Analisi 2: continuità, derivate parziali, differenziabilità
Buon pomeriggio a tutti. Mi trovo ad affrontare un esercizio che, al contrario di altri, mi sta veramente dando delle grane, mi sento davvero incapace!
L'esercizio è il seguente: si ha la funzione
\[ f(x, y) = \begin{cases} x & y < x^3 \\ y & y \geq x^3 \end{cases} \]
Mi viene chiesto di determinare i punti in cui $f$ è continua, i punti in cui esistono le derivate parziali e i punti in cui è differenziabile.
Ora, io ho capito un po' com'è il grafico: sono due piani che vengono tagliati dalla curva $y = x^3$. In questo modo avevo pensato che $f$ fosse continua in tutti i punti della forma $(p, p^3)$, ma così non è perché ragionando meglio ho capito che la funzione è continua quanto $y = x$ e $y = x^3$, ossia per $x^3 = x$ che ha solo tre soluzioni: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, -1)$.
Tuttavia mi vine da chiedere se ci siano altri punti che non ho considerato (e che non vedo...). Come faccio a dimostrare che non ce ne sono altri, ammesso che non ce ne siano?
Per quanto riguarda i punti in cui le derivate parziali esistono, mi trovo bloccato perché so che esistono funzioni non continue in un punto ma che ammettono derivate parziali in quel punto... Ho provato col rapporto incrementale ma non ne vengo a capo.
Il punto sulla differenziabilità, se ho capito bene, dovrebbe invece essere "gratis" una volta che ho trovato i punti in cui $f$ è sia continua sia derivabile (ossia dove ammette derivate parziali), giusto?
Chiedo scusa per tutto questo trambusto, ma questo esercizio mi ha messo in crisi. Sono due giorni che ci sbatto la testa e non ne vengo fuori. Grazie a tutti!!
L'esercizio è il seguente: si ha la funzione
\[ f(x, y) = \begin{cases} x & y < x^3 \\ y & y \geq x^3 \end{cases} \]
Mi viene chiesto di determinare i punti in cui $f$ è continua, i punti in cui esistono le derivate parziali e i punti in cui è differenziabile.
Ora, io ho capito un po' com'è il grafico: sono due piani che vengono tagliati dalla curva $y = x^3$. In questo modo avevo pensato che $f$ fosse continua in tutti i punti della forma $(p, p^3)$, ma così non è perché ragionando meglio ho capito che la funzione è continua quanto $y = x$ e $y = x^3$, ossia per $x^3 = x$ che ha solo tre soluzioni: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, -1)$.
Tuttavia mi vine da chiedere se ci siano altri punti che non ho considerato (e che non vedo...). Come faccio a dimostrare che non ce ne sono altri, ammesso che non ce ne siano?
Per quanto riguarda i punti in cui le derivate parziali esistono, mi trovo bloccato perché so che esistono funzioni non continue in un punto ma che ammettono derivate parziali in quel punto... Ho provato col rapporto incrementale ma non ne vengo a capo.
Il punto sulla differenziabilità, se ho capito bene, dovrebbe invece essere "gratis" una volta che ho trovato i punti in cui $f$ è sia continua sia derivabile (ossia dove ammette derivate parziali), giusto?
Chiedo scusa per tutto questo trambusto, ma questo esercizio mi ha messo in crisi. Sono due giorni che ci sbatto la testa e non ne vengo fuori. Grazie a tutti!!
Risposte
Hai fatto la stessa domanda qua e ti ha risposto estesamente gugo82. Hai qualche dubbio sulla sua risposta?
"Mephlip":
Hai fatto la stessa domanda qua e ti ha risposto estesamente gugo82. Hai qualche dubbio sulla sua risposta?
Guarda ti rispondo con la più totale ingenuità: mi ero completamente dimenticato di aver già chiesto questo esercizio. Avevo abbandonato l'esame per un po' (lo voglio dare a Settembre), e non ricordavo proprio! Che figura haha, grazie e scusa!!
Scusate ma come si cancella una domanda?? Non trovo il tasto elimina
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