Analisi 1 - Integrali generalizzati con parametro
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di analisi uno e ho avuto un problema nella risoluzione di 2 integrali generalizzati.
Non capisco dove sbaglio.
Premetto che studio su Slides date dalla mia professoressa e è capitato più volte che i risultati presenti sulle slides siano sbagliati. Normalmente uso WolframAlpha per verificare i risultati e/o i procedimenti ma per gli integrali generalizzati non so come implementarli su quell'app.
Il primo integrale è:
$\alpha$ $in$ $RR$
$\int_0^(+\propto)sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)(e^(x^2)-1))dx$ = $\int_0^1sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)(e^(x^2)-1))dx$ + $\int_1^(+\propto)sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)(e^(x^2)-1))dx$
Il secondo è:
$\alpha$ $in$ $RR$ con $\alpha$$\geq$0
$\int_1^(+\propto)(x+1)^(3/2)(e^(1/x^2)-1)^(\alpha)dx$
Per il primo i miei passaggi sono:
Per $x\rightarrow0$
$f(x) ~$ $(sqrt(3)x)/(x^(\alpha+2))$ $=>$ $\alpha+2-1<1$ $=>$ $\alpha<0$
Per $x\rightarrow+\infty$
$f(x) ~$ $sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)e^(x^2)) = k/(x^(\alpha)e^(x^2)$ Converge $\forall\alpha\in\RR$
K=costante compresa tra -1 e 1
$\{(\alpha<0),(\forall\alpha\in\RR):}$
Quindi $\alpha<0$ Mentre la slide mi da come risultato $\alpha<-1/2$
Per il secondo i miei passaggi sono:
Non vi sono punti di discontinuità se non il $+\infty$
Per $x\rightarrow+\infty$
$f(x) ~$ $x^(3/2)e^(\alpha/x^2)$
Dove $\alpha/x^2$ per $x\rightarrow+\infty$ tende 0 quindi $e^(\alpha/x^2)=1$
Di conseguenza rimane $x^(3/2)$ che diverge $\forall\alpha\in\RR$
La slide da come risultato $\alpha<5/4$
sto preparando l'esame di analisi uno e ho avuto un problema nella risoluzione di 2 integrali generalizzati.
Non capisco dove sbaglio.
Premetto che studio su Slides date dalla mia professoressa e è capitato più volte che i risultati presenti sulle slides siano sbagliati. Normalmente uso WolframAlpha per verificare i risultati e/o i procedimenti ma per gli integrali generalizzati non so come implementarli su quell'app.
Il primo integrale è:
$\alpha$ $in$ $RR$
$\int_0^(+\propto)sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)(e^(x^2)-1))dx$ = $\int_0^1sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)(e^(x^2)-1))dx$ + $\int_1^(+\propto)sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)(e^(x^2)-1))dx$
Il secondo è:
$\alpha$ $in$ $RR$ con $\alpha$$\geq$0
$\int_1^(+\propto)(x+1)^(3/2)(e^(1/x^2)-1)^(\alpha)dx$
Per il primo i miei passaggi sono:
Per $x\rightarrow0$
$f(x) ~$ $(sqrt(3)x)/(x^(\alpha+2))$ $=>$ $\alpha+2-1<1$ $=>$ $\alpha<0$
Per $x\rightarrow+\infty$
$f(x) ~$ $sin(sqrt(3)x)/(x^(\alpha)e^(x^2)) = k/(x^(\alpha)e^(x^2)$ Converge $\forall\alpha\in\RR$
K=costante compresa tra -1 e 1
$\{(\alpha<0),(\forall\alpha\in\RR):}$
Quindi $\alpha<0$ Mentre la slide mi da come risultato $\alpha<-1/2$
Per il secondo i miei passaggi sono:
Non vi sono punti di discontinuità se non il $+\infty$
Per $x\rightarrow+\infty$
$f(x) ~$ $x^(3/2)e^(\alpha/x^2)$
Dove $\alpha/x^2$ per $x\rightarrow+\infty$ tende 0 quindi $e^(\alpha/x^2)=1$
Di conseguenza rimane $x^(3/2)$ che diverge $\forall\alpha\in\RR$
La slide da come risultato $\alpha<5/4$
Risposte
Nel primo se l'argomento del seno è $sqrt(3)x$, allora il tuo risultato è corretto, se invece hai scritto male e l'argomento è $sqrt(3x)$ allora è esatto quello delle slide.
Nel secondo sono sbagliati sia il tuo che quella delle slide. Quello delle slide è sbagliato perchè per $alpha=0$ l'integrale diverge, il tuo è sbagliato perché $e^(1/x^2)-1$ è asintotico a $1/x^2$ per x che tende a infinito, quindi il tutto è asintotico a $(1/x^2)^(alpha)=1/x^(2alpha)$
Nel secondo sono sbagliati sia il tuo che quella delle slide. Quello delle slide è sbagliato perchè per $alpha=0$ l'integrale diverge, il tuo è sbagliato perché $e^(1/x^2)-1$ è asintotico a $1/x^2$ per x che tende a infinito, quindi il tutto è asintotico a $(1/x^2)^(alpha)=1/x^(2alpha)$
Ok per il primo quindi è giusto il mio 
ahhahha
Per il secondo l'unica cosa che non capisco è perchè $e^(1/x^2)-1$ per x che tende all'infinito sia asintotico a $(1/x^2)$?
Del resto Grazie davvero! Non riuscivo più a capirci nulla aahah
ahhahhaPer il secondo l'unica cosa che non capisco è perchè $e^(1/x^2)-1$ per x che tende all'infinito sia asintotico a $(1/x^2)$?
Del resto Grazie davvero! Non riuscivo più a capirci nulla aahah
Vulplasir ha sfruttato il limite notevole $ lim_(x -> 0)(e^x-1) /x =1 $ ,da cui si evince che la quantità $e^(1/x^2)-1$ è asintotica a a $1/x^2$ per x che tende a infinito.
Grazie mille! Tutto chiaro 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo