Analis qualitativa della soluzione di un problema di cauchy
Salve e buon 2017 a tutti!
Sono alle prese con il seguente problema di Cauchy
$ { ( y^{\prime}=y^2-x^2 ),( y(1)=1):} $
e mi si chiede di:
I primi due punti mi sono riusciti, sul terzo pero' sento di essere vicino ma non riesco a formalizzare quello che penso:
in particolare, poiche' dallo studio del segno di $f(x,y)$ risulta che per le coppie $(x,y(x))$ tali che $-x<=y(x)<=x$ il segno della derivata della soluzione e' negativo, se dovesse esistere un $x>=1$ tale per cui in un suo intorno $y(x)$ e' crescente, bisognerebbe che $f(x) $cambi segno, e quindi che $y(x)$ intersechi una bisettrice, ma per farlo dovrebbe essere crescente, assurdo poiche', come detto prima, per le coppie $(x,y(x))$ tali che $-x<=y(x)<=x$ il segno della derivata della soluzione e' negativo, ed $f(x,y)$ e' una funzione continua.
Qualcuno puo' accompagnarmi nel mio ragionamento? O indirizzarmi, nel caso stessi dicendo delle castronerie?
Grazie mille!
G
Sono alle prese con il seguente problema di Cauchy
$ { ( y^{\prime}=y^2-x^2 ),( y(1)=1):} $
e mi si chiede di:
[*:3lggmz4h]studiare zeri e segno della funzione $f(x,y)=y^2-x^2$;[/*:m:3lggmz4h]
[*:3lggmz4h]provare che la soluzione $varphi(x)$ ha massimo relativo per $x=1$;[/*:m:3lggmz4h]
[*:3lggmz4h]verificare che la soluzione $varphi(x)$ decresce per $x in [1,+oo[ $ e che $-x<=varphi(x)<=x$ per $x>=1$;
I primi due punti mi sono riusciti, sul terzo pero' sento di essere vicino ma non riesco a formalizzare quello che penso:
in particolare, poiche' dallo studio del segno di $f(x,y)$ risulta che per le coppie $(x,y(x))$ tali che $-x<=y(x)<=x$ il segno della derivata della soluzione e' negativo, se dovesse esistere un $x>=1$ tale per cui in un suo intorno $y(x)$ e' crescente, bisognerebbe che $f(x) $cambi segno, e quindi che $y(x)$ intersechi una bisettrice, ma per farlo dovrebbe essere crescente, assurdo poiche', come detto prima, per le coppie $(x,y(x))$ tali che $-x<=y(x)<=x$ il segno della derivata della soluzione e' negativo, ed $f(x,y)$ e' una funzione continua.
Qualcuno puo' accompagnarmi nel mio ragionamento? O indirizzarmi, nel caso stessi dicendo delle castronerie?
Grazie mille!
G
Risposte
"gorgeous.george":
... verificare che la soluzione $varphi(x)$ decresce per $x in [0,+oo[ $ e che ...
Molto probabilmente intendevi scrivere che la soluzione $varphi(x)$ debba decrescere per $x in ]1,+oo[$.
svista mia! grazie della correzione: l'esatta richiesta era "verificare che sia decrescente per $x in [1,+oo ]$"
Scusa se ritorno sul secondo punto, insomma, è facile non essere sufficientemente rigorosi. Ad ogni modo, io calcolerei la derivata seconda:
$[y''(x)=2*y(x)*y'(x)-2*x] rarr [y''(1)=2*y(1)*y'(1)-2=-2]$
$[y''(x)=2*y(x)*y'(x)-2*x] rarr [y''(1)=2*y(1)*y'(1)-2=-2]$
"anonymous_0b37e9":
Scusa se ritorno sul secondo punto, insomma, è facile non essere sufficientemente rigorosi. Ad ogni modo, io calcolerei la derivata seconda:
$[y''(x)=2*y(x)*y'(x)-2*x] rarr [y''(1)=2*y(1)*y'(1)-2=-2]$
Certo,anche io ho fatto cosi'. Forse non ho capito cosa intendi dire. Il mio dubbio era solo sul terzo punto, ma ho aggiunto i primi due poiche' contenevano dei risultati utili allo svolgimento del terzo, secondo me.
Grazie per l'interessamento intanto!
G
"gorgeous.george":
... e quindi che $y(x)$ intersechi una bisettrice, ma per farlo dovrebbe essere crescente ...
Non ho ben compreso che cosa tu intenda. Ad ogni modo, se esistesse $[x_1 gt 1]$ in cui la soluzione è crescente, dovrebbe esistere anche $[1 lt x_2 lt x_1]$ in cui la medesima soluzione interseca la bisettrice del 2° e del 4° quadrante, da ordinate maggiori a ordinate minori, con tangente orizzontale: assurdo. Se lo ritieni necessario, andrebbe formalizzato.
Intendo quello che intendi tu, infatti se $EE x_0>1$ tale che $y(x_0)=x_0$, (ovvero $y(x)$ in tale punto interseca la bisettrice primo-terzo quadrante), allora si ha $y^{\prime}(x_0)=0$.
Grazie comunque, ho la conferma che il mio ragionamento ha un senso e non mi sono perso in qualche tautologia. Per la formalizzazione, forse non e' nemmeno necessaria, trattandosi di uno svolgimento qualitativo. Altrimenti non avrei idee su come formalizzare al momento.
Grazie ancora
G
Grazie comunque, ho la conferma che il mio ragionamento ha un senso e non mi sono perso in qualche tautologia. Per la formalizzazione, forse non e' nemmeno necessaria, trattandosi di uno svolgimento qualitativo. Altrimenti non avrei idee su come formalizzare al momento.
Grazie ancora
G
Ok, ma perché consideri l'altra bisettrice?
in effetti non ha senso farlo, mi sono confuso per il fatto che su entrambe le bisettrici $y^{\prime}(x)$ si annulla.
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