Analisi 2, esercizio su integrale doppio

[Beppu95]

Ciao ragazzi sono alle prese con questo integrale doppio e volevo qualche delucidazione.
Calcolare $ intint_Sigma((2y)/(root()(24y^2+4z+1)))dsigma $ dove $ Sigma $ è la porzione di superficie di equazione $ z=x^2+3y^2 $ che si proietta in $ D={x^2+y^2<=1; y>=x-1; x>=0} $

Allora, per prima cosa ho proceduto a sostituire z nell'integrale, ottenendo $ intint_Sigma((2y)/(root()(36y^2+4x^2+1)))dsigma $

Ho poi calcolato quale sia il mio domini, ottenendo



A questo punto ho ragionato per coordinate polari. Non so se sia il metodo migliore o se avessi potuto risolverlo direttamente ma è quello che a naso mi è sembrato più opportuno essendo presente una circonferenza.
$ U={ ( x=rhocostheta),( y=rhosintheta ):} $ Sostituisco questi valori in D, facendo tutte le sostituzioni ottengo che $ rho $ varia tra $ 0 $ e $ 1/(costheta-sintheta) $, mentre $ theta $ varia fra $ 3/2pi $ e $ pi/2 $.
Sostituisco nell'integrale che diventa $ int int_u((2rhosintheta)/(root()(36rho^2sin^2theta+4rho^2cos^2theta+1)))rhodrho dtheta $

Potete darmi un suggerimento su come risolvere questo integrale?

[anonymous_0b37e9]

Meglio procedere in coordinate cartesiane:

$\{(x=u),(y=v),(z=u^2+3v^2):} rarr$

$rarr vecn=
|(veci,vecj,veck),((delx)/(delu),(dely)/(delu),(delz)/(delu)),((delx)/(delv),(dely)/(delv),(delz)/(delv))|=|(veci,vecj,veck),(1,0,2u),(0,1,6v)|=-2u veci-6v vecj+veck rarr$

$rarr dS=sqrt(4u^2+36v^2+1) rarr$

$rarr I=\int_{0}^{1}du\int_{u-1}^{sqrt(1-u^2)}dv(2v)/sqrt(4u^2+36v^2+1)sqrt(4u^2+36v^2+1)=\int_{0}^{1}du\int_{u-1}^{sqrt(1-u^2)}dv2v$

Tra l'altro, ho l'impressione che tu non sapppia esprimere il $dS$.

[Beppu95]

Ciao, grazie mille per la risposta. Il $ dS $ che qua sarebbe il $ dsigma $ è l'elemento superficiale rappresentato da $ root()(1+z^{\prime}(x)^2+z'(y)^2 $ dunque il mio integrale poteva essere scritto fin da subito come $ int int_Sigma(2y)/(root()(36y^2+4x^2+1))(root()(1+4x^2+36y^2))dxdy $. Corretto?

[anonymous_0b37e9]

Corretto.

[bastian.0]

Quanto ti porta io risultato? Se porta come il mio possiamo ragionarci insieme