An. Complessa, derivabilità

[nato_pigro1]

Supponiamo che $f:A->CC^m$ (con $AsubCC^n$) sia derivabile in senso reale cioè che $f \circ c$ è derivabile dove $c$ è la funzione canonica che va da $RR^(2*n)->C^n$.
Allora diciamo che $f$ è derivabile in senso complesso se valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, e cioè se
$i*\del_{2j-1}(f \circ c)=\del_{2j}(f \circ c)$

Giusto?

Ora però se prendo la funzione $f(x+i*y)=x^2*y+i*x*y^2$ vedo che le condizioni di Cauchy-Riemann non sono verificate, per cui dovrei concluderne che la mia $f$ non è derivabile, ma la $f$ è praticamente un polinomio, nel mio immaginario "reale" è una delle cose più derivabili che c'è...

[ciampax]

Dovrebbe essere un polinomio nella sola $z$, qui hai due polinomi in $x,y$. Prova a riscrivere parte reale e parte immaginaria di quella funzione sostituendo $x=\frac{z+\bar{z}}{2},\ y=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ e vedi cosa ottieni. Tra l'altro, le equazioni di Cauchy-Riemann (e quindi la derivabilità, o, meglio, l'olomorfia) sono collegate anche al fatto che [tex]$\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=0$[/tex] dove [tex]$\frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)$[/tex].