Analisi 2: Campo conservativo e potenziale
Salve ragazzi.
Dalla definizione praticamente: la forma differenziale associata a $ F(x) $ definita in un aperto incluso in $ R^n $ è esatta se esiste una funzione tale che $ F(x)=grad f(x) $ in tal caso il campo è appunto conservativo e la f è detta potenziale. .
In un esercizio verificata la condizione che $ F(x) $ era irrotazionale abbiamo visto che l'insieme a cui ci riferivamo $ R^2//{0} $ non era semplicemente connesso e il professore ha continuato nel calcolo del potenziale.
Se il campo è irrotazionale e l'insieme semplicemente connesso il campo è conservativo. Se nego il fatto che l'insieme è semplicemente connesso, il campo può essere sempre conservativo quindi?
Dalla definizione praticamente: la forma differenziale associata a $ F(x) $ definita in un aperto incluso in $ R^n $ è esatta se esiste una funzione tale che $ F(x)=grad f(x) $ in tal caso il campo è appunto conservativo e la f è detta potenziale. .
In un esercizio verificata la condizione che $ F(x) $ era irrotazionale abbiamo visto che l'insieme a cui ci riferivamo $ R^2//{0} $ non era semplicemente connesso e il professore ha continuato nel calcolo del potenziale.
Se il campo è irrotazionale e l'insieme semplicemente connesso il campo è conservativo. Se nego il fatto che l'insieme è semplicemente connesso, il campo può essere sempre conservativo quindi?
Risposte
Chiaramente no. Ci sono campi non irrotazionali (forme non chiuse). E su un dominio non semplicemente connesso una forma chiusa può non essere esatta (prendi l'esempio classico, dt nel piano di coordinate polari (r, t)).
Grazie!
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