Analisi 2
qualcuno mi può dire come risolvere il seguente esercizio?
data f:R^3----R^2 definita da
f(x,y,z)=(x^2cosy,z^2-y^2)
calcolare f'(1,2,3)(3,2,1)
Grazie!
data f:R^3----R^2 definita da
f(x,y,z)=(x^2cosy,z^2-y^2)
calcolare f'(1,2,3)(3,2,1)
Grazie!
Risposte
Semplicemente derivi la f (entrambe le componenti) rispetto alle tre variabili (ottenendo così f' che è una matrice) e poi sostituisci i valori nell'espressione di f'.
Immagino siano da calcolare f'(1,2,3) e f'(3,2,1) perchè altrimenti non vedo il senso di quella scrittura.
Immagino siano da calcolare f'(1,2,3) e f'(3,2,1) perchè altrimenti non vedo il senso di quella scrittura.
calcolare f'(1,2,3)(3,2,1)
Mi pare di capire che devi calcolare la derivata direzionale rispetto al vettore $(3,2,1)$ nel punto $(1,2,3)$.
Per farlo puoi alternativamente
1) applicare la definizione, cioè considerare $g(t)=f(1+3t,2+2t,3+t)$ e calcolare $g'(0)$
2) calcolare la matrice jacobiana di $f$ nel punto $(1,2,3)$ e applicarla al vettore $(3,2,1)$
Vediamo in dettaglio il secondo metodo (che ti consentirebbe di calcolare le derivate direzionali rispetto a un
QUALUNQUE vettore). Se $f(x,y,z)=(x^2\cos(y),z^2-y^2)$ si ha:
${\partial f}/{\partial x}(x,y,z)=(2x\cos(y),0)$ e quindi ${\partial f}/{\partial x}(1,2,3)=(2\cos(2),0)$
${\partial f}/{\partial y}(x,y.z)=(-x^2sin(y),-2y)$ e quindi ${\partial f}/{\partial y}(1,2,3)=(-\sin(2),-4)$
${\partial f}/{\partial z}(x,y.z)=(0,2z)$ e quindi ${\partial f}/{\partial z}(1,2,3)=(0,6)$
La matrice jacobiana di $f$ in $(1,2,3)$ è allora $((2\cos(2),-\sin(2),0),(0,-4,6))$ che applicata a $(3,2,1)$
(a rigore i vettori andrebbero in colonna ...) dà $(6\cos(2)-2\sin(2),-2)$, che è ciò che dovevi calcolare.
Puoi provare a verificare se il metodo (1) porta allo stesso risultato ( se no c'è un errore nei miei conti ...)
Grazie mille per aver postato il procedimento in modo cosi chiaro, ho capito finalmente come si svolge!
HO un dubbio di procedimento di altro tipo e riguarda lo sviluppo di Taylor fino al secondo ordine di f(x,y)=y^2/2 + arctg(xy), come lo calcolo attorno al punto (0,0)?
HO un dubbio di procedimento di altro tipo e riguarda lo sviluppo di Taylor fino al secondo ordine di f(x,y)=y^2/2 + arctg(xy), come lo calcolo attorno al punto (0,0)?
Abbiamo $f(x,y)=y^2/2 + arctg(xy)$
Dobbiamo calcolare gradiente e matrice hessiana di $f$ in $(0,00)$.
${\partial f}/{\partial x}(x,y)=y/{1+x^2y^2}$ e quindi ${\partial f}/{\partial x}(0,0)=0$
${\partial f}/{\partial y}(x,y)=y+x/{1+x^2y^2}$ e quindi ${\partial f}/{\partial y}(0,0)=0$
${\partial^2 f}/{\partial x^2}(x,y)={-y^3}/{(1+x^2y^2)^2}$ e quindi ${\partial^2 f}/{\partial x^2}(0,0)=0$
${\partial^2 f}/{\partial y^2}(x,y)=1+{-x^3}/{(1+x^2y^2)^2}$ e quindi ${\partial^2 f}/{\partial y^2}(0,0)=1$
${\partial^2 f}/{\partial x \partial y}(x,y)={1-x^2y^2}/{(1+x^2y^2)^2}$ e quindi ${\partial^2 f}/{\partial x \partial y}(0,0)=1$
e per il teorema di Schwartz ${\partial^2 f}/{\partial x \partial y}(x,y)={\partial^2 f}/{\partial y \partial x}(x,y)$.
Dunque il gradiente $\nabla f(0,0)$ è nullo, mentre la matrice hessiana $H_{f}(0,0)$ è $((0,1),(1,1))$.
Lo sviluppo di Taylor dà allora:
$f(x,y)=f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot ((x),(y))+(x,y)H_{f}(0,0)((x),(y))+o(x^2+y^2)=0+0+2xy+y^2+o(x^2+y^2)=2xy+y^2+o(x^2+y^2)$
Se non ho fatto errori ...
Dobbiamo calcolare gradiente e matrice hessiana di $f$ in $(0,00)$.
${\partial f}/{\partial x}(x,y)=y/{1+x^2y^2}$ e quindi ${\partial f}/{\partial x}(0,0)=0$
${\partial f}/{\partial y}(x,y)=y+x/{1+x^2y^2}$ e quindi ${\partial f}/{\partial y}(0,0)=0$
${\partial^2 f}/{\partial x^2}(x,y)={-y^3}/{(1+x^2y^2)^2}$ e quindi ${\partial^2 f}/{\partial x^2}(0,0)=0$
${\partial^2 f}/{\partial y^2}(x,y)=1+{-x^3}/{(1+x^2y^2)^2}$ e quindi ${\partial^2 f}/{\partial y^2}(0,0)=1$
${\partial^2 f}/{\partial x \partial y}(x,y)={1-x^2y^2}/{(1+x^2y^2)^2}$ e quindi ${\partial^2 f}/{\partial x \partial y}(0,0)=1$
e per il teorema di Schwartz ${\partial^2 f}/{\partial x \partial y}(x,y)={\partial^2 f}/{\partial y \partial x}(x,y)$.
Dunque il gradiente $\nabla f(0,0)$ è nullo, mentre la matrice hessiana $H_{f}(0,0)$ è $((0,1),(1,1))$.
Lo sviluppo di Taylor dà allora:
$f(x,y)=f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot ((x),(y))+(x,y)H_{f}(0,0)((x),(y))+o(x^2+y^2)=0+0+2xy+y^2+o(x^2+y^2)=2xy+y^2+o(x^2+y^2)$
Se non ho fatto errori ...
Forse c'è un errore nella derivata seconda di f rispetto a x e y, ma il risultato è lo stesso! Grazie!
o(x^2+y^2) è il resto (Peano o Lagrange?) giusto? Cosa indica?
o(x^2+y^2) è il resto (Peano o Lagrange?) giusto? Cosa indica?
E' il resto di Peano.
Se tu scrivessi
$f(x,y)=2xy+y^2$
ovviamente scriveresti qualcosa di falso ($=$ vuol dire uguale
).
No, mi dirai tu, io scrivo:
$f(x,y)\approx 2xy+y^2$
ma questo cosa vuol dire? (in realtà ci sono modi essenzialmente diversi di "approssimare" una funzione).
Il buon Peano ti dice che lo scarto tra $f(x,y)$ e $2xy+y^2$ "va a zero piu' rapidamente di $||(x,y)||^2$" - in simboli:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}{f(x,y)-2xy-y^2}/{||(x,y)||^2}=0$
che si puo' riassumere nella scrittura
$f(x,y)-2xy-y^2=o(||(x,y)||^2)$ $=o(x^2+y^2)$
Mi pare che
${\partial^2 f}/{\partial y\partial x}(x,y)={\partial}/{\partial y} \frac{y}{1+x^2y^2}=\frac{ 1+x^2y^2 - y(x^2 2y) }{(1+x^2y^2)^2}$
$=\frac{1-x^2y^2}{ (1+x^2y^2)^2}$
(comunque non è importante)
Se tu scrivessi
$f(x,y)=2xy+y^2$
ovviamente scriveresti qualcosa di falso ($=$ vuol dire uguale
).No, mi dirai tu, io scrivo:
$f(x,y)\approx 2xy+y^2$
ma questo cosa vuol dire? (in realtà ci sono modi essenzialmente diversi di "approssimare" una funzione).
Il buon Peano ti dice che lo scarto tra $f(x,y)$ e $2xy+y^2$ "va a zero piu' rapidamente di $||(x,y)||^2$" - in simboli:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}{f(x,y)-2xy-y^2}/{||(x,y)||^2}=0$
che si puo' riassumere nella scrittura
$f(x,y)-2xy-y^2=o(||(x,y)||^2)$ $=o(x^2+y^2)$
Forse c'è un errore nella derivata seconda di f rispetto a x e y,
Mi pare che
${\partial^2 f}/{\partial y\partial x}(x,y)={\partial}/{\partial y} \frac{y}{1+x^2y^2}=\frac{ 1+x^2y^2 - y(x^2 2y) }{(1+x^2y^2)^2}$
$=\frac{1-x^2y^2}{ (1+x^2y^2)^2}$
(comunque non è importante)
Qualcuno mi dice come risolvere il seguente doppio integrale?
Sia A={(x,y) in R^2 : x^2+y^2<=1}
Si calcoli int(xy^2-x^2y+x^3y+y^2) dxdy
Come si svolge? Grazie!
Sia A={(x,y) in R^2 : x^2+y^2<=1}
Si calcoli int(xy^2-x^2y+x^3y+y^2) dxdy
Come si svolge? Grazie!
Io farei così (usando tutti i "trucchi" che mi vengono in mente).
Se chiamiamo $=\{x^2+y^2\leq 1\}$ possiamo notare che, per le varie simmetrie
$\int\int_D x y^2 dx dy=\int_{-1}^{1}(y^2\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}x dx)dy=\int_{-1}^{1}0dy=0$
$\int\int_D (-x^2 y+x^3y)dx dy=\int_{-1}^{1}((x^3-x^2)\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}y dy)dx=\int_{-1}^{1}0dx=0$
mentre
$\int\int_D y^2 dx dy=\int_{-1}^{1}(y^2\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} dx)dy=2\int_{-1}^{1}y^2\sqrt{1-y^2}dy=4\int_{0}^{1}y^2\sqrt{1-y^2}dy$
Quest'ultimo si dovrebbe riuscire a fare con un po' di pazienza - ora non ho tempo, magari ci ritorno stasera.
Se chiamiamo $=\{x^2+y^2\leq 1\}$ possiamo notare che, per le varie simmetrie
$\int\int_D x y^2 dx dy=\int_{-1}^{1}(y^2\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}x dx)dy=\int_{-1}^{1}0dy=0$
$\int\int_D (-x^2 y+x^3y)dx dy=\int_{-1}^{1}((x^3-x^2)\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}y dy)dx=\int_{-1}^{1}0dx=0$
mentre
$\int\int_D y^2 dx dy=\int_{-1}^{1}(y^2\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} dx)dy=2\int_{-1}^{1}y^2\sqrt{1-y^2}dy=4\int_{0}^{1}y^2\sqrt{1-y^2}dy$
Quest'ultimo si dovrebbe riuscire a fare con un po' di pazienza - ora non ho tempo, magari ci ritorno stasera.
HO una domandina su un integrale che ha per estremi 0 e infinito:
int(arcsin(x/x+1)/(1+x^3)^2a) a reale.
Se a=0 il limite della funzione integranda tendente a piu infinito vale pgreco/2; nelle soluzioni c'è scritto che per questo motivo non è integrabile, perchè?
Per quanto riguarda il doppio integrale precedente, non riesco a risolvere l'ultimo integrale; come hai trovato gli estremi di integrazione rad(1-y^2) e -rad(1-y^2) ?
int(arcsin(x/x+1)/(1+x^3)^2a) a reale.
Se a=0 il limite della funzione integranda tendente a piu infinito vale pgreco/2; nelle soluzioni c'è scritto che per questo motivo non è integrabile, perchè?
Per quanto riguarda il doppio integrale precedente, non riesco a risolvere l'ultimo integrale; come hai trovato gli estremi di integrazione rad(1-y^2) e -rad(1-y^2) ?
Se a=0 il limite della funzione integranda tendente a piu infinito vale pgreco/2; nelle soluzioni c'è scritto che per questo motivo non è integrabile, perchè?
Beh se una funzione ammette limite per $x\to+\infty$ e questo limite è maggiore strettamente di zero, allora l'integrale tra zero e più infinito
risulta positivamente divergente - questo si può dimostrare, ma è anche abbastanza intuitivo visto che in questa situazione il sottografico
della funzione contiene un rettamgolo di altezza positiva e di base infinita.
Per quanto riguarda l'ultimo integrale, per arrivare alla formula che ho scritto bisogna notare che
$D={(x,y) : -1\leq y\leq 1, -\sqrt{1-y^2}\leq x\leq \sqrt{1-y^2})}$ e fare gli integrali iterati.
In effetti $\int_0^1y^2\sqrt{1-y^2} dy$ non è proprio immediato. Ti propongo uno svolgimento (controlla i calcoli),
Usando la sostituzione $y=\sin(t)$ l'integrale si trasforma in
$\int_0^{\pi/2]\sin^2(t)\cos^2(t) dt=\frac{1}{4}\int_0^{\pi/2]\sin^2(2t) dt=\frac{1}{8}\int_0^{\pi/2}(1-\cos(4t))dt=\frac{\pi}{16}$
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