[Analisi 1] Serve proprio uno studio di funzione?

[giuscri]

Determinare la cardinalità dell'insieme:

$A = {x \in [0,pi] : (x^2 - 3) * cos(x) - 2(x) * sin(x) + 4 = 0}$[/list:u:17ci6r2a]

Tentativo di svolgimento:

è necessario uno studio di funzione? E se sì, cosa vado a studiare in quell'intervallo così "piccolo"?

Avevo provare a risolvere l'esercizio pensando al numero di radici di


$(x^2 - 3) * cos(x) = 2(x) * sin(x) - 4$,[/list:u:17ci6r2a]

disegnando i due grafici, un po' ad occhio, e un po' pensando che non sono altro che


$f(x) = x^2$
$g(x) = 2x$[/list:u:17ci6r2a]

opportunamente modulate da funzioni trigonometriche e traslate.

La questione è che il disegno m'è anche venuto più o meno azzeccato, ma poi che faccio?

Ho provato a fare qualche calcoletto* sulla pendenza delle due curve, ma non sapevo nemmeno io cosa volevo tirare fuori: ho trovato che le due funzioni hanno la stessa pendenza poco prima di $pi/2$. Mmm..

[size=85]* = vedi spoiler[/size]


$D[(x^2 - 3) * cos(x)] = D[2(x) * sin(x) - 4]$

$2x * cos(x) - (x^2 - 3) * sin(x) = 2 * sin(x) + 2x * cos(x)$

$sin(x) = (x^2 - 1)$

[lordb]

La soluzione è $1$ giusto ?

[giuscri]

Non ho la soluzione purtroppo.

EDIT: essere davanti ad un computer e scrivere di non avere la soluzione è degno del più povero possessore di sinapsi. Comunque sì: plottando trovo che #A = 1. Questo non significa che non sia interessato a quanto scritto sotto.

Come ci sei arrivato? Puoi darmi qualche suggerimento?

[lordb]

Studia la monotonia della funzione (crescenza/decrescenza), tròvati i punti di massimo e minimo relativo e poi usa ad hoc il teorema degli zeri.

[giuscri]

"lordb":Studia la monotonia della funzione (crescenza/decrescenza), tròvati i punti di massimo e minimo relativo e poi usa ad hoc il teorema degli zeri.

Mi ero distratto per un paio di giorni. Ora sto riprovando.

Penso di aver capito quello che mi dici tu. Vado a trovarmi massimi e minimi della funzione, sostituisco nelle loro espressioni e trovo le quote degli estremanti; da lì dovrei dedurre tutto.

Eppure faccio ancora molta fatica:

sia $f(x) = (x^2 - 3) * cos(x)$. La sua derivata è $f'(x) = 2x * cos(x) - (x^2 - 3) (sinx)$.

Volendo studiare il segno della derivata, come risolvo?

Analiticamente? Non credo. Però anche graficamente è un bel casino, a meno che non mi perda da qualche parte.

[Plepp]

"giuscri":
Volendo studiare il segno della derivata, come risolvo?

La derivata è $f'(x)=(1-x^2)\sin x$, probabilmente ti aspettavi qualcosa di peggio dovrebbe essere semplice...

Si può iniziare con l'osservare che $f(x) : = (x^2-3)\cos x+2x\sin x+4$ è continua in $I : =[0,\pi]$, e pertanto, dal momento che $f(0)\cdot f(\pi)<0$, $f$ si annulla almeno una volta in $I$ (Teorema degli zeri), ovvero $\text{card}A\ge 1$.
Dallo studio del segno di $f'(x)$, si conclude che $f$ è crescente in $(0,1)$ e decrescente in $(1,\pi)$; inoltre, $f(0)=1>0$, per cui... concludi tu

@Lordb: Ciao a cosa ti sono serviti i max/min?

[lordb]

Allora consideriamo la funzione:

$f:[0,pi]->RR,x->(x^2 - 3) * cos(x) - 2(x) * sin(x) + 4$

calcoliamo la derivata:

$f':[0,pi]->RR,x->-(-1+x^2) sin(x)$

Studiamo il segno della derivata prima per determinare la monotonia:

$[sin(x)|_[0,pi]]>=0 =>f'>=0 <=> 1-x^2>=0$ cioè $0<=x<=1$

Dunque: $M(uparrow)=[0,1]$ e $M(downarrow)=[1,pi]$

Valutiamo la funzione nei punti:

$x_1=0->f(x_1)=0$
$x_2=1->f(x_2)~=1.24$
$x_3=pi->f(x_3)~=-2.87$

Dal momento che $f(x_1)=0$ e $f(x_2)~=1.24$ e la funzione è crescente nell'intervallo $[0,1]$ non ha zeri in quell'intervallo.

Vediamo in $[1,pi]=[x_2,x_3]$, poichè:

$f$ è continua in $[x_2,x_3]$,$x_20 ^^ f(x_3)<0$,$f$ decrescente in $[x_2,x_3]$,allora:

$EE! xi in (x_2,x_3) | f(xi)=0$

Edit:

@Plepp
Ciao Bhè mi interessava che dopo lo studio del segno della derivata prima ponesse l'attenzione su $x_2=1$.

[Plepp]

"lordb":
@Plepp
Ciao Bhè mi interessava che dopo lo studio del segno della derivata prima ponesse l'attenzione su $x_2=1$.

Si, mi è stato chiaro dopo aver letto il tuo ultimo post

[giuscri]

Ok, sono molto imbarazzato a questo punto. M'ero perso con il voler studiare $f$ e $g$ a tutti i costi (vedi post sopra) e non riuscivo ad uscirne decentemente. Vi ringrazio moltissimo per il tempo che mi avete dedicato!

Ciao a tutti e due!

[lordb]

Di niente, ciao