Analisi 1 - insiemi e proprietà
Sto riordinando gli appunti di analisi, ma ho un dubbio sulle proprietà degli insiemi. Riporto di seguito il paragrafo:
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Consideriamo un insieme $S$ e una proprietà $\alpha$ (pari, dispari, ecc...). $\alpha$ è definita in $x$ quando, preso qualsiasi $x in S$, risulti che $\alpha$ soddisfi $x$.
ESEMPIO
$S={1,2,3,4,5}$
$\alpha$: $x$ è pari
Questa proprietà è definita in $x$ poichè ci sono 2 numeri pari in $S$.
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E' corretto questo che ho scritto o dovrei apportare delle modifiche?
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Consideriamo un insieme $S$ e una proprietà $\alpha$ (pari, dispari, ecc...). $\alpha$ è definita in $x$ quando, preso qualsiasi $x in S$, risulti che $\alpha$ soddisfi $x$.
ESEMPIO
$S={1,2,3,4,5}$
$\alpha$: $x$ è pari
Questa proprietà è definita in $x$ poichè ci sono 2 numeri pari in $S$.
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E' corretto questo che ho scritto o dovrei apportare delle modifiche?
Risposte
benvenuto nel forum.
non vorrei sbagliarmi, ma mi pare che il definire una proprietà in un insieme non ha nulla a che vedere con il fatto che tale proprietà sia o meno soddisfatta da qualche elemento dell'insieme.
ciao.
non vorrei sbagliarmi, ma mi pare che il definire una proprietà in un insieme non ha nulla a che vedere con il fatto che tale proprietà sia o meno soddisfatta da qualche elemento dell'insieme.
ciao.
Per la verità, anche io sono un po confuso dato che il prof corre come un matto. Però dalla sua spiegazione sono riuscito a capire quello che ho scritto. C'è qualcuno che può aiutarmi, spiegandomelo con un linguaggio elementare?
Ripeto la domanda: qualcuno mi può aiutare, please?
forse la questione è che una proprietà se soddisfatta definisce un sottoinsieme dell'insieme S diverso dall'insieme vuoto.
ps. questo è proprio lo svantaggio di prendere appunti, non si capisce niente di ciò che si sente e si fanno un sacco di errori.
ps. questo è proprio lo svantaggio di prendere appunti, non si capisce niente di ciò che si sente e si fanno un sacco di errori.
C'è stata una discussione in questa sezione in cui abbiamo affrontato questo problema. Non ricordo come si chiamasse, comunque mi pare di poter dire che la definizione sia la seguente (invito gli altri a correggermi qualora sbagliassi).
Una proprietà $\alfa$ è definita in un insieme se "abbia senso" dire, per ogni elemento dell' insieme, che goda o meno della determinata proprietà.
Esempio: l'"essere pari" è una proprietà definita in $NN$, ma non è detto che tutti gli elementi di $NN$ siano divisibili per 8. Però puoi intuire che abbia senso dire una frase del tipo: "7 NON è pari". Viceversa, una proprietà del tipo "è una vocale" non è definita in $NN$: non ha proprio senso dire, ad esempio, che "7 sia una vocale" ma nemmeno avrebbe senso dire che "7 non sia una vocale".
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 32955.html
Qui c'è la discussione di cui ti dicevo prima. In effetti la cosa potrebbe confonderti, anche perchè libri come il mio usano quella dicitura, mentre Megan in questa discussione fa riferimento al concetto di funzione. In ogni caso potresti leggerla lo stesso.
Ciao. Aspetto conforto.
Una proprietà $\alfa$ è definita in un insieme se "abbia senso" dire, per ogni elemento dell' insieme, che goda o meno della determinata proprietà.
Esempio: l'"essere pari" è una proprietà definita in $NN$, ma non è detto che tutti gli elementi di $NN$ siano divisibili per 8. Però puoi intuire che abbia senso dire una frase del tipo: "7 NON è pari". Viceversa, una proprietà del tipo "è una vocale" non è definita in $NN$: non ha proprio senso dire, ad esempio, che "7 sia una vocale" ma nemmeno avrebbe senso dire che "7 non sia una vocale".
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 32955.html
Qui c'è la discussione di cui ti dicevo prima. In effetti la cosa potrebbe confonderti, anche perchè libri come il mio usano quella dicitura, mentre Megan in questa discussione fa riferimento al concetto di funzione. In ogni caso potresti leggerla lo stesso.
Ciao. Aspetto conforto.
La discussione che mi hai citato espone il problema in modo troppo complicato per me, dato che è la prima volta nella mia vita che affronto seriamente questo argomento.
Allora, per vedere se ho capito bene, ti cito questo esempio:
Definiamo un insieme $S$={Automobili} e 2 propietà: $\alpha : x$ è verde, $\beta : x$ è pari.
La prima proprietà è definita in S poichè, preso qualsiasi $x in S$, ha senso dire che $AA x in S$ possa valere o no tale proprietà.
La seconda proprietà non è definita in S poichè, preso qualsiasi $x in S$, non ha senso dire che $AA x in S$ possa valere o no tale proprietà, dato che ogni auto non può essere pari o no.
Adesso, l'esempio che ho portato è corretto o no? Aspetto vostre delucidazioni.
Allora, per vedere se ho capito bene, ti cito questo esempio:
Definiamo un insieme $S$={Automobili} e 2 propietà: $\alpha : x$ è verde, $\beta : x$ è pari.
La prima proprietà è definita in S poichè, preso qualsiasi $x in S$, ha senso dire che $AA x in S$ possa valere o no tale proprietà.
La seconda proprietà non è definita in S poichè, preso qualsiasi $x in S$, non ha senso dire che $AA x in S$ possa valere o no tale proprietà, dato che ogni auto non può essere pari o no.
Adesso, l'esempio che ho portato è corretto o no? Aspetto vostre delucidazioni.
Io penso di sì, ma aspetta il conforto di qualcun altro.
ok, aspetto altri suggerimenti. Mi raccomando eventualmente di spiegare con esempi.
adesso che turtle87 è riuscito a farti capire la cosa più importante, non è difficile per te capire sia la mia perplessità espressa nel precednte intervento sia il fatto che la frase del tuo testo, così com'è, può essere considerata sia giusta sia non propriamente corretta:
è vero che la proprietà è ben definita perché ci sono numeri pari, ma sarebbe stata ben definita anche se i numeri fossero stati tutti dispari:
è verificata da almeno un elemento perché sono presenti numeri pari, non potrebbe essere verificata se non fosse ben definita.
dunque è corretta se intendiamo che poiché è verificata, allora deve necessariamente essere ben definita
mentre non è corretta se intendiamo che è ben definita (solo) perché è verificata
in realtà è ben definita perché applicata ad un insieme di numeri interi, per i cui elementi abbia senso chiedersi se sono pari oppure no.
per di più è pure verificata da una parte degli elementi dell'insieme, il che non guasta.
spero di essere stata chiara. ciao.
è vero che la proprietà è ben definita perché ci sono numeri pari, ma sarebbe stata ben definita anche se i numeri fossero stati tutti dispari:
è verificata da almeno un elemento perché sono presenti numeri pari, non potrebbe essere verificata se non fosse ben definita.
dunque è corretta se intendiamo che poiché è verificata, allora deve necessariamente essere ben definita
mentre non è corretta se intendiamo che è ben definita (solo) perché è verificata
in realtà è ben definita perché applicata ad un insieme di numeri interi, per i cui elementi abbia senso chiedersi se sono pari oppure no.
per di più è pure verificata da una parte degli elementi dell'insieme, il che non guasta.
spero di essere stata chiara. ciao.
Quindi una proprietà può essere ben definita in un insieme se ha senso chiedersi se soddisfi la propietà o no, anche se tale proprietà potrebbe essere verificata o no nel suddetto insieme. Però una proprietà verificata non è detto che debba essere anche definita. E così o no?
se è ben definita, può essere sia verificata sia non verificata.
se è verificata è definita, altrimenti come la verifichi?
in questo senso quello che era scritto poteva essere corretto, anche se si prestava a false interpretazioni.
... non immagino se uno si voglia complicare la vita considerando insiemi molto eterogenei ... ma non ci pensare, per ora.
se è verificata è definita, altrimenti come la verifichi?
in questo senso quello che era scritto poteva essere corretto, anche se si prestava a false interpretazioni.
... non immagino se uno si voglia complicare la vita considerando insiemi molto eterogenei ... ma non ci pensare, per ora.
OK. Grazie a tutti per la disponibilita, siete stati molto utili. Spero di essere anche io di aiuto per questo forum. Alla prossima!
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