[Analisi 2] Esercizi max e min
Ciao!
Mi esercito a fare gli appelli di analisi II, in particolare adesso lo studio dei max e min delle funzioni.
Se posto lo svolgimento di una di queste, mi dite se è corretto o meno ?
Trovare ( se esistono ) max e min assoluti della funzione:
f(x,y) = x^2 + 2y
nell'insieme E = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 =< y <= 1}
Dunque, ho considerato questi insiemi:
1. Quello interno, cioè con la disuguaglianza stretta
2. A = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 = y = 1}
3. A_1 = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 = y, y < 1}
4. A_2 = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 < y, y-1=0}
Dunque, il gradiente della f è {2x,2} che non si annulla mai, quindi in teoria non dovrebbero esserci punti di max o min all'interno del primo insieme.
Vediamo sulla frontiera.
Se y = 1, allora x= +-1, quindi trovo questi punti:
A(1,1) e B (-1,1).
Poi, per A_1 uso i moltiplicatori di Lagrange ed ottengo il punto C(0,-1).
Per l'insieme A_2 sempre con Lagrange ottengo D(0,1).
Dopo aver trovato tutti questi punti, posso calcolarmi il valore della f, ottengo f(1,1) = 3; f(-1,1) = 3; f(0,-1) = -2; f(0,1) = 2
Quindi concludo che il massimo è nei primi due punti, mentre c'è il min. in (0,-1).
Il problema è che secondo me ho sbagliato perchè non posso avere due valori massimi, se in realtà il massimo assoluto dovrebbe essere uno solo...
Che ho sbagliato ?
Ne ho fatti altri ( questo non era complicatissimo ) se mi dite che mi aiuterete a trovare gli errori che faccio, posto anche le altre...
Grazie!
Mi esercito a fare gli appelli di analisi II, in particolare adesso lo studio dei max e min delle funzioni.
Se posto lo svolgimento di una di queste, mi dite se è corretto o meno ?
Trovare ( se esistono ) max e min assoluti della funzione:
f(x,y) = x^2 + 2y
nell'insieme E = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 =< y <= 1}
Dunque, ho considerato questi insiemi:
1. Quello interno, cioè con la disuguaglianza stretta
2. A = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 = y = 1}
3. A_1 = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 = y, y < 1}
4. A_2 = {(x,y) di R^2 tale che 2x^2 - 1 < y, y-1=0}
Dunque, il gradiente della f è {2x,2} che non si annulla mai, quindi in teoria non dovrebbero esserci punti di max o min all'interno del primo insieme.
Vediamo sulla frontiera.
Se y = 1, allora x= +-1, quindi trovo questi punti:
A(1,1) e B (-1,1).
Poi, per A_1 uso i moltiplicatori di Lagrange ed ottengo il punto C(0,-1).
Per l'insieme A_2 sempre con Lagrange ottengo D(0,1).
Dopo aver trovato tutti questi punti, posso calcolarmi il valore della f, ottengo f(1,1) = 3; f(-1,1) = 3; f(0,-1) = -2; f(0,1) = 2
Quindi concludo che il massimo è nei primi due punti, mentre c'è il min. in (0,-1).
Il problema è che secondo me ho sbagliato perchè non posso avere due valori massimi, se in realtà il massimo assoluto dovrebbe essere uno solo...
Che ho sbagliato ?
Ne ho fatti altri ( questo non era complicatissimo ) se mi dite che mi aiuterete a trovare gli errori che faccio, posto anche le altre...
Grazie!
Risposte
Infatti il massimo assoluto e' uno solo, 3, ma assunto in due punti distinti: nessun problema.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Tutto il resto è ok ?
veramente ?
Se posto gli altri, mi date uno sguardo ?
Le soluzioni non le ho, quindi non posso essere sicuro di aver fatto bene...
veramente ?
Se posto gli altri, mi date uno sguardo ?
Le soluzioni non le ho, quindi non posso essere sicuro di aver fatto bene...
Vi posto quest'altro esercizio...
la funzione da studiare è questa:
E = {(x,y) di R^2 tale che x^2 + y^2 =< 4 }
Svolgimento:
I due insieme che considero sono:
1. quello interno: E_1 = {(x,y) di R^2 tale che x^2 + y^2 < 4 }
2. gli estremi: E_2 = {(x,y) di R^2 tale che x^2 + y^2 = 4 }
Trovo il gradiente, non ve lo scrivo perchè è lungo, cmq si annulla in due punti, A(0,-1) e B(2,1/3), da come ho trovato io, poi non so se sia corretto o meno.
Di questi punti considero solo il punto A, dato che il punto B non è interno all'insieme E_1 perchè non soddisfa la disuguaglianza stretta.
Per il secondo insieme, quello degli estremi, non applico Lagrange perchè mi sembra troppo incasinato, uso la parametrizzazione del tipo:
x= cost
y= sint
quindi la funzione in x,y diventa una funzione in una sola variabile t, cioè f(cost,sint) = [sqrt(2)/2](1 + cost - sint ).
Trovo che la derivata si annulla per t=-5pi-greco/4; t=3pi-greco/4; ed infine t=-pi-greco/4;
Ora che ho trovato il valore di t, lo devo sostituire per trovare i vari punti, ad esempio per t = -pi-greco/4 trovo: f(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) = ( 2 + sqrt(2) ) / sqrt(2);
Vi risulta corretto ? Per gli altri punti se faccio lo stesso va bene ?
E per il punto che trovo con il gradiente, mi basta trovare il valore della f(0,-1) = 2/sqrt(2) e confrontarlo con gli altri, o devo farmi l'hessiana per capire se è un punto di max, min o di sella ?
Grazie per i consigli!
Edit: piccola domanda: che devo fare quando il determinante dell'Hessiana è nullo ? non mi è chiaro ancora...
la funzione da studiare è questa:
E = {(x,y) di R^2 tale che x^2 + y^2 =< 4 }
Svolgimento:
I due insieme che considero sono:
1. quello interno: E_1 = {(x,y) di R^2 tale che x^2 + y^2 < 4 }
2. gli estremi: E_2 = {(x,y) di R^2 tale che x^2 + y^2 = 4 }
Trovo il gradiente, non ve lo scrivo perchè è lungo, cmq si annulla in due punti, A(0,-1) e B(2,1/3), da come ho trovato io, poi non so se sia corretto o meno.
Di questi punti considero solo il punto A, dato che il punto B non è interno all'insieme E_1 perchè non soddisfa la disuguaglianza stretta.
Per il secondo insieme, quello degli estremi, non applico Lagrange perchè mi sembra troppo incasinato, uso la parametrizzazione del tipo:
x= cost
y= sint
quindi la funzione in x,y diventa una funzione in una sola variabile t, cioè f(cost,sint) = [sqrt(2)/2](1 + cost - sint ).
Trovo che la derivata si annulla per t=-5pi-greco/4; t=3pi-greco/4; ed infine t=-pi-greco/4;
Ora che ho trovato il valore di t, lo devo sostituire per trovare i vari punti, ad esempio per t = -pi-greco/4 trovo: f(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) = ( 2 + sqrt(2) ) / sqrt(2);
Vi risulta corretto ? Per gli altri punti se faccio lo stesso va bene ?
E per il punto che trovo con il gradiente, mi basta trovare il valore della f(0,-1) = 2/sqrt(2) e confrontarlo con gli altri, o devo farmi l'hessiana per capire se è un punto di max, min o di sella ?
Grazie per i consigli!
Edit: piccola domanda: che devo fare quando il determinante dell'Hessiana è nullo ? non mi è chiaro ancora...
Già che mi trovo posto altri esercizi che ho fatto.
f(x,y) = (x-1)^2 + (y-1)^2
nell'insieme E={(x,y) di R^2 tali che x>=0, 0<=y<=4-2x}
Svolgimento:
Ho considerato gli insiemi:
1. Interno, con la disuguaglianza stretta;
2. x=0, y=4; ed x=2, y=0; ( a bordi )
3. y=4-2x con x>0;
il gradiente della f si annulla nel punto x=1 ed y=1.
Facendo l'Hessiana, che non dipende dalle variabili x ed y, trovo che f_xx >0, e detH_f = 4 >0, quindi concludo che (1,1) è un punto di minimo per l'insieme interno E.
Con Lagrange su y=4-2x con x >0 trovo che :
x= 7/5 ed y = 6/5, il punto è buono perchè tanto x=7/5 >0
Ricavo infine che:
f(7/5,6/5) = 1/5; f(0,4)=10; f(2,0) =2
Concludo che si ha un max in (0,4) ed un minino in (1,1) in cui la f vale 0.
Lo svolgimento è corretto o ho commesso degli errori ?
f(x,y) = (x-1)^2 + (y-1)^2
nell'insieme E={(x,y) di R^2 tali che x>=0, 0<=y<=4-2x}
Svolgimento:
Ho considerato gli insiemi:
1. Interno, con la disuguaglianza stretta;
2. x=0, y=4; ed x=2, y=0; ( a bordi )
3. y=4-2x con x>0;
il gradiente della f si annulla nel punto x=1 ed y=1.
Facendo l'Hessiana, che non dipende dalle variabili x ed y, trovo che f_xx >0, e detH_f = 4 >0, quindi concludo che (1,1) è un punto di minimo per l'insieme interno E.
Con Lagrange su y=4-2x con x >0 trovo che :
x= 7/5 ed y = 6/5, il punto è buono perchè tanto x=7/5 >0
Ricavo infine che:
f(7/5,6/5) = 1/5; f(0,4)=10; f(2,0) =2
Concludo che si ha un max in (0,4) ed un minino in (1,1) in cui la f vale 0.
Lo svolgimento è corretto o ho commesso degli errori ?
Altra funzione:
f(x,y)= ( x + y ) / ( 1 + (x^2 + y^2)^3 )
nell'insieme E = { x >=0 }
Svolgimento:
Gli insieme sono due, uno interno con x > 0, e quello con x = 0.
In quello interno non so cosa succeda perchè non riesco a capire quando si annulla il gradiente, le derivate parziali sono incasinate e non riesco a risolvere il sistema formato dalle equazioni dei due numeratori.
In x = 0, se consideriamo f(0,y) = y / ( 1 + y^6 )
e per i max o i min possiamo studiare la funzione di una sola variabile y, cioè g(y);
La derivata si annulla in y = 1/( 5 ^ 1/6) ).
In tale punto vi è un massimo.
Ma cosa succede all'interno ?
f(x,y)= ( x + y ) / ( 1 + (x^2 + y^2)^3 )
nell'insieme E = { x >=0 }
Svolgimento:
Gli insieme sono due, uno interno con x > 0, e quello con x = 0.
In quello interno non so cosa succeda perchè non riesco a capire quando si annulla il gradiente, le derivate parziali sono incasinate e non riesco a risolvere il sistema formato dalle equazioni dei due numeratori.
In x = 0, se consideriamo f(0,y) = y / ( 1 + y^6 )
e per i max o i min possiamo studiare la funzione di una sola variabile y, cioè g(y);
La derivata si annulla in y = 1/( 5 ^ 1/6) ).
In tale punto vi è un massimo.
Ma cosa succede all'interno ?
Ultima funzione, per oggi 
f(x,y,z) = x^2 - y^2 + z^2
in E = { x^2 + y^2 + z^2 =<1, z>=0 }
Svolgimento:
Considero al solito, l'insieme interno e gli altri due con z=0 e quello con x^2 + y ^2 + z^2 = 1 con z>0.
Il gradiente si annulla in (0,0,0), se faccio la matrice Hessiana ottengo che il determinante è minore di zero e f_xx > 0, concludo che il punto dovrebbe essere di sella per la f, vero ?
se z = 0, il vincolo diventa una circonferenza, usando i moltiplicatori di Lagrange ottengo che:
x=+-1, y = 0, z = 0, quindi risultano due punti (1,0,0) e (-1,0,0).
Nell'altro caso, con z >0 x^2 + y ^2 + z^2 =1, sempre con Lagrange, ottengo gli stessi punti di prima.
Quindi per concludere ho:
f(1,0,0) = 1 = f(-1,0,0) ma è punto di max o di min ?
Secondo me ho fatto degli errori !
f(x,y,z) = x^2 - y^2 + z^2
in E = { x^2 + y^2 + z^2 =<1, z>=0 }
Svolgimento:
Considero al solito, l'insieme interno e gli altri due con z=0 e quello con x^2 + y ^2 + z^2 = 1 con z>0.
Il gradiente si annulla in (0,0,0), se faccio la matrice Hessiana ottengo che il determinante è minore di zero e f_xx > 0, concludo che il punto dovrebbe essere di sella per la f, vero ?
se z = 0, il vincolo diventa una circonferenza, usando i moltiplicatori di Lagrange ottengo che:
x=+-1, y = 0, z = 0, quindi risultano due punti (1,0,0) e (-1,0,0).
Nell'altro caso, con z >0 x^2 + y ^2 + z^2 =1, sempre con Lagrange, ottengo gli stessi punti di prima.
Quindi per concludere ho:
f(1,0,0) = 1 = f(-1,0,0) ma è punto di max o di min ?
Secondo me ho fatto degli errori !
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