[ANALISI 2] Continuità limite in due variabili

[m45511]

Salve, devo dimostrare la continuità di questa funzione in $(0,0)$ sapendo che in $f(0,0)=1$
$f(x,y)=(x^2+sin(2x^3)+y^2)/(x^2+y^2)$

Quindi faccio:
$lim_(x,y ->0,0 ) (x^2+sin(2x^3)+y^2)/(x^2+y^2)$
Se il limite esce 1, allora f(x,y) è continua in (0,0).

Ho pensato che $-1<=sinx<=+1$ quindi posso scrivere:

$ (x^2-1+y^2)/(x^2+y^2)<=(x^2+sin(2x^3)+y^2)/(x^2+y^2)<=(x^2+1+y^2)/(x^2+y^2) $

Ma studiando le due funzioni "carabinieri" con le coordinate polari, il risultato non esce 1, quindi ho dedotto che non fosse continua. Però se metto il limite su wolfalpha, il calcolatore mi dice che il limite è effettivamente 1.
Qualcuno può aiutarmi? Non so più come procedere.
Grazie.

[lorenzom971]

Ciao,
è il modo con cui cerchi di applicare il teorema dei carabinieri che imo non ha senso, lo avrebbe solo se x tendesse all'infinito. In quel caso avrebbe senso creare le due funzioni carabiniere massimizzando e minimizzando il seno, ma in questo caso non ce l'ha, in quanto se x tende a 0 anche il seno tende univocamente a 0, quindi non ha senso massimizzarlo\minimizzarlo levandolo dalla funzione.
E' come cercare di risolvere $lim_(x->0) (sinx)/(x)$ osservando che:

$-(1)/(x)<=(sinx)/(x)<=(1)/(x)$


Forse ti aiuterebbe far diventare il limite: $1 + lim_(x,y ->0,0 ) (sin(2x^3))/(x^2+y^2)$
e dimostrare che $lim_(x,y ->0,0 ) (sin(2x^3))/(x^2+y^2)=0$

[m45511]

"lorenzom97":Ciao,
è il modo con cui cerchi di applicare il teorema dei carabinieri che imo non ha senso, lo avrebbe solo se x tendesse all'infinito. In quel caso avrebbe senso creare le due funzioni carabiniere massimizzando e minimizzando il seno, ma in questo caso non ce l'ha, in quanto se x tende a 0 anche il seno tende univocamente a 0, quindi non ha senso massimizzarlo\minimizzarlo levandolo dalla funzione.
E' come cercare di risolvere $lim_(x->0) (sinx)/(x)$ osservando che:

$-(1)/(x)<=(sinx)/(x)<=(1)/(x)$


Forse ti aiuterebbe far diventare il limite: $1 + lim_(x,y ->0,0 ) (sin(2x^3))/(x^2+y^2)$
e dimostrare che $lim_(x,y ->0,0 ) (sin(2x^3))/(x^2+y^2)=0$

Grazie sei stato molto esaustivo e mi hai chiarito le idee.
Scrivo la soluzione nel caso qualcuno leggesse questo post:

$lim_(x,y ->0,0 ) (x^2+sin2x^3+y^2)/(x^2+y^2) = (x^2+y^2)/(x^2+y^2)+(sin2x^3)/(x^2+y^2) =1+(sin2x^3)/(x^2+y^2)$

Adesso nel limite:
$lim_(x,y ->0,0 ) (sin2x^3)/(x^2+y^2) $
Applico la stima asitotica per $ x->0 sinx~ x$ quindi il limite diventa:
$lim_(x,y ->0,0 ) (2x^3)/(x^2+y^2) $
Passando a coordinate polari, si dimostra immediatamente che $->0$.
Quindi il limite esiste e fa 1.
Grazie per l'aiuto.

[m45511]

Ne metto un altro che è risolvibile con lo stesso ragionamento.
Quando puoi, fammi sapere se è giusto.

$lim_(x,y -> 0,0) (arcsinxy-y^2)/(sqrt(x^2+y^2)) =lim_(x,y -> 0,0) (arcsinxy)/sqrt(x^2+y^2)- lim_(x,y -> 0,0) (y^2)/sqrt(x^2+y^2) $

ma $(arcsinxy) ~ xy $ per $x->0 $

Quindi il limite diventa:
$lim_(x,y -> 0,0) (xy)/sqrt(x^2+y^2)- lim_(x,y -> 0,0) (y^2)/sqrt(x^2+y^2) $

Passando alle coordinate polari, si nota immediatamente che il limite è 0.