Analisi 2: convergenza di una serie al variare di un parametro
Buonasera,
ho qualche problema nel determinare la convergenza di una serie al variare di un parametro $ beta in R $ .
La serie è $ sum_(n = 1) ^(+oo ) n^beta log^2(n) $.
Considerando che $ 1/n^(-beta )<=log^2(n)/n^(-beta ) $ sono riuscito a stabilire per confronto che la serie è divergente per $ beta >=-1 $ , ma come faccio a determinare la convergenza? Ho provato con il criterio del rapporto, ma $ lim_(n_->+oo ) a_(n+1)/a_n =1 $ , se ho fatto bene i conti. Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo
ho qualche problema nel determinare la convergenza di una serie al variare di un parametro $ beta in R $ .
La serie è $ sum_(n = 1) ^(+oo ) n^beta log^2(n) $.
Considerando che $ 1/n^(-beta )<=log^2(n)/n^(-beta ) $ sono riuscito a stabilire per confronto che la serie è divergente per $ beta >=-1 $ , ma come faccio a determinare la convergenza? Ho provato con il criterio del rapporto, ma $ lim_(n_->+oo ) a_(n+1)/a_n =1 $ , se ho fatto bene i conti. Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo
Risposte
Se $\beta <-1$, puoi eliminare quel logaritmo pagando un epsilon all'esponente:
\[n^\beta \log^2(n)\le C_{\epsilon} n^{\beta + \epsilon}, \]
dove $C_{\epsilon}>0$ è una costante che non è importante determinare esplicitamente. Prendi epsilon abbastanza piccolo
\[n^\beta \log^2(n)\le C_{\epsilon} n^{\beta + \epsilon}, \]
dove $C_{\epsilon}>0$ è una costante che non è importante determinare esplicitamente. Prendi epsilon abbastanza piccolo
Grazie mille, ottima idea!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo