[Analisi 2] Esercizi su massimi/minimi relativi ed assoluti
Buongiorno, in vista dell'esame di Analisi 2, sto facendo esercizi dai temi esame. Ho dei dubbi però su questi due esercizi:
Esercizio 1:
Io l'ho risolto in questo modo.
-Fatto derivata parziale rispetto a x($2xy^2 - 21x^2y$) e y($2x^2y - 7x^3$)
-Sistema con le due derivate = 0 -> Otteniamo che x=0 y=0, x=0 $ AA $ y
-Matrice hessiana. nel primo caso siamo in dubbio(det = 0), nel secondo caso il det = $2y^2$
Non potendo risolverlo con la matrice hessiana, faccio lo studio del segno
-Studio segno
$ Delta f = f(x,y) - f(0,0) = x^2*y^2 - 7*x^3*y - 0$
Studio quando è maggiore di 0 e trovo $x>0, y=7x$
Nel punto (0,0) abbiamo un cambio segno e quindi un punto di sella, mentre scegliendo un y generico positivo con x=0 siamo nel positivo quindi minimo relativo.
Fin qua tutto okay, ma se prendo y generico negativo? Io pensavo qua si ottenessero i massimi relativi ma, sapendo la soluzione, so che è sbagliato. Perchè?
Esercizio 2:
Fatto lo stesso procedimento e trovo i punti:
$ alpha != 4rarr x=0,y=0 $
$ alpha = 4 rarr AA x,AA y $
Faccio l'hessiana e trovo $4 alpha -16$.
Ora però non so assolutamente come procedere. Come faccio a sapere se la retta è un minimo/massimo assoluto o relativo o sella?
Grazie in anticipo!
Esercizio 1:
Io l'ho risolto in questo modo.
-Fatto derivata parziale rispetto a x($2xy^2 - 21x^2y$) e y($2x^2y - 7x^3$)
-Sistema con le due derivate = 0 -> Otteniamo che x=0 y=0, x=0 $ AA $ y
-Matrice hessiana. nel primo caso siamo in dubbio(det = 0), nel secondo caso il det = $2y^2$
Non potendo risolverlo con la matrice hessiana, faccio lo studio del segno
-Studio segno
$ Delta f = f(x,y) - f(0,0) = x^2*y^2 - 7*x^3*y - 0$
Studio quando è maggiore di 0 e trovo $x>0, y=7x$
Nel punto (0,0) abbiamo un cambio segno e quindi un punto di sella, mentre scegliendo un y generico positivo con x=0 siamo nel positivo quindi minimo relativo.
Fin qua tutto okay, ma se prendo y generico negativo? Io pensavo qua si ottenessero i massimi relativi ma, sapendo la soluzione, so che è sbagliato. Perchè?
Esercizio 2:
Fatto lo stesso procedimento e trovo i punti:
$ alpha != 4rarr x=0,y=0 $
$ alpha = 4 rarr AA x,AA y $
Faccio l'hessiana e trovo $4 alpha -16$.
Ora però non so assolutamente come procedere. Come faccio a sapere se la retta è un minimo/massimo assoluto o relativo o sella?
Grazie in anticipo!
Risposte
Per il secondo esercizio: per $\alpha = 4$ la funzione diventa $f(x, y) = 4x^2 + 4xy + y^2$ che puoi scrivere come $f(x, y) = (2x + y)^2$.
Geometricamente è quello che si chiama cilindro parabolico, e visivamente è una parabola "che va avanti nello spazio". Dalla sua espressione vedi che è una funzione sempre positiva o al più nulla. È anche convessa ovunque. Allora nel suo dominio naturale può avere solo minimi assoluti e sono tutti i punti della forma $y = -2x$ per i quali il minimo di $f$ vale $0$.
$y = -2x$ è una famiglia di punti che descrive la retta, ed è esattamente la retta sulla quale slitta la parabola. Per vedere meglio le cose, prova a plottare con Geogebra 3D.
(Se impari un po' di quadriche la vita sarà migliore)
Geometricamente è quello che si chiama cilindro parabolico, e visivamente è una parabola "che va avanti nello spazio". Dalla sua espressione vedi che è una funzione sempre positiva o al più nulla. È anche convessa ovunque. Allora nel suo dominio naturale può avere solo minimi assoluti e sono tutti i punti della forma $y = -2x$ per i quali il minimo di $f$ vale $0$.
$y = -2x$ è una famiglia di punti che descrive la retta, ed è esattamente la retta sulla quale slitta la parabola. Per vedere meglio le cose, prova a plottare con Geogebra 3D.
(Se impari un po' di quadriche la vita sarà migliore)
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