Analisi 1 integrale
Salve a tutti! Ho un dubbio riguardante questo integrale:
$ 1/4*int_(0)^(pi) cosxe^(-i*n*pi/4x) dx $
dove n varia (è il calcolo di una serie di Fourier)
ora nel penultimo passaggio divide ambo i membri per $ 4*(1/4 - 4/(n^2pi^2)) $ da dove è saltato fuori il $ 4$ esterno? Grazie.
$ 1/4*int_(0)^(pi) cosxe^(-i*n*pi/4x) dx $
dove n varia (è il calcolo di una serie di Fourier)
ora nel penultimo passaggio divide ambo i membri per $ 4*(1/4 - 4/(n^2pi^2)) $ da dove è saltato fuori il $ 4$ esterno? Grazie.
Risposte
"w3ns":
Salve a tutti! Ho un dubbio riguardante questo integrale:
$ 1/4*int_(0)^(pi) cosxe^(-i*n*pi/4x) dx $
ora nel penultimo passaggio divide ambo i membri per $ 4*(1/4 - 4/(n^2pi^2)) $ da dove è saltato fuori il $ 4$ esterno? Grazie.
E' stato messo apposta in modo che a sinistra risultasse:
$ 1/4 \int_(0)^(pi) cosxe^(-i*n*pi/4x) dx $
che e' l'integrale da valutare,
altrimenti a sinistra c'era
$ int_(0)^(pi) cosxe^(-i*n*pi/4x) dx $
Ciao w3ns,
Scusa, potresti cortesemente eliminare quella brutta foto dall'OP? A parte che credo che praticamente tutti qui sul forum sappiano usare WolframAlpha, potevi semplicemente postare il link invece della foto: da uno come te che ha superato i 190 messaggi onestamente non me lo aspettavo...
Detto questo, l'integrale proposto è del tipo che puoi vedere anche qui, che per tua maggiore comodità riporto qui di seguito:
$ \int e^{ax} \cos(mx) \text{d}x = \frac{e^{ax}[a \cos(mx) + m\sin(mx)]}{a^2 + m^2} + c $
Nel tuo caso chiaramente $m = 1 $ e $a = - i n \pi/4 $, sicché si ha:
$ \int_0^{\pi} e^{- i n \pi/4 x} cos (x) \text{d}x = [\frac{e^{- i n \pi/4 x}[- i n \pi/4 \cos(x) + \sin (x)]}{- n^2 \pi^2/16 + 1}]_0^{\pi} = $
$ = \frac{16}{16 - \pi^2 n^2} [e^{- i n \pi/4 x}[- i n \pi/4 \cos(x) + \sin (x)]]_0^{\pi} = \frac{16}{16 - \pi^2 n^2} [e^{- i n \pi/4 \pi}[i n \pi/4] + i n \pi/4 ] = $
$ = \frac{4 i n \pi }{16 - \pi^2 n^2} (1 + e^{- i 1/4 \pi^2 n}) = \frac{4 i \pi (1 + e^{- i 1/4 \pi^2 n}) n}{16 - \pi^2 n^2} $
A questo punto dividendo tutto per $4$ si ha proprio
$ 1/4 \int_0^{\pi} e^{- i n \pi/4 x} cos (x) \text{d}x = \frac{i \pi (1 + e^{- i 1/4 \pi^2 n}) n}{16 - \pi^2 n^2} $
che è lo stesso risultato di WolframAlpha.
Scusa, potresti cortesemente eliminare quella brutta foto dall'OP? A parte che credo che praticamente tutti qui sul forum sappiano usare WolframAlpha, potevi semplicemente postare il link invece della foto: da uno come te che ha superato i 190 messaggi onestamente non me lo aspettavo...
Detto questo, l'integrale proposto è del tipo che puoi vedere anche qui, che per tua maggiore comodità riporto qui di seguito:
$ \int e^{ax} \cos(mx) \text{d}x = \frac{e^{ax}[a \cos(mx) + m\sin(mx)]}{a^2 + m^2} + c $
Nel tuo caso chiaramente $m = 1 $ e $a = - i n \pi/4 $, sicché si ha:
$ \int_0^{\pi} e^{- i n \pi/4 x} cos (x) \text{d}x = [\frac{e^{- i n \pi/4 x}[- i n \pi/4 \cos(x) + \sin (x)]}{- n^2 \pi^2/16 + 1}]_0^{\pi} = $
$ = \frac{16}{16 - \pi^2 n^2} [e^{- i n \pi/4 x}[- i n \pi/4 \cos(x) + \sin (x)]]_0^{\pi} = \frac{16}{16 - \pi^2 n^2} [e^{- i n \pi/4 \pi}[i n \pi/4] + i n \pi/4 ] = $
$ = \frac{4 i n \pi }{16 - \pi^2 n^2} (1 + e^{- i 1/4 \pi^2 n}) = \frac{4 i \pi (1 + e^{- i 1/4 \pi^2 n}) n}{16 - \pi^2 n^2} $
A questo punto dividendo tutto per $4$ si ha proprio
$ 1/4 \int_0^{\pi} e^{- i n \pi/4 x} cos (x) \text{d}x = \frac{i \pi (1 + e^{- i 1/4 \pi^2 n}) n}{16 - \pi^2 n^2} $
che è lo stesso risultato di WolframAlpha.
Ok rimosso il brutto screen di WA 
Grazie ad entrambi per le risposte siete stati chiarissimi!
Grazie ad entrambi per le risposte siete stati chiarissimi!
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