Analisi 1 Serie
Ciao cercavo aiuto per risolvere questa serie
$sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+ sen(n) +2}{n^3+3n}arctan((n+1)/n)$
Mi sono bloccato sul fatto che a sen n non posso applicare alcun limite notevole(almeno io non ne ho trovati)
L'unica cosa che mi verrebbe da fare in questa serie è mettere in evidenza il grado maggiore così facendo viene 1/n quindi 0
P.s. Scusate se l'esercizio viene scritto male ma è la prima volta che scrivo in questo forum grazie a tutti dell'aiuto
$sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+ sen(n) +2}{n^3+3n}arctan((n+1)/n)$
Mi sono bloccato sul fatto che a sen n non posso applicare alcun limite notevole(almeno io non ne ho trovati)
L'unica cosa che mi verrebbe da fare in questa serie è mettere in evidenza il grado maggiore così facendo viene 1/n quindi 0
P.s. Scusate se l'esercizio viene scritto male ma è la prima volta che scrivo in questo forum grazie a tutti dell'aiuto
Risposte
Allora di $(n^3+sinn+2)/(n^3+3n) $ sai che prevale come hai detto $n^2/n^3$ .. l'arcotangente te lo lasci cosi come sta
e quindi applicando il teorema del confronto asintotico
$lim n->oo n^2/n^3 arctan(n+1)/(n)$
ora lim n->oo (n^2/n^3) è $0$ teorema del confronto tra infiniti.
$lim x->oo arctan(n+1)/(n)$ -------------------> $lim n->oo (n+1)/(n) = 1 $ hanno lo stesso ordine..
$lim n->oo arctan(1)$ quindi tale limite vale $0$
e sai che per il teorema del confronto tale serie è convergente.
Ma se all inizio ti applichi la condizione nec di cauchy gia noti che tale limite ad occhio vale zero.. per cui puoi gia dire condizione necessaria per la non divergenza. ..
La condizione sufficiente sarebbe il criterio.
e quindi applicando il teorema del confronto asintotico
$lim n->oo n^2/n^3 arctan(n+1)/(n)$
ora lim n->oo (n^2/n^3) è $0$ teorema del confronto tra infiniti.
$lim x->oo arctan(n+1)/(n)$ -------------------> $lim n->oo (n+1)/(n) = 1 $ hanno lo stesso ordine..
$lim n->oo arctan(1)$ quindi tale limite vale $0$
e sai che per il teorema del confronto tale serie è convergente.
Ma se all inizio ti applichi la condizione nec di cauchy gia noti che tale limite ad occhio vale zero.. per cui puoi gia dire condizione necessaria per la non divergenza. ..
La condizione sufficiente sarebbe il criterio.
Passaggi sbagliati... Attenzione.
Il limite fa 0 (ci mancherebbe) ma quell'oggetto non è asintotico a 0!
$ sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+ sen(n) +2}{n^3+3n}arctan((n+1)/n) $
Ma applicando il confronto asisntotico se L=0 non si puo dire la serie converge?
"Bremen000":
Il limite fa 0 (ci mancherebbe) ma quell'oggetto non è asintotico a 0!
Ma applicando il confronto asisntotico se L=0 non si puo dire la serie converge?
Grazie a tutti per l'aiuto non mi ricordavo bastasse dire che 1/N prevale su sen(N) così viene e si può dire che converge 
L'errore che dicevano i ragazzi sopra.. che dopo aver applicato il confronto asintotico
resta come detto $ n^2/n^3 $
che è equivalente alla serie 1/n che è Certamente divergente. e quindi in questo caso la condizione nec di caucy salta.
resta come detto $ n^2/n^3 $
che è equivalente alla serie 1/n che è Certamente divergente. e quindi in questo caso la condizione nec di caucy salta.
La serie è asintotica a $1/n$ e quindi chiaramente diverge.
Scusate ragazzi mi ero confuso chiaramente diverge...grazie ancora a tutti dell'aiuto
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