[ANALISI 2] Continuità limite in due variabili arctg e modulo

[m45511]

Salve, c'è questo esercizio che mi sta facendo impazzire.
Non riesco a trovare le restrizioni sulla rette, nemmeno le coordinate polari mi aiutano.

Stabile se in (0,0) la funzione è continua, derivabile in ogni direzione, differenziambile.

$f(x,y)={ ( (|x|y)/(|y|+|arctgx|) se (x,y)!=(0,0) ),(0se(x,y)=(0,0)):}$

Ho provato la restrizione sulle rette ma non ne esco.
Con le coordinate polari posso tirare fuori dal modulo $rho$ ma non si semplifica niente.
Per trovare direttamente una maggiorazione, mi viene in mente che $-pi/2<=arctg(x)<=pi/2$

Ho provato ad incastrare le cose:
$(|x|y)/(|y|-pi/2) <=(|x|y)/(|y|+|arctgx|)<=(|x|y)/(|y|+(pi/2)) $
Che dovrebbe fare $0$, ma questo ragionamento non mi convince affatto.
Aiuto perfavore!
Grazie

[dan952]

Prova questa disuguaglianza:
$\frac{|x||y|}{|x|+|y|} \leq \frac{|x|+|y|}{4}$

[m45511]

"dan95":Prova questa disuguaglianza:
$\frac{|x||y|}{|x|+|y|} \leq \frac{|x|+|y|}{4}$

Scusa la domanda, ma l'arctg dove è finita?
Come hai fatto a impostare quella maggiorazione?
Grazie per il tuo aiuto!

[dan952]

1) In un intorno di 0 $\arctg x ~ x$.
2) La maggiorazione deriva da una ben nota tra due medie...

[m45511]

Riguardo al punto 1) sei sicuro che possiamo usarea stima asintotica in presenza della somma?
Non ricordo la dimostrazione, ma ricordo che in questo caso non potevo

[dan952]

Nell'incertezza usa la stessa disequazione con $\arctan x$, cioè
$\frac{|\arctan(x)||y|}{|\arctan(x)|+|y|} \leq \frac{|\arctan(x)|+|y|}{4}$