Analisi 1 - Aiuto su studio di funzione logaritmica
Salve,
potreste gentilmente aiutarmi a svolgere questo studio di funzione ?
In particolare, bisogna trovare gli estremi relativi ed assoluti della funzione:
\(f(x) = x(log^3(x)+log^2(x)+2log(x)-2)\)
Grazie mille
potreste gentilmente aiutarmi a svolgere questo studio di funzione ?
In particolare, bisogna trovare gli estremi relativi ed assoluti della funzione:
\(f(x) = x(log^3(x)+log^2(x)+2log(x)-2)\)
Grazie mille
Risposte
Ciao claudioReeves,
Benvenuto sul forum!
La funzione proposta $ f(x) = x(log^3(x)+log^2(x)+2log(x)-2) $ ha dominio $D = (0, +\infty) $
Dato che si ha
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 $
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +infty $
e per piccoli valori del logaritmo la funzione proposta è negativa, sicuramente dovrà intersecare l'asse delle $x$ in un punto, per determinare il quale però occorrerebbe risolvere l'equazione cubica $t^3+t^2+2t-2 = 0 $, ove $t := log(x) $, per cui per il momento lasciamola in sospeso e studiamo il segno della derivata prima:
$f'(x) = log(x)[log(x) + 2]^2 $
Chiaramente si ha $f'(x) >= 0 $ per $log(x) >= 0 \implies x >= 1 $, per cui la funzione proposta ha un minimo nel punto $M(1, - 2) $ ed il suo codominio è $C = [-2, +\infty) $.
Ora, osservando che l'intersezione con l'asse $x$ deve necessariamente essere compresa nell'intervallo $(1, 2) $, si può ad esempio fare uso del metodo di Newton-Raphson partendo da $x_0 = 2 $ e si trova $x = 1,9167 $
Benvenuto sul forum!
La funzione proposta $ f(x) = x(log^3(x)+log^2(x)+2log(x)-2) $ ha dominio $D = (0, +\infty) $
Dato che si ha
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 $
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +infty $
e per piccoli valori del logaritmo la funzione proposta è negativa, sicuramente dovrà intersecare l'asse delle $x$ in un punto, per determinare il quale però occorrerebbe risolvere l'equazione cubica $t^3+t^2+2t-2 = 0 $, ove $t := log(x) $, per cui per il momento lasciamola in sospeso e studiamo il segno della derivata prima:
$f'(x) = log(x)[log(x) + 2]^2 $
Chiaramente si ha $f'(x) >= 0 $ per $log(x) >= 0 \implies x >= 1 $, per cui la funzione proposta ha un minimo nel punto $M(1, - 2) $ ed il suo codominio è $C = [-2, +\infty) $.
Ora, osservando che l'intersezione con l'asse $x$ deve necessariamente essere compresa nell'intervallo $(1, 2) $, si può ad esempio fare uso del metodo di Newton-Raphson partendo da $x_0 = 2 $ e si trova $x = 1,9167 $
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