Analisi 1... ci risiamo..
Risposte
fammi capire meglio, la parte dove x >-1 e la funzione log(1+t)/t è continua ti torna?
non hai capito quando x=-1 come si fa a dire se l'integrale generalizzato converge?
non hai capito quando x=-1 come si fa a dire se l'integrale generalizzato converge?
Ah aspetta sto facendo un teorema, il teorema del confronto.. quindi se riesco a provare che l'integrale di una funzione equivalente all'integranda in questo caso potrebbe essere -1/2*t converge allora necessariamente lo deve fare anche l'integrale di partenza, quindi dato che in -1 l'integrale di -1/2t coverge, anzi non necessita dell'integrazione generalizzata, allora anche l'integrale di log(1+t)/t converge in -1, giusto?
c'è il seguente criterio di convergenza per gli integrali impropri :
siano f e g due funzioni positive definite su (a,b), e a punto di infinito per entrambe, se
f(x) <= g(x) e int[a b]g(x) converge, anche int f(x) converge
ora int[1 -1]log(1+t)/t dt =-int[-1 1]log(1+t)/t dt =-int[-1 -1/2]log(1+t)/t dt +
-int[-1/2 1]log(1+t)/t dt
il secondo integrale esiste (funzione continua)
per il primo osserviamo che
log(1+t)/t < -2log(1+t) su(-1,-1/2) per vederlo risolvi la disuguaglianza
quindi int[-1 -1/2]log(1+t)/t dt < -2*int[-1 -1/2]log(1+t) dt
quest'ultimo integrale può essere calcolato e converge
pertanto per x= -1 la funzione è integrabile
e il dominio sarà x >=-1
si poteva utilizzare anche il seguente corollario del teorema del confronto
siano f e g due funzioni positive definite su (a,b), e a punto di infinito per entrambe se
lim f(x)/ g(x) = L e int[a b] g(x) converge, allora converge anche int[a b] f(x)
x->a
nel nostro caso f(t) =log(1+t)/t
g(t)=-log(1+t)
lim f / g =1
ora int[-1 -1/2]-log(1+t)dt converge e pure la nostra funzione
siano f e g due funzioni positive definite su (a,b), e a punto di infinito per entrambe, se
f(x) <= g(x) e int[a b]g(x) converge, anche int f(x) converge
ora int[1 -1]log(1+t)/t dt =-int[-1 1]log(1+t)/t dt =-int[-1 -1/2]log(1+t)/t dt +
-int[-1/2 1]log(1+t)/t dt
il secondo integrale esiste (funzione continua)
per il primo osserviamo che
log(1+t)/t < -2log(1+t) su(-1,-1/2) per vederlo risolvi la disuguaglianza
quindi int[-1 -1/2]log(1+t)/t dt < -2*int[-1 -1/2]log(1+t) dt
quest'ultimo integrale può essere calcolato e converge
pertanto per x= -1 la funzione è integrabile
e il dominio sarà x >=-1
si poteva utilizzare anche il seguente corollario del teorema del confronto
siano f e g due funzioni positive definite su (a,b), e a punto di infinito per entrambe se
lim f(x)/ g(x) = L e int[a b] g(x) converge, allora converge anche int[a b] f(x)
x->a
nel nostro caso f(t) =log(1+t)/t
g(t)=-log(1+t)
lim f / g =1
ora int[-1 -1/2]-log(1+t)dt converge e pure la nostra funzione
Giusto, ma anche quello che ho detto io è giusto, no? tanto per chiarirmi le idee..
Qualche considerazione aggiuntiva sulla periodicità della funzione cos(x^3).
Come è già stato scritto, perchè sia periodica deve essere possibile trovare un numero T che soddisfi questa equazione :
(x+T)^ 3 = x^3 .
Dato che questa eguaglianza deve essere verificata per qualunque valore di x , scelgo x=0 per comodità e ottengo :
T=0 , quindi , come si diceva la funzione non è periodica.
Però x può essere qualunque e lo lascio allora indeterminato ottenendo questa equazione in T :
T(T^2+3xT+3x^2) = 0
Poichè si è già visto che la funzione non è periodica , questa equazione può avere solo soluzioni nulle o complesse coniugate.
Infatti oltre alla ovvia soluzione T = 0 si ottiene :
T= (1/2)*[-3x+-|x|sqrt(3)*i] soluzioni appunto complesse coniugate.
Camillo
Come è già stato scritto, perchè sia periodica deve essere possibile trovare un numero T che soddisfi questa equazione :
(x+T)^ 3 = x^3 .
Dato che questa eguaglianza deve essere verificata per qualunque valore di x , scelgo x=0 per comodità e ottengo :
T=0 , quindi , come si diceva la funzione non è periodica.
Però x può essere qualunque e lo lascio allora indeterminato ottenendo questa equazione in T :
T(T^2+3xT+3x^2) = 0
Poichè si è già visto che la funzione non è periodica , questa equazione può avere solo soluzioni nulle o complesse coniugate.
Infatti oltre alla ovvia soluzione T = 0 si ottiene :
T= (1/2)*[-3x+-|x|sqrt(3)*i] soluzioni appunto complesse coniugate.
Camillo
Per cavallipurosangue
ecco alcuni esercizi d'esame risolti ; in particolare n.13 e 14 riguardano integrali impropri.
http://www.mate.polimi.it/web/webspace/ ... 17_sol.pdf
Camillo
ecco alcuni esercizi d'esame risolti ; in particolare n.13 e 14 riguardano integrali impropri.
http://www.mate.polimi.it/web/webspace/ ... 17_sol.pdf
Camillo
[size=150]@cavallipurosangue[/size]
se ho capito bene quello che dici, la risposta è no
se vuoi applicare il corollario del teorema del confronto che sopra ho scritto
devi trovare una funzione g(t) tale che
lim [log(1+t)/t]/g(t) =L
x->-1+
se prendi g(t)=-1/2t
il limite va a infinito e quindi il corollario non è applicabile
se invece prendi g(t)=-log(1+t) il limite è 1
e siccome la funzione -log(1+t) è integrabile in t=-1
lo sarà anche la nostra funzione
[size=150]@camillo[/size]
non ho ben capito quello che hai fatto
quando poni x=0, non dovrebbe essere sostituito su tutta la funzione?
cos[(x+T)^3]=cosx^3
se x=0 cos[(T)^3]=cos(0)
da cui T^3 =2kPi, T=rad.terza(2kPi) con k intero
se invece prendo x=rad.terza(Pi)
cos(rad.terza(Pi)+T)^3=cos(Pi)
da cui T = rad.terza(Pi +2kPi)-rad.terza(Pi) con k intero
si intuisce che i due periodi trovati non hanno multipli in comune quale che sia k e quindi f non è peridica
penso che questo ragionamento possa andare bene.
penso che si possa dimostrare la non periodicità della funzione anche con il seguente ragionamento
la derivata di f è -sen(x^3)*3x^2
non essendo tale derivata periodica (x^2 "esplode" al crescere di x) allora la funzione non è periodica
se ho capito bene quello che dici, la risposta è no
se vuoi applicare il corollario del teorema del confronto che sopra ho scritto
devi trovare una funzione g(t) tale che
lim [log(1+t)/t]/g(t) =L
x->-1+
se prendi g(t)=-1/2t
il limite va a infinito e quindi il corollario non è applicabile
se invece prendi g(t)=-log(1+t) il limite è 1
e siccome la funzione -log(1+t) è integrabile in t=-1
lo sarà anche la nostra funzione
[size=150]@camillo[/size]
non ho ben capito quello che hai fatto
quando poni x=0, non dovrebbe essere sostituito su tutta la funzione?
cos[(x+T)^3]=cosx^3
se x=0 cos[(T)^3]=cos(0)
da cui T^3 =2kPi, T=rad.terza(2kPi) con k intero
se invece prendo x=rad.terza(Pi)
cos(rad.terza(Pi)+T)^3=cos(Pi)
da cui T = rad.terza(Pi +2kPi)-rad.terza(Pi) con k intero
si intuisce che i due periodi trovati non hanno multipli in comune quale che sia k e quindi f non è peridica
penso che questo ragionamento possa andare bene.
penso che si possa dimostrare la non periodicità della funzione anche con il seguente ragionamento
la derivata di f è -sen(x^3)*3x^2
non essendo tale derivata periodica (x^2 "esplode" al crescere di x) allora la funzione non è periodica
Eh si anche io intendevo la stesa cosa, ma evidentemente ho sbagliato a scrivere per la troppa fretta.. 
@
Piera
Senza dirlo, dalla relazione :
cos[(x+T)^3] = cos(x^3) ho dedotto che devono essere uguali gli argomenti e ho posto :
(x+T)^3 = x^3
Il passaggio successivo , in cui considero x = 0 e e deduco T^3= 0 non è in effetti corretto :
avrei dovuto dedurre
T^3 = 2k*pi .
Bello il metodo della derivata , mi è piaciuto !
Camillo
Piera
Senza dirlo, dalla relazione :
cos[(x+T)^3] = cos(x^3) ho dedotto che devono essere uguali gli argomenti e ho posto :
(x+T)^3 = x^3
Il passaggio successivo , in cui considero x = 0 e e deduco T^3= 0 non è in effetti corretto :
avrei dovuto dedurre
T^3 = 2k*pi .
Bello il metodo della derivata , mi è piaciuto !
Camillo
grazie per il complimento!!
vedo che sei di milano, sei milanista?
ci hanno dato una batosta ieri sera!!
vedo che sei di milano, sei milanista?
ci hanno dato una batosta ieri sera!!
No, sono interista , anche se molto tiepido .
Camillo
Camillo
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