Analisi 1 elementi e patemi d'animo
fra non molto avro' l'ultimo compitino di analisi 1 elementi, quindi vorrei chiedervi un grande favore, io postero' lo svolgimento di esercizi che ho provato a risolvere e che mi lasciano qualche dubbio, se qualcuno puo' essere cosi' paziente da darci un occhio sara' ringraziato con fiori di campo e vergini belle
allora:
$f(x) = x^3 -3x^2 -9x -1$
1) stabilire il piu' grande intervallo contenente $x_{0}=0$ in cui e' invertibile
se e' continua e monotona in un intervallo chiuso allora e' invertibile. $f^1(x) = 3x^2 -6x-9$ e dal segno direi che l'intervallo e' [-1,3]
2)determinare il dominio della funzione inversa
qui iniziano i primi dubbi... studiando il segno della derivata prima la funzione dovrebbe essere monotona, e quindi invertibile in 3 intervalli... che sono $(-∞,-1] [-1,3] [3,+∞)$ ... l'ideale sarebbe trovare un espressione del tipo x=f(y) e stabilirne il dominio ma come faccio con questa f(x)?
3)calcolare la derivata della funzione inversa in $y_{0} = -1$
sapendo che la derivata della funzione inversa e' il reciproco della derivata di f(x) ottengo $1/(3x^2 - 6x -9)$ che dovrebbe avere una cuspide con massimo in x->-1
vi ringrazio per la pazienza
allora:
$f(x) = x^3 -3x^2 -9x -1$
1) stabilire il piu' grande intervallo contenente $x_{0}=0$ in cui e' invertibile
se e' continua e monotona in un intervallo chiuso allora e' invertibile. $f^1(x) = 3x^2 -6x-9$ e dal segno direi che l'intervallo e' [-1,3]
2)determinare il dominio della funzione inversa
qui iniziano i primi dubbi... studiando il segno della derivata prima la funzione dovrebbe essere monotona, e quindi invertibile in 3 intervalli... che sono $(-∞,-1] [-1,3] [3,+∞)$ ... l'ideale sarebbe trovare un espressione del tipo x=f(y) e stabilirne il dominio ma come faccio con questa f(x)?
3)calcolare la derivata della funzione inversa in $y_{0} = -1$
sapendo che la derivata della funzione inversa e' il reciproco della derivata di f(x) ottengo $1/(3x^2 - 6x -9)$ che dovrebbe avere una cuspide con massimo in x->-1
vi ringrazio per la pazienza
Risposte
per il punto2 ti conviene fare lo studio della f(x) completo : allora in x=-1) la funzione ha un max relativo che vale ...
e in x = 3 la funzione ha un min relativo che vale ..
poi è facile fare i limiti per x che tende a $+- oo$ e disegnando il grafico puoi trovare risposta alle varie domande .
e in x = 3 la funzione ha un min relativo che vale ..
poi è facile fare i limiti per x che tende a $+- oo$ e disegnando il grafico puoi trovare risposta alle varie domande .
ok, devo essere stanco, stavo pensando all'intervallo di invertibilita' della f(x) come al dominio stesso della funzione inversa. mentre non centrano, correggimi se sbaglio. il limite della f(x) e' +∞ e -∞ quindi il dominio della funzione inversa dovrebbe essere R.
non mi e' ancora chiara una cosa: se, come in questo caso, la funzione e' invertibile in 3 pezzi... parliamo comunque di _una sola funzione inversa_ su un'unico intervallone o sono da considerare 3 funzioni definite su 3 intervalli differenti? adesso vado a dormire altrimenti dico altre stupidate
non mi e' ancora chiara una cosa: se, come in questo caso, la funzione e' invertibile in 3 pezzi... parliamo comunque di _una sola funzione inversa_ su un'unico intervallone o sono da considerare 3 funzioni definite su 3 intervalli differenti? adesso vado a dormire altrimenti dico altre stupidate
Non essendo monotona in $-oo,+oo $ va spezzata in 3 parti rispettivamente negli intervalli :
$ (-oo,-1) $ ; $( -1, 3) $ ; $(3, +oo) $ .Il dominio quidni delle tre funzioni inverse è :
$ (-oo, 4) $;$ (-28,4) $ ;$(-28,+oo$.
$ (-oo,-1) $ ; $( -1, 3) $ ; $(3, +oo) $ .Il dominio quidni delle tre funzioni inverse è :
$ (-oo, 4) $;$ (-28,4) $ ;$(-28,+oo$.
non si cancella
ok allora mi torna tutto.
grazie 1000
grazie 1000
allora, oggi abbiamo affrontato taylor con il resto di peano e lagrange. Vi espongo i miei dubbi perche' alcune cose sono state affrontate in maniera informale e finche non vedo una dimostrazione io non capisco le cose:
La proff e' partita in quarta col dire:
proposizione 1 (che non e' stata dimostrata):
se una funzione e' derivabile in $x_{0}$ n volte allora $f(x)= P_{n}(x) + R_{n}(x)$ dove P e' polinomio e R e' il resto dell'approssimazione.
molto bello, ma questo da dove salta fuori? come si arriva a dire una cosa del genere? non penso che uno si svegli la mattina con questa uguaglianza... Nel mio testo Taylor viene affrontato con il teorema fondamentale del calcolo Integrale, ma siccome non l'abbiamo ancora affrontato a lezione vi chiedo se esiste un altro modo per capire questo e quello che segue:
proposizione 2:
il polinomio che concorda con le prime n derivate in $x=x_{0}$ e' il polinomio di taylor $T_{n}(f(x) ; x_{0})$
questo e' stato spiegato, e non ci sono problemi
proposizione 3:
se P e' il polinomio di taylor allora
$R_{n}(x) = o((x-x_{0})^n)$ per $x ->x_{0}$
questo ci e' stato (per fortuna) dimostrato con l'Hopital e quindi non ci sono problemi fino a qui...
se non ho capito male dunque il resto di peano all'ordine $n$ e': $R_{n}^(peano) = o((x-x_{0})^n)$
adesso arriva quello che non e' stato minimamente dimostrato neanche informalmente:
proposizione 4:
resto di lagrange = $(f^(n+1)(X)(x-x_{0})^(n+1))/((n+1)!)$
come si dimostra? datemi anche solo una dritta ma voglio capire da dove spunta fuori, mi rifiuto di impararlo a memoria come una scimmia
l'unica cosa che mi pare di aver capito e' che essendo di un ordine di infinitesimo superiore a $n$ e' un resto piu' preciso di quello di peano.
RIASSUMENDO: non ho capito da dove salta fuori la (1): ho capito che il polinomio che e' in accordo con le prime enne derivate e' quello di Taylor ma non riesco a capire come si lega formalmente questo con l'approssimazione vera e propria!
non ho capito se il fatto che il Resto e' di un ordine di infinitesimo superiore a $x^n$ e' una conseguenza della 1, una definizione, un teorema o cos'altro. O forse e' la 1 che e' dimostrata proprio perche' il resto tende a 0 piu' velocemente di $x^n$??
aiutatemi a fare chiarezza perche' tutto questo e' stato trattato in un'ora emmezza di lezione ed e' stato fatto abbastanza del tipo "ragazzi e' cosi', fidatevi"
Ringrazio infinitamente chi sara' cosi' gentile da rispondere
La proff e' partita in quarta col dire:
proposizione 1 (che non e' stata dimostrata):
se una funzione e' derivabile in $x_{0}$ n volte allora $f(x)= P_{n}(x) + R_{n}(x)$ dove P e' polinomio e R e' il resto dell'approssimazione.
molto bello, ma questo da dove salta fuori? come si arriva a dire una cosa del genere? non penso che uno si svegli la mattina con questa uguaglianza... Nel mio testo Taylor viene affrontato con il teorema fondamentale del calcolo Integrale, ma siccome non l'abbiamo ancora affrontato a lezione vi chiedo se esiste un altro modo per capire questo e quello che segue:
proposizione 2:
il polinomio che concorda con le prime n derivate in $x=x_{0}$ e' il polinomio di taylor $T_{n}(f(x) ; x_{0})$
questo e' stato spiegato, e non ci sono problemi
proposizione 3:
se P e' il polinomio di taylor allora
$R_{n}(x) = o((x-x_{0})^n)$ per $x ->x_{0}$
questo ci e' stato (per fortuna) dimostrato con l'Hopital e quindi non ci sono problemi fino a qui...
se non ho capito male dunque il resto di peano all'ordine $n$ e': $R_{n}^(peano) = o((x-x_{0})^n)$
adesso arriva quello che non e' stato minimamente dimostrato neanche informalmente:
proposizione 4:
resto di lagrange = $(f^(n+1)(X)(x-x_{0})^(n+1))/((n+1)!)$
come si dimostra? datemi anche solo una dritta ma voglio capire da dove spunta fuori, mi rifiuto di impararlo a memoria come una scimmia
l'unica cosa che mi pare di aver capito e' che essendo di un ordine di infinitesimo superiore a $n$ e' un resto piu' preciso di quello di peano.
RIASSUMENDO: non ho capito da dove salta fuori la (1): ho capito che il polinomio che e' in accordo con le prime enne derivate e' quello di Taylor ma non riesco a capire come si lega formalmente questo con l'approssimazione vera e propria!
non ho capito se il fatto che il Resto e' di un ordine di infinitesimo superiore a $x^n$ e' una conseguenza della 1, una definizione, un teorema o cos'altro. O forse e' la 1 che e' dimostrata proprio perche' il resto tende a 0 piu' velocemente di $x^n$??
aiutatemi a fare chiarezza perche' tutto questo e' stato trattato in un'ora emmezza di lezione ed e' stato fatto abbastanza del tipo "ragazzi e' cosi', fidatevi"
Ringrazio infinitamente chi sara' cosi' gentile da rispondere
forse ho capito quel'e' il "giro" logico:
(1) riconosco intuitivamente che una funzione e' approssimabile da un polinomio che concordi con le prime $n$ derivate
(2) trovo che esiste uno e un solo polinomio che soddisfa le n+1 condizioni, ed e' Taylor
(3) definisco il resto come $f(x)-T_{n}(x;a)$
(4) pur non potendo ricavare in prima battuta un'espressione precisa per il resto, dimostro comunque che e' $o((x-x_{0})^n)$ con l'hopital
(5) finalmente posso affermare che $f(x) = T_{n}(x;a) + o((x-x_{0})^n)$
(6) questa espressione del resto e' detta resto di peano
(7) con un modo che mi e' ancora oscuro, trovo un'espressione piu' precisa del resto, ovvero trovo il resto di lagrange.
e' un ragionamento che rispecchia la realta'?
(1) riconosco intuitivamente che una funzione e' approssimabile da un polinomio che concordi con le prime $n$ derivate
(2) trovo che esiste uno e un solo polinomio che soddisfa le n+1 condizioni, ed e' Taylor
(3) definisco il resto come $f(x)-T_{n}(x;a)$
(4) pur non potendo ricavare in prima battuta un'espressione precisa per il resto, dimostro comunque che e' $o((x-x_{0})^n)$ con l'hopital
(5) finalmente posso affermare che $f(x) = T_{n}(x;a) + o((x-x_{0})^n)$
(6) questa espressione del resto e' detta resto di peano
(7) con un modo che mi e' ancora oscuro, trovo un'espressione piu' precisa del resto, ovvero trovo il resto di lagrange.
e' un ragionamento che rispecchia la realta'?
"vl4d":
forse ho capito quel'e' il "giro" logico:
(1) riconosco intuitivamente che una funzione e' approssimabile da un polinomio che concordi con le prime $n$ derivate
(2) trovo che esiste uno e un solo polinomio che soddisfa le n+1 condizioni, ed e' Taylor
(3) definisco il resto come $f(x)-T_{n}(x;a)$
(4) pur non potendo ricavare in prima battuta un'espressione precisa per il resto, dimostro comunque che e' $o((x-x_{0})^n)$ con l'hopital
(5) finalmente posso affermare che $f(x) = T_{n}(x;a) + o((x-x_{0})^n)$
(6) questa espressione del resto e' detta resto di peano
(7) con un modo che mi e' ancora oscuro, trovo un'espressione piu' precisa del resto, ovvero trovo il resto di lagrange.
e' un ragionamento che rispecchia la realta'?
Supponiamo che
$f(x)=sum_(n=0)^infty a_n(x-x_c)^n$
per un qualche punto costante $x_c$ e una serie di costanti $a$. è facile calcolare $a_0$
$f(x_c)=a_0$
ora derivando termine a termine $f'(x)=sum_(n=1)^infty na_n(x-x_c)^(n-1)$ quindi
$(f'(x_c) )/1=a_1$
continuando a derivare $f''(x)=sum_(n=2)^infty n(n-1)a_n(x-x_c)^(n-2)$ quindi
$(f'(x_c))/(1*2)=a_2$
e possiamo dimostrare per induzione $a_n=(f^((n))(x_c))/(n!)$.
Certo la serie deve essere convergente e devono essere soddisfante condizioni relative a $f$, ma può chiarire le idee
aspetta, in questo modo trovi i coefficienti del polinomio di taylor giusto? questo mi era gia' chiaro... quello che vorrei confermata e' la visione generale...
grazie per la velocissima risposta
grazie per la velocissima risposta
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