ quindi è una catena limitata di insiemi strettamente decrescente. Questo implica che $|F_t|$ è una funzione monotona definita su un insieme compatto. Quindi è integrabile. Perfetto!
scusa un ultima cosa per chiarire un caso pareticolare: se per esempio ho la funzione $f(x)={(-x^2+1" se "x\in[-1,1]),(0" altrimenti"):}$ risponde alle richieste fatte, in questo caso $F_t={x\i\RR|f(x)>t}$ che sono le ascisse soluzione del sistema ${(y=f(x)),(y=t):}$ e quindi al variare di t in $RR_0^+$ rappresenta l'intervallo $[-sqrt(1-t),sqrt(1-t)]$. Quindi in questo caso la misura di $|F_t|=2sqrt(1-t)$ giusto?...
no perchè il mio prof ci ha proposto un esercizio :
"sia $f:RR^d->RR$ una funzione continua a supporto compatto e $f(x)>=0$ sul compatto, allora vale che $int_(RR^d)f^p(x)dx=p int_0^(+oo) t^(p-1)|F_t|dt$, con $p\in\NN$ fissato"
secondo me è falso, infatti se poniamo $p=2$, $d=1, f(x)={(-x^2+c " se " x\in[-c,c]),(0" altrimenti"):}$ , con $c\inRR$ abbiamo:
$int_RR (f(x))^2dx=int_(-c)^c (-x^2+c)^2dx=2·c^3·(3·c^2 - 10·c + 15)/15
in questo caso $F_t=[-sqrt(c-t),sqrt(c-t)]=>|F_t|=2sqrt(c-t)$ quindi
$4·int_0^(+oo)t*sqrt(c-t)dt=4·int_0^(c)t*sqrt(c-t)dt=16·c^(5/2)/15
che in generale sono due valori diversi, o ho fatto confusione io in modo eclatante? (cosa possibile soprattutto oggi, visto che ho anche un pò di influenza)
"sia $f:RR^d->RR$ una funzione continua a supporto compatto e $f(x)>=0$ sul compatto, allora vale che $int_(RR^d)f^p(x)dx=p int_0^(+oo) t^(p-1)|F_t|dt$, con $p\in\NN$ fissato"
secondo me è falso, infatti se poniamo $p=2$, $d=1, f(x)={(-x^2+c " se " x\in[-c,c]),(0" altrimenti"):}$ , con $c\inRR$ abbiamo:
$int_RR (f(x))^2dx=int_(-c)^c (-x^2+c)^2dx=2·c^3·(3·c^2 - 10·c + 15)/15
in questo caso $F_t=[-sqrt(c-t),sqrt(c-t)]=>|F_t|=2sqrt(c-t)$ quindi
$4·int_0^(+oo)t*sqrt(c-t)dt=4·int_0^(c)t*sqrt(c-t)dt=16·c^(5/2)/15
che in generale sono due valori diversi, o ho fatto confusione io in modo eclatante? (cosa possibile soprattutto oggi, visto che ho anche un pò di influenza)
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