Analisi 1... ci risiamo..
Risposte
errore!
1) ponendo sen x = t si ha
int 1/(1+t^2)^2 adesso guarda qui
http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/inteinde.pdf
2) no, non è periodica
3) prima trova il dominio della funzione integranda che è t > -1
t = 0 singolarità eliminabile
quando x >-1 la funzione è continua e quindi integrabile
quando x= -1 si ha un integrale improprio se è convergente il
dominio sarà x>=-1, x>-1 altrimenti
int 1/(1+t^2)^2 adesso guarda qui
http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/inteinde.pdf
2) no, non è periodica
3) prima trova il dominio della funzione integranda che è t > -1
t = 0 singolarità eliminabile
quando x >-1 la funzione è continua e quindi integrabile
quando x= -1 si ha un integrale improprio se è convergente il
dominio sarà x>=-1, x>-1 altrimenti
per dire che è periodica devi verificare
cos[(x+T)^3]=cos(x^3)
cos[(x+T)^3]=cos(x^3)
Nel primo, se sostituisci, non devi poi anche fare il cambio di differenziali? Potresti spiegarmi meglio l'ultimo perfavore?
sen x =t , cos x dx=dt, dx=dt/cos x
poi guarda il link che ho scritto e vedrai che per risolvere l'integrale
esiste una formula ricorsiva, credo che questa formula ci sia anche sul tuo
libro
al variare di x ottengo un integrale definito
la x può variare solo nel dominio di log(1+t)/t
(se avessi x=-2 dovrei calcolare int(1 -2) log(1+t)/t e chiaramente la scrittura non ha significato)
ora quando x >-1 (valori ammissibili perchè la funzione log(1+t)/t esiste)
log(1+t)/t è integrabile perchè continua, cioè f(x) assumerà per x>-1 valori finiti
l'unico punto dubbio è quando x=-1 ,adesso dobbiamo valutare
int[1 -1]log(1+t)/t dt che è un integrale improprio o generalizzato di seconda specie
se converge dominio x>= -1 , altrimenti x > -1
poi guarda il link che ho scritto e vedrai che per risolvere l'integrale
esiste una formula ricorsiva, credo che questa formula ci sia anche sul tuo
libro
al variare di x ottengo un integrale definito
la x può variare solo nel dominio di log(1+t)/t
(se avessi x=-2 dovrei calcolare int(1 -2) log(1+t)/t e chiaramente la scrittura non ha significato)
ora quando x >-1 (valori ammissibili perchè la funzione log(1+t)/t esiste)
log(1+t)/t è integrabile perchè continua, cioè f(x) assumerà per x>-1 valori finiti
l'unico punto dubbio è quando x=-1 ,adesso dobbiamo valutare
int[1 -1]log(1+t)/t dt che è un integrale improprio o generalizzato di seconda specie
se converge dominio x>= -1 , altrimenti x > -1
quando poni sen x = t, non c'è bisogno di passare all'arcoseno, ma puoi differenziare
entrambi i membri
cos x dx=dt
dx=dt/cos x
da cui
int cosx/(1+sen^2 x)^2 dx= int cosx/(1+t^2 )^2 dt /cos x =int 1/(1+t^2)^2 dt
penso che con il mio aiuto e con quello di leonardo adesso hai capito come si risolve l'integrale
prova a tracciare il grafico di cos(x^3) con derive,
si vede che la funzione non è periodica
dimmi cosa non ti torna della funzione integrale e dimmi
se hai fatto gli integrali impropri
ti riscrivo il terzo esercizio
al variare di x ottengo un integrale definito, il dominio sarà dato da tutti i valori di x in corrispondenza dei quali l'integrale assume valore finito
la x può variare solo nel dominio di log(1+t)/t ( t> -1 ,t=0 discontinuità eliminabile )
(se avessi x=-2 dovrei calcolare int(1 -2) log(1+t)/t e chiaramente la scrittura non ha significato)
ora quando x >-1 (valori ammissibili perchè la funzione log(1+t)/t esiste)
log(1+t)/t è integrabile perchè continua, cioè f(x) assumerà per x>-1 valori finiti
l'unico punto dubbio è quando x=-1 ,adesso dobbiamo valutare
int[1 -1]log(1+t)/t dt che è un integrale improprio o generalizzato di seconda specie
int[1 -1]log(1+t)/t dt =-int[-1 1]log(1+t)/t dt
ora, si può vedere, salvo errori, che l'integrale improprio in un intorno destro di -1,
ad esempio tra -1 e -1/2 si comporta come int[-1 -1/2] -log(1+t) dt che converge, questo è sufficiente a garantire l'esistenza della funzione in x=-1
pertanto il dominio della funzione è x>= -1
entrambi i membri
cos x dx=dt
dx=dt/cos x
da cui
int cosx/(1+sen^2 x)^2 dx= int cosx/(1+t^2 )^2 dt /cos x =int 1/(1+t^2)^2 dt
penso che con il mio aiuto e con quello di leonardo adesso hai capito come si risolve l'integrale
prova a tracciare il grafico di cos(x^3) con derive,
si vede che la funzione non è periodica
dimmi cosa non ti torna della funzione integrale e dimmi
se hai fatto gli integrali impropri
ti riscrivo il terzo esercizio
al variare di x ottengo un integrale definito, il dominio sarà dato da tutti i valori di x in corrispondenza dei quali l'integrale assume valore finito
la x può variare solo nel dominio di log(1+t)/t ( t> -1 ,t=0 discontinuità eliminabile )
(se avessi x=-2 dovrei calcolare int(1 -2) log(1+t)/t e chiaramente la scrittura non ha significato)
ora quando x >-1 (valori ammissibili perchè la funzione log(1+t)/t esiste)
log(1+t)/t è integrabile perchè continua, cioè f(x) assumerà per x>-1 valori finiti
l'unico punto dubbio è quando x=-1 ,adesso dobbiamo valutare
int[1 -1]log(1+t)/t dt che è un integrale improprio o generalizzato di seconda specie
int[1 -1]log(1+t)/t dt =-int[-1 1]log(1+t)/t dt
ora, si può vedere, salvo errori, che l'integrale improprio in un intorno destro di -1,
ad esempio tra -1 e -1/2 si comporta come int[-1 -1/2] -log(1+t) dt che converge, questo è sufficiente a garantire l'esistenza della funzione in x=-1
pertanto il dominio della funzione è x>= -1
Innanzitutto complimetoni per l'avatar 
Cmq volevo chiederti se si scartano i monomi di grado superiore a 3, dato che sono di ordine superiore e quindi tendono ancor più velocemente della terza potenza a zero, quindi in effetti si possono considerare tutti come o(x^3), giusto?
Poi ti volevo chiedere come mai nello sviluppo di Mac-Laurin per f(1+x) ti viene quello sviluppo invece del mio...
Cmq volevo chiederti se si scartano i monomi di grado superiore a 3, dato che sono di ordine superiore e quindi tendono ancor più velocemente della terza potenza a zero, quindi in effetti si possono considerare tutti come o(x^3), giusto?
Poi ti volevo chiedere come mai nello sviluppo di Mac-Laurin per f(1+x) ti viene quello sviluppo invece del mio...
Complimenti anche a te: l'abbinamento Ferrari-Maserati spacca!!!
Nella tua formula hai scritto giustamente che lo sviluppo in x_0 e' dato moltiplicando i vari coefficienti per (x-x_0)^n, ma poi hai sviluppato il logaritmo moltiplicando i coefficienti per:
(x+1)^n
Quando, in realta', ci voleva il -.
Per il resto, a dire il vero, lo sviluppo del logaritmo me lo ricordo a memoria (all'esame) o lo copio dagli appunti (tutte le altre volte) nella forma in cui l'ho scritta. (che si ottiene facendo i conti).
Poi quando sostituisci dentro lo sviluppo del seno e' inutile sviluppare tutte le potenze dei binomi che saltano fuori visto che comunque in fondo c'e' l'o(|x|^3), basta prendere i pezzi con grado <= 3. In pratica spariscono tutti i doppi prodottio i pezzi con le potenze di x^3...
PS: Faro' una piccola correzione nel mio post precedente perche' ho dimenticato il fattoriale nella prima riga e ho messo un 2 che non esiste!
*** EDIT ***
Fatto. Ma non fidatevi tropo dell'esattezza dei conti.
Nella tua formula hai scritto giustamente che lo sviluppo in x_0 e' dato moltiplicando i vari coefficienti per (x-x_0)^n, ma poi hai sviluppato il logaritmo moltiplicando i coefficienti per:
(x+1)^n
Quando, in realta', ci voleva il -.
Per il resto, a dire il vero, lo sviluppo del logaritmo me lo ricordo a memoria (all'esame) o lo copio dagli appunti (tutte le altre volte
) nella forma in cui l'ho scritta. (che si ottiene facendo i conti).Poi quando sostituisci dentro lo sviluppo del seno e' inutile sviluppare tutte le potenze dei binomi che saltano fuori visto che comunque in fondo c'e' l'o(|x|^3), basta prendere i pezzi con grado <= 3. In pratica spariscono tutti i doppi prodottio i pezzi con le potenze di x^3...
PS: Faro' una piccola correzione nel mio post precedente perche' ho dimenticato il fattoriale nella prima riga e ho messo un 2 che non esiste!
*** EDIT ***
Fatto. Ma non fidatevi tropo dell'esattezza dei conti.
Quindi è giusto quello che ti dicevo riguardo agli ordini?
Mi dispiace ma ancora non riesco a capire perchè invece del più ci mettiamo il meno, non verrebbe meno se fossimo in un intorno di -2?
A proposito del segno più oppure meno ricorda che lo sviluppo di una funzione f(x) con la formula di Taylor nell'intorno di un ounto x0 ( centro ) vale :
f(x) = f(x0) +f'(x0)*(x-x0) +f''(x0)*(x-x0)^2/2!+.....
Se poni x= x0 ottieni l'identità : f(x0 ) = f(x0) perchè tutti gli altri termini danno contributo nullo; se invece usi il +, come hai fatto questo non accade e la relazione non è corretta.
Camillo
f(x) = f(x0) +f'(x0)*(x-x0) +f''(x0)*(x-x0)^2/2!+.....
Se poni x= x0 ottieni l'identità : f(x0 ) = f(x0) perchè tutti gli altri termini danno contributo nullo; se invece usi il +, come hai fatto questo non accade e la relazione non è corretta.
Camillo
Quello che voglio dire è che per lo sviluppo di Mac-Laurin siamo obbligati a prendere x0=0, ok? Quindi la x che devo sostituire nella formula dello sviluppo è si o no x+1? Se si è chiaro che preso x0=0 si ha che i coefficienti saranno moltiplicati per (x+1+x0)=(x+1).
il polinomio di mclaurin al terzo ordine è ( si ottiene sostituendo a taylor x0=0)
f(x)=f(0) +f'(0)*x + f''(0) *x^2 /2! +f'''(0)*x^3/3!
ora f(x)=ln(1+x)
f(0)=0
f'(x)=1/(x+1) ,f'(0)=1
f''(x)=-1/(x+1)^2 , f''(0)=-1
f'''(x)=2/(x+1)^3 ,f'''(0)=2
ti ho fatto capire qualcosa riguardo la funzione integrale?
hai fatto gli integrali impropri?
f(x)=f(0) +f'(0)*x + f''(0) *x^2 /2! +f'''(0)*x^3/3!
ora f(x)=ln(1+x)
f(0)=0
f'(x)=1/(x+1) ,f'(0)=1
f''(x)=-1/(x+1)^2 , f''(0)=-1
f'''(x)=2/(x+1)^3 ,f'''(0)=2
ti ho fatto capire qualcosa riguardo la funzione integrale?
hai fatto gli integrali impropri?
Allora lo sviluppo di Mac-Laurin di una funzione f(x) e' lo sviluppo di Taylor centrato in x0=0.
Lo sviluppo in serie di Mac-Laurin di log(1+x) E' lo sviluppo di Taylor del log(x) centrato in 1!!! Infatti se x e' in un intorno di 0; 1+x e' in un intorno di 1.
Quindi studiare log(1+x) in un intorno di 0 equivale a studiare log(x) in un intorno di 1.
Quindi si pone x0=1 e si ha:
(x-x0)=(x-1)
Da sostituire nella formula di Taylor.
PS: Quello che dicevi sugli ordini e' piu' che corretto.
Lo sviluppo in serie di Mac-Laurin di log(1+x) E' lo sviluppo di Taylor del log(x) centrato in 1!!! Infatti se x e' in un intorno di 0; 1+x e' in un intorno di 1.
Quindi studiare log(1+x) in un intorno di 0 equivale a studiare log(x) in un intorno di 1.
Quindi si pone x0=1 e si ha:
(x-x0)=(x-1)
Da sostituire nella formula di Taylor.
PS: Quello che dicevi sugli ordini e' piu' che corretto.
Ah ecco dov'era che mi confondevo... Grazie a tutti davvero.. Se avrò altri dubbi vi farò sapere, anche perchè tra poco ho la prima prova scritta di analisi.. 
In ogni caso si ho fatto gli integrali generalizzati, anzi li sto facendo adesso... Adesso ho le idee un pò più chiare questo sì.. Purtroppo tirano da matti i profs e non danno il tempo per poter assimilare tutto in modo adeguato, ecco perchè poi ti ritrovi con delle grosse lacune se non stai attento.. Vabbè ma io ho questo grande gruppo di amici, su cui come vedo, posso sempre contare per qualche dubbio..
In ogni caso si ho fatto gli integrali generalizzati, anzi li sto facendo adesso... Adesso ho le idee un pò più chiare questo sì.. Purtroppo tirano da matti i profs e non danno il tempo per poter assimilare tutto in modo adeguato, ecco perchè poi ti ritrovi con delle grosse lacune se non stai attento.. Vabbè ma io ho questo grande gruppo di amici, su cui come vedo, posso sempre contare per qualche dubbio..
ma della funzione integrale cosa non ti torna?
dimmelo pure
dimmelo pure
In effetti è un discorso molto simile a quello che si fa quando si considera il comportamento di int[0^1] 1/(x^a).. Ma io come faccio a sapere se effettivamente converge se non conosco l'integranda?
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