Analisi 1

[Principe2]

Analisi 1 significa: primo esercizio di analisi ...

Sia $p\ge1$ e $f\in L^p(\RR)$. Sia $g(x)=\int_{\RR}|f(t)|e^{-|t|(|x|+1)}dt$ per $x\in\RR$. Dimostrare che $g$ è be definita, limitata e continua. Dare condizioni su $f$ affinchè appartenga ad $L^1(\RR)$

[ViciousGoblin]

ma questo (e gli altri problemi cha hai postato) sono esercizi per il pubblico o stai chiedendo aiuto per risolverli ?
(nel primo caso lascerei la palla ad altri con piu' furore matematico - sono un po' stanco di questi tempi).

[gugo82]

"ubermensch":Analisi 1 significa: primo esercizio di analisi ...

Sia $p\ge1$ e $f\in L^p(\RR)$. Sia $g(x)=\int_{\RR}|f(t)|e^{-|t|(|x|+1)}dt$ per $x\in\RR$. Dimostrare che $g$ è be definita, limitata e continua. Dare condizioni su $f$ affinchè appartenga ad $L^1(\RR)$

Visto che per ogni $x in RR$ la funzione $e^(-|t|*(|x|+1))$ sta in $L^q(RR)$ (ove $1

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[ViciousGoblin]

MMH
per quanto riguarda $f\in L^1$ mi sembra piu' plausibile utilizzare Fubini-Tonelli. La prima parte invece e' una questione di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

[irenze]

"ViciousGoblinEnters":ma questo (e gli altri problemi cha hai postato) sono esercizi per il pubblico o stai chiedendo aiuto per risolverli ?
(nel primo caso lascerei la palla ad altri con piu' furore matematico - sono un po' stanco di questi tempi).

come puoi vedere qui sta cercando di risolverli

[ViciousGoblin]

Provo a fare la seconda parte. Intanto noto che $g(x)\geq0$ per cui ha senso $\int_{RR}g(x) dx$ e per Tonelli
$\int_{RR}g(x) dx=\int_{RR}(\int_{RR}|f(t)|e^{-|t|(|x|+1)}dt)dx=$
$\int_{RR}|f(t)|(\int_{RR}e^{-|t|(|x|+1)}dx)dt=2\int_{RR}|f(t)|(\int_{0}^{+\infty}e^{-|t|(x+1)}dx)dt=$
$2\int_{RR}|f(t)|\frac{e^{-|t|}}{|t|}dt$

Quindi perché $g$ sia $L^1$ ci vuole $e^{-|t|}f(t)/t$ in $L^1$ -- pero' hao fatto i calcoli all'istante ( e in fretta)
per cui potrebbero essere sbagliati - in effetti mi sfugge il significato del fatto che serve una regolarita' di $f$ in zero.

[Principe2]

perfetto... mi hai risparmiato di scrivere i calcoli... anche a me viene cosi, ma ho concluso in maniera leggermente diversa. Dal momento che $h(t)=e^{-|t|}$ è rapidamente decrescente, nel senso che $||t^nh(t)||_{\infty}<\infty$ per ogni $n$ (senza ipotesi sulle derivate!!), dovrebbero valere

1) $L^qF\subset F$ (dove $F$ sono le funzioni rapidamente decrescenti nel senso appena detto!) per ogni $q$

2) $F\subseteq L^q$ per ogni $q$.

Quindi sarebbe sufficiente che $|f(t)/t|$ appartenga ad un qualche $L^q$. Torna?

P.s. la prima parte si fa con il teorema di convergenza dominata, applicabile graize alle proprietà 1 e 2.

[ViciousGoblin]

Dovrebbe essere giusto - nota pero' che la tua (2) è sufficiente ma non necessaria mentre la condizione
$e^{-|t|}f(t)/t\in L^1$ sembrerebbe necessaria e sufficiente (ed e' piu' debole dato che, per esempio,
$f(t)=|t|^\alpha$ con $\alpha> - 1$ la verifica). Oltretutto la condizione $e^{-|t|}f(t)/t\in L^1$ è
"trasversale" a $f\in L^p$. Anche per la continuita' mi pare basti meno di $f\in L^1$ per applicare il teorema della convergenza dominata
- a occhio sembra bastare $e^{-|t|}f(t)\in L^1$. Sempre se non sto prendendo abbagli.

[Principe2]

Certo.. hai ragione.. però era richiesto "dare una condizione perchè".. per cui è sufficiente dare una condizione sufficiente... comunque vabbè.. sono punti di vista.. l'importante è che è giusta. Ecco subito un altro esercizio di analisi.