Ammette massimo relativo?
Ciao a tutti
mi trovo davanti al seguente quesito:
La funzione $f(x,y)= e^(-3xy)$ ammette massimo relativo?
espongo la mia linea di ragionamento (premetto che sono all'inizio del mio studio di algebra lineare quindi ci sono parecchie cose che non ho capito):
1) so che per i punti di max e min dobbiamo usare il metodo dell'hessiano (quindi è probabile che la soluzione al mio quesito sia che se ricavo dai calcoli 2 punti di massimo una dei due sarà un max relativo.......... però vorrei una conferma
)
2)in analisi matematica quando si lavorava con una sola incognita (bei tempi !
) si avevano per ogni funzione dei "grafici base" che a grandi linee ti potevano dare un'idea della funzione che avevi davanti; è così anche in funz. di più incognite?
grazie $10^3$ a chiunque mi chiarirà questi dubbi
mi trovo davanti al seguente quesito:
La funzione $f(x,y)= e^(-3xy)$ ammette massimo relativo?
espongo la mia linea di ragionamento (premetto che sono all'inizio del mio studio di algebra lineare quindi ci sono parecchie cose che non ho capito):
1) so che per i punti di max e min dobbiamo usare il metodo dell'hessiano (quindi è probabile che la soluzione al mio quesito sia che se ricavo dai calcoli 2 punti di massimo una dei due sarà un max relativo.......... però vorrei una conferma
) 2)in analisi matematica quando si lavorava con una sola incognita (bei tempi !
) si avevano per ogni funzione dei "grafici base" che a grandi linee ti potevano dare un'idea della funzione che avevi davanti; è così anche in funz. di più incognite?grazie $10^3$ a chiunque mi chiarirà questi dubbi
Risposte
[mod="cirasa"]Sposto in Analisi matematica.[/mod]
Innanzitutto l'insieme di definizione di questa funzione è:
$ ID = RR^2 $
Per calcolare gli eventuali max e min relativi, devi porre che il gradiente della funzione sia uguale a $0$ ( $ nabla f(x,y) = 0 $ ), cioè devi calcolare le 2 derivate parziali e poi porle uguali a $0$ per determinare i punti stazionari.
Quindi hai:
$ fx(x,y) = -3ye^(-3xy) $
$ fy(x,y) = -3xe^(-3xy) $
Devi quindi trovare i punti stazionari studiando il sistema:
$ { ( -3ye^(-3xy) = 0 ),( -3xe^(-3xy) = 0):} $
Trovi banalmente che l'unico punto stazionario è il punto $A(0.0)$.
Per costruire la matrice Hessiana, devi trovare le derivate seconde:
$ fxy(x,y) = -3e^(-3xy) + 9xye^(-3xy) $
$ fyx(x,y) = -3e^(-3xy) + 9xye^(-3xy) $
$ fxx (x,y) = 9y^2e^(-3xy) $
$ fyy(x,y) = 9x^2e^(-3xy) $
Nel punto $A(0,0)$ le derivate scritte valgono:
$ fxy(0,0) = -3 $
$ fyx(0,0) = - 3 $
$ fxx(0,0) = 0 $
$ fyy(0,0) = 0 $
Pertanto la matrice Hessiana calcolata nel punto $A(0,0)$ sarà così costituita:
$ H(0,0) = ( ( 0 , -3 ),( -3 , 0 ) ) $
Il determinante di questa matrice vale: $detH(0,0) = - 9 $.
Poichè $detH(0,0) < 0$, allora il punto $A(0,0)$ è un punto di sella.
$ ID = RR^2 $
Per calcolare gli eventuali max e min relativi, devi porre che il gradiente della funzione sia uguale a $0$ ( $ nabla f(x,y) = 0 $ ), cioè devi calcolare le 2 derivate parziali e poi porle uguali a $0$ per determinare i punti stazionari.
Quindi hai:
$ fx(x,y) = -3ye^(-3xy) $
$ fy(x,y) = -3xe^(-3xy) $
Devi quindi trovare i punti stazionari studiando il sistema:
$ { ( -3ye^(-3xy) = 0 ),( -3xe^(-3xy) = 0):} $
Trovi banalmente che l'unico punto stazionario è il punto $A(0.0)$.
Per costruire la matrice Hessiana, devi trovare le derivate seconde:
$ fxy(x,y) = -3e^(-3xy) + 9xye^(-3xy) $
$ fyx(x,y) = -3e^(-3xy) + 9xye^(-3xy) $
$ fxx (x,y) = 9y^2e^(-3xy) $
$ fyy(x,y) = 9x^2e^(-3xy) $
Nel punto $A(0,0)$ le derivate scritte valgono:
$ fxy(0,0) = -3 $
$ fyx(0,0) = - 3 $
$ fxx(0,0) = 0 $
$ fyy(0,0) = 0 $
Pertanto la matrice Hessiana calcolata nel punto $A(0,0)$ sarà così costituita:
$ H(0,0) = ( ( 0 , -3 ),( -3 , 0 ) ) $
Il determinante di questa matrice vale: $detH(0,0) = - 9 $.
Poichè $detH(0,0) < 0$, allora il punto $A(0,0)$ è un punto di sella.
Innanzitutto devi trovare i punti critici; cosa che viene agevole ponendo a zero il risultato del gradiente di questa funzione.
In particolare si troveranno sulla bisettrice $x=y$
Per capire se esistono massimo e minimo assoluto, devi fare il limite ad infinito (più e meno) della funzione stessa. Se tende ad infinito (meno infinito) allora non esistono; in questo caso i punti critici che trovi, potranno essere solo relativi o di sella.
Ops, Hawk ti ha già fatto tutto
In particolare si troveranno sulla bisettrice $x=y$
Per capire se esistono massimo e minimo assoluto, devi fare il limite ad infinito (più e meno) della funzione stessa. Se tende ad infinito (meno infinito) allora non esistono; in questo caso i punti critici che trovi, potranno essere solo relativi o di sella.
Ops, Hawk ti ha già fatto tutto
tante grazie, siete mitici!!!!!! 
NOTA: E' sbagliato dire "funzioni di più incognite", mentre è corretto "funzioni di più variabili".
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