[Analisi 2] Esercizio integrale curvilineo

[alfonso_ferrentino]

Ciao a tutti,

sto provando a svolgere un esercizio che mi chiede:
Sia Γ un arco regolare che unisce i punti A = (0, −7/4) e B = (π/6, 3), orientato da A a B.
Il lavoro lungo Γ del campo F(x, y) = ( e^x + 3y cos(3x),sin(3x) ) vale:

Io ho provato con il teorema di Green ma la differenza delle due derivate è pari a 0.

Grazie.

[StellaMartensitica]

Allora hai i tuoi due punti:

$A-=((0),(-7/4))$

$B-=((pi/6),(3))$

Hai poi un certo campo vettoriale:

$F((x),(y))=((e^x+3y*cos(3x)),(sin(3x)))$

$ROT(F)-=0$ come hai notato.

Pertanto, essendo il campo $F((x),(y)):RR^2->RR^2$ di classe $C^1(RR^2)$ ed irrotazionale => $F$ è conservativo come confido avrete visto a lezione.
Troviamo il potenzieele:
$U(x,y)=int(e^x+3ycos(3x))dx+H(y)=e^x+ysin(3x)+H(y)$

$(delU)/(dely)=sin(3x)+H'(y)=sin(3x)$

da cui hai

$H'(y)=0$
pertanto $H(y)="cost."$ la costante arbitraria che scegliamo nulla. Segue, in definitiva:

$U(x,y)=e^x+ysin(3x)$

tanto è vero che
$\nablaU=F$

A sto punto è sufficiente tu faccia:
$L_(A->B)=U(\bar(B))-U(\bar(A))=U(pi/6,3)-U(0,-7/4)=e^(pi/6)+3*sin(3*pi/6)-[e^(0)-7/4*sin(3*0)]=e^(pi/6)+3-1=e^(pi/6)+2$

P.s.: IL teorema di Green è la caratterizzazione sul piano del teorema del ROTore ok?