Analisi 1

[knives1]

Sarei grato a chiunque mi aiutasse con questi esercizi.
1) dato l appartenente a N trovare g(l) appartenente a N tale che se |x|< 1/g(l) allora: |1/(1+x) -1| < 1/l

2)dato l appartenente a N trovare g(l) appartenente a N tale che se n >= g(l) allora: 1- 1/l < S[i(1,n)] 1/2^i < 1 + 1/l

S[i(1,n)] 1/2^i sarebbe la sommatoria con i che va da 1 a n di 1/2 elevato a i

3) determinare k appartenente a N tale che se n>=k allora 3^n/n^3 >= 10^9

[Sk_Anonymous]

Ecco le mie soluzioni,per la verita' non so quanto
compatibili con quello che hai studiato.
1) abs(1/(x+1)-1)<1/L (abs =valore assoluto)
da cui successivamente si ha:
-1/L<1/(x+1)-1<+1/L
1-1/L<1/(x+1)<1+1/L
(L-1)/L<1/(x+1)<(L+1)/L
L/(L-1)>x+1>L/(L+1)
L/(L-1)-1>x>L/(L+1)-1 (con L in N e >1)
1/(L-1)>x>-1/(L+1)
ovvero: -1/(L+1) Siccome 1/(L+1)<1/(L-1) si puo' considerare un
intervallo piu' stretto:
-1/(L+1) ovvero abs(x)<1/(L+1)
ne segue che g(L)=1+L (sempre con L in N e >1).


2)la sommatoria non e' altro che la somma dei
primi n termini di una progressione geometrica di
ragione 1/2 e primo termine =1/2;per una nota formula
si ha: S=1/2*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=1-(1/2)^n
Dunque:
1-1/L<1-(1/2)^n<1+1/L da cui successivamente:
-1/L<-(1/2)^n<+1/L e cambiando segno:
1/L>(1/2)^n>-1/L ovvero:

(1/2)^n<1/L cioe'
2^n>L da cui prendendo di ambo i membri il logaritmo in base 2
(indicato con log(2),si ha:
n>log(2(L).
Pertanto ,dovendo essere n>=g(L),bastera' prendere
g(L)=int(log(2)(L+1)) dove int indica la parte intera di log(2)(L+1).

3)Questo esercizio puo' essere risolto in piu' modi.
Ho scelto il metodo della ricorrenza:
prendendo il logaritmo decimale (indicato con Log) di ambo i membri si ha:
nLog3-3Logn>=9--> (1) nLog3>=3Logn+9
quindi nLog3>9-->n>9/Log3=18 (circa)
Sostituendo nel secondo membro della 1:
nLog3>3Log18+9-->n>27 (circa) e risostituendo nella 1:
nLog3>3Log27+9-->n>28 (circa).
Continuando in questo modo si vede che n tende al valore limite 28.
Dunque n>28 ovvero n>=29.Ne segue che k=29.

Spero di non aver fatto troppi errori.
karl.