Analisi 1
ciao a tutti amici..
aiutatemi vi prego:
Sia, per x --> O f = o(cosx -1) e g = o(e^x -1). Allora
lim x-->0 f(x)/g(x) e':
(a) infinito; (b) O; (c) finito, non nullo; d)indeterminato.
grazie
michele
aiutatemi vi prego:
Sia, per x --> O f = o(cosx -1) e g = o(e^x -1). Allora
lim x-->0 f(x)/g(x) e':
(a) infinito; (b) O; (c) finito, non nullo; d)indeterminato.
grazie
michele
Risposte
Direi non nullo, perché il sopra va a zero più lentamente del sotto, al limite come il denominatore.
Direi nullo, visto che $cos[x]-1$è asintoticamente equilalente a $-x^2/2$
mentre $e^x-1$ va come $x$...
quindi $lim_(xto0){cos[x]-1}/{e^x-1}=lim_(xto0){-x^2/2}/x=lim_(xto0)-x/2=0$...
mentre $e^x-1$ va come $x$...
quindi $lim_(xto0){cos[x]-1}/{e^x-1}=lim_(xto0){-x^2/2}/x=lim_(xto0)-x/2=0$...
Non sono convinto, ti faccio un esempio, $f(x) = x^4 = o(x^2)$, $g(x) = 2x^4 = o(x)$, eppure il limite del rapporto è non nullo...
Visto che le notazioni $o$-piccolo e $O$-grande mi sono antipatiche forse trascuro qualcosa..
Nel tuo caso non é
$f(x) = x^4 = o(x^4)$ ?
e ugualmente $g(x) = 2x^4 = o(x^4)$?
Nel tuo caso non é
$f(x) = x^4 = o(x^4)$ ?
e ugualmente $g(x) = 2x^4 = o(x^4)$?
Che io sappia $h(x) = o(k(x))$ se e solo se $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{h(x)}{k(x)} = 0$, detto a parole $h(x)$ va a zero più velocemente di $k(x)$ per $x$ che tende a zero, quindi $x^4$ è un o piccolo sia di $x$ che di $x^2$.
"Tipper":
Direi non nullo, perché il sopra va a zero più lentamente del sotto, al limite come il denominatore.
Ripensandoci però questo mi pare proprio sbagliato...
Va bene allora..
con la tua notazione:
$lim_(xto0)cos[x]-1=-x^2/2$ Dunque $f(x)=x^3$per esempio..
$lim_(xto0)e^x-1=x$ dunque $g(x)=x^2$ per esempio..dico bene fin qui?
$lim_(xto0){f(x)}/{g(x)}=lim_(xto0){x^3}/{x^2}=0$...
ok?
con la tua notazione:
$lim_(xto0)cos[x]-1=-x^2/2$ Dunque $f(x)=x^3$per esempio..
$lim_(xto0)e^x-1=x$ dunque $g(x)=x^2$ per esempio..dico bene fin qui?
$lim_(xto0){f(x)}/{g(x)}=lim_(xto0){x^3}/{x^2}=0$...
ok?
Non mi risulta che $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{e^x-1}=0$... Infatti $x^2$ non è un o piccolo di $e^x-1$.
Come no scusa...
$lim_(xto0)e^x-1=x$...o no?...
$lim_(xto0)e^x-1=x$...o no?...
Hai ragione, scusa.
Resta il fatto che posso prendere $f(x) = x^4$ e $g(x) = x^10000$, e il limite f/g per $x$ che tende a zero non sarebbe più nullo...
"Tipper":
Hai ragione, scusa.
E di che? Mica mi hai sparato..
"Tipper":
Resta il fatto che posso prendere $f(x) = x^4$ e $g(x) = x^10000$, e il limite f/g per $x$ che tende a zero non sarebbe più nullo....
Mah..per questo mi stanno antipatici gli $o$...
alla prossima
che io sappia l'o piccolo lo puoi interpretare come " qualcosa di trascurabile rispetto a".
quindi il testo dice
f è trascurabile rispetto a cox-1 cioè rispetto a {-x^2/2}
g è trascurabile rispetto a (e^x -1) cioè rispetto a x
detto questo il fatto che g per esempio sia trascurabile rispetto ad x non vuol dire che non lo sia anche rispetto a x al quadrato o alla terza.
stessa cosa per f che potrebbe essere trascurabile non solo rispetto a xquadro ma anche rispetto a x alla n.
secondo me quindi con queste informazioni non si può concludere niente perciò io dico indeterminato.
come esempio penso allo sviluppo del seno
posso scrivere sen(x) = x+o(x)....ma anche
sen(x) = x+o(x al quadrato).
Quindi se io non sapessi che dopo nello sviluppo c'è x alla terza non potrei concluder nulla su qulla parete di funzione che sta nell'o piccolo....se non che è trascurabile rispetto ad x.
ditemi voi se così puo essere.
quindi il testo dice
f è trascurabile rispetto a cox-1 cioè rispetto a {-x^2/2}
g è trascurabile rispetto a (e^x -1) cioè rispetto a x
detto questo il fatto che g per esempio sia trascurabile rispetto ad x non vuol dire che non lo sia anche rispetto a x al quadrato o alla terza.
stessa cosa per f che potrebbe essere trascurabile non solo rispetto a xquadro ma anche rispetto a x alla n.
secondo me quindi con queste informazioni non si può concludere niente perciò io dico indeterminato.
come esempio penso allo sviluppo del seno
posso scrivere sen(x) = x+o(x)....ma anche
sen(x) = x+o(x al quadrato).
Quindi se io non sapessi che dopo nello sviluppo c'è x alla terza non potrei concluder nulla su qulla parete di funzione che sta nell'o piccolo....se non che è trascurabile rispetto ad x.
ditemi voi se così puo essere.
"spiritcrusher":
secondo me quindi con queste informazioni non si può concludere niente perciò io dico indeterminato.
Ripensandoci direi anch'io così.
questa' e' stata una domanda dell' esame di analisi,la risposta giusta e' indeerminato..ma non ho capito perche'..
Perché puoi scegliere due funzioni f e g che vanno a zero con la stessa velocità, puoi scegliere una funzione f che va a zero più velocemente di una funzione g, o viceversa.
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