Ammette massimi o minimi?
$A = {[(-1)^n (n + sqrt(4 n^2 +1))/n :n = 1,2,3....}$
Devo verificare se ammette massimi o minimi, oppure nessuno di entrambi ecc..
Io di solito mi calcolo $an$ per $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$
poi faccio $a_(n+1) < an$ per verificare se magari è decrescente in senso stretto, cosi magari attribuisco ad $an$ il valore di massimo..
però in questo caso non saprei come fare. E' presente anche $(-1)^n$. Qualcuno potrebbe spiegarmi il ragionamento spiegandomi attraverso input il procedimento. I calcoli m arrangio ovviamente da solo. Piuttosto vorrei capire il ragionamento che ci sta dietro per riuscire a risolvere sempre questa tipologia di esercizio
Devo verificare se ammette massimi o minimi, oppure nessuno di entrambi ecc..
Io di solito mi calcolo $an$ per $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$
poi faccio $a_(n+1) < an$ per verificare se magari è decrescente in senso stretto, cosi magari attribuisco ad $an$ il valore di massimo..
però in questo caso non saprei come fare. E' presente anche $(-1)^n$. Qualcuno potrebbe spiegarmi il ragionamento spiegandomi attraverso input il procedimento. I calcoli m arrangio ovviamente da solo. Piuttosto vorrei capire il ragionamento che ci sta dietro per riuscire a risolvere sempre questa tipologia di esercizio
Risposte
l'insieme lo puoi riscrivere come $(-1)^n[1+sqrt(4+1/(n^2))]$.
$1+sqrt(4+1/n^2) > 0$ quindi per n pari l'insieme è costituito da punti positivi, se è dispari sono negativi.
per $n-> +oo$ l'insieme tende a $+- 3$. per gli n dispari tende a -3 da sinistra mentre per n pari tende a +3 da destra. di conseguenza ammette max/min ed in particolare sono assunti rispettivamente per $n=2 ^^ n=1$
$1+sqrt(4+1/n^2) > 0$ quindi per n pari l'insieme è costituito da punti positivi, se è dispari sono negativi.
per $n-> +oo$ l'insieme tende a $+- 3$. per gli n dispari tende a -3 da sinistra mentre per n pari tende a +3 da destra. di conseguenza ammette max/min ed in particolare sono assunti rispettivamente per $n=2 ^^ n=1$
Hai fatto la derivata prima per trovare $n = 2$ e $n = 1$?
assolutamente no. ho ragionato sulla forma dell'insieme.
se tende a -3 da sinistra significa che con il primo indice dispari (in questo caso 1) si ottiene un punto che sta più a sinistra di -3. man mano poi che gli indici dispari si incrementano, i punti dell'insieme si avvicinano sempre di più a -3. di conseguenza il primo valore che l'insieme aveva assunto era il valore più piccolo che l'insieme ha assunto. dunque è minimo.
per gli indici pari ragionamento analogo.
in questo tipo di esercizi a mio avviso è essenziale un disegno dell'insieme. se lo facessi ti accorgeresti che hai un punto più spostato da -3 e poi una sequenza di punti che via via si avvicinano e si infittiscono sempre più attorno a -3.
analogamente hai un numero più spostato (a destra) di +3 e poi una sequenza di punti sempre più vicini a +3.
a questo punto è facile vedere che il valore più grande assunto dall'insieme è quello all'estrema destra dello zero mentre quello più piccolo all'estrema sinistra.
spero sia chiaro.
"cooper":
per gli n dispari tende a -3 da sinistra
se tende a -3 da sinistra significa che con il primo indice dispari (in questo caso 1) si ottiene un punto che sta più a sinistra di -3. man mano poi che gli indici dispari si incrementano, i punti dell'insieme si avvicinano sempre di più a -3. di conseguenza il primo valore che l'insieme aveva assunto era il valore più piccolo che l'insieme ha assunto. dunque è minimo.
per gli indici pari ragionamento analogo.
in questo tipo di esercizi a mio avviso è essenziale un disegno dell'insieme. se lo facessi ti accorgeresti che hai un punto più spostato da -3 e poi una sequenza di punti che via via si avvicinano e si infittiscono sempre più attorno a -3.
analogamente hai un numero più spostato (a destra) di +3 e poi una sequenza di punti sempre più vicini a +3.
a questo punto è facile vedere che il valore più grande assunto dall'insieme è quello all'estrema destra dello zero mentre quello più piccolo all'estrema sinistra.
spero sia chiaro.
Grazie mille, ora ho capito!!
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