Analisi 2
Mi date qualche suggerimento per questo esercizio?
Far vedere che la funzione da $RR^2$ in $RR$ sotto definita non è differenziabile nel punto $(0,0)^T$.
$f(x,y)=\frac{x-\sinx}{x^2+y^2}+\arcsin(x^2+y^2)$
$f(0,0)=0$
Applicando la definizione di derivata parziale, trovo che $\nablaf(0,0)=(0,0)^T$.
Devo allora calcolare:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-\sinx}{(x^2+y^2)*\sqrt(x^2+y^2)}+\frac{\arcsin(x^2+y^2)}{\sqrt(x^2+y^2)}$. Ora il primo addendo tende a zero poichè $x$ e $\sinx$ hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Per lo stesso motivo, nel secondo addendo posso sostituire $\arcsin(x^2+y^2)$ con $x^2+y^2$, quindi tende tutto a zero e la funzione è differenziabile nel punto in esame.
Dove sbaglio?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Far vedere che la funzione da $RR^2$ in $RR$ sotto definita non è differenziabile nel punto $(0,0)^T$.
$f(x,y)=\frac{x-\sinx}{x^2+y^2}+\arcsin(x^2+y^2)$
$f(0,0)=0$
Applicando la definizione di derivata parziale, trovo che $\nablaf(0,0)=(0,0)^T$.
Devo allora calcolare:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-\sinx}{(x^2+y^2)*\sqrt(x^2+y^2)}+\frac{\arcsin(x^2+y^2)}{\sqrt(x^2+y^2)}$. Ora il primo addendo tende a zero poichè $x$ e $\sinx$ hanno lo stesso ordine di infinitesimo. Per lo stesso motivo, nel secondo addendo posso sostituire $\arcsin(x^2+y^2)$ con $x^2+y^2$, quindi tende tutto a zero e la funzione è differenziabile nel punto in esame.
Dove sbaglio?
Risposte
Se non sbaglio se la funzione è differenziabile in $(x,y)$ allora è anche continua...Non ricordo se facendo vedere che in quel punto non è continua puoi affermare che non è differenziabile....
C'è anche il teorema del Differenziale che dice se le derivate parziali della funzione sono continue in $(x,y)$ f è differenziabile in $(x,y)$
C'è anche il teorema del Differenziale che dice se le derivate parziali della funzione sono continue in $(x,y)$ f è differenziabile in $(x,y)$
La funzione è sicuramente continua in $(0,0)^T$ (basta calcolare il limite di $f(x,y)$ per $(x,y)\to(0,0)$: è 0).
Comunque il metodo che ho seguito è quello standard, quindi devo aver commesso qualche errore.
Comunque il metodo che ho seguito è quello standard, quindi devo aver commesso qualche errore.
Ora non ricordo ma la procedura se non sbaglio è
a) far vedere che f è derivabile in (x,y) cioè esiste il gradiente
b) verificare che vale la condizione sul limite
$lim_((h,k)to(0,0))(f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
a) far vedere che f è derivabile in (x,y) cioè esiste il gradiente
b) verificare che vale la condizione sul limite
$lim_((h,k)to(0,0))(f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$
E' sbagliato il calcolo del limite del primo addendo.
Sostituendo $x=rcos\theta$ si ottiene $lim_(r->0)(rcos\theta-sin(rcos\theta))/(r^3)=(cos^3(\theta))/6$.
Sostituendo $x=rcos\theta$ si ottiene $lim_(r->0)(rcos\theta-sin(rcos\theta))/(r^3)=(cos^3(\theta))/6$.
Non usate le coordinate polari: non le abbiamo ancora fatte 
Quindi l'errore starebbe nel calcolo di:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-\sinx}{(x^2+y^2)*\sqrt(x^2+y^2)}$.
Io ho usato il fatto che:
$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$, sostituendo $\sinx$ con $x$. Dove sbaglio?
Quindi l'errore starebbe nel calcolo di:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-\sinx}{(x^2+y^2)*\sqrt(x^2+y^2)}$.
Io ho usato il fatto che:
$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$, sostituendo $\sinx$ con $x$. Dove sbaglio?
Quello che tu stai facendo è avvicinarti all'origine sull'asse $y=0$, basta scegliere un altro percorso come ad esempio $y=x$ per ottenere come limite $1/(12\sqrt(2))$. Dal momento che otteniamo due valori diversi concludiamo che questo limite non esiste, quindi la funzione non è differenziabile. Usare le coordinate polari è semplicemente un modo per verificare se il limite esiste indipendentemente da come ci muoviamo.
Continuo a non capire.Nel limite $\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$ la variabile $y$ non compare.
Mi riferisco al limite sopra, quello di due variabili.
Non capisco perchè vuoi utilizzare quel limite noto per la variabile $x$, dal momento che devi preoccuparti anche del modo in cui la variabile $y$ va a zero.
Come ti dicevo se consideri i due percorsi $y=0$ e $y=x$ ti riduci al calcolo del limite di una variabile, che puoi fare agevolmente ottenendo due risultati diversi.
Per avere l'esistenza di un limite di una funzione di due variabili devi ottenere lo stesso risultato indipendentemente dal percorso scelto, come per i limiti destri e sinistri nel caso di una funzione di una variabile.
Non capisco perchè vuoi utilizzare quel limite noto per la variabile $x$, dal momento che devi preoccuparti anche del modo in cui la variabile $y$ va a zero.
Come ti dicevo se consideri i due percorsi $y=0$ e $y=x$ ti riduci al calcolo del limite di una variabile, che puoi fare agevolmente ottenendo due risultati diversi.
Per avere l'esistenza di un limite di una funzione di due variabili devi ottenere lo stesso risultato indipendentemente dal percorso scelto, come per i limiti destri e sinistri nel caso di una funzione di una variabile.
Ok, credo di aver capito abbastanza... Grazie per l'aiuto.
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