Ambito su cui operare con la trasformata di Fourier...
Salve a tutti ragazzi, sto cercando di capire quali siano i passaggi da fare per stabilire quale sia l'ambito sul quale operare la trasformata di Fourier (classico o distribuzionale...)
Si abbia una funzione $f:R->C$ e se ne voglia calcolare la trasformata di Fourier; per prima cosa è necessario stabilire l'ambito sul quale operare la trasformata.
-Ambito classico: affinché $f$ sia trasformabile in ambito classico, deve accadere che $f$ appartiene a $L'(R)={f:R->C: EE int_-infty^(+infty) |f(x)|dx < +infty }$.
Si tratta quindi di provare che $EE I=int_-infty^(+infty) |f(x)|dx < +infty $
Affinché $I$ converga $|f(x)|$ deve risultare infinitesima (in caso contrario $I$ diverge!).
Se $|f(x)|$ è infinitesima (e continua, ovviamente) si possono applicare i seguenti criteri:
$i)$ se $lim_(x->+-infty) |x||f(x)|>0$ allora $I$ diverge.
$ii)$ se $lim_(x->+-infty) |x|^alpha|f(x)|<+infty$, con $alpha>1$, allora $I$ converge.
Se $I$ diverge, la trasformata di Fourier di $f(x)$ deve essere fatta in ambito distribuzionale; resta dunque da provare che $f(x)$ è a crescita lenta e, per far ciò, si deve verificare che $f(x)=p(x)*F(x)$ ove $p(x)$ è un polinomio e $F(x)inL'(R)$.
Questo "algoritmo", a vostro parere, è corretto o bisogna fare qualche altra considerazione? E' sufficiente operare in tal modo per provare che f(x) è a crescita lenta? E ancora... Tutte le distribuzioni temperate sono definite da una funzione a crescita lenta? E ancora... La somma di due funzioni a crescita lenta è ancora una funzione a crescita lenta?
Si abbia una funzione $f:R->C$ e se ne voglia calcolare la trasformata di Fourier; per prima cosa è necessario stabilire l'ambito sul quale operare la trasformata.
-Ambito classico: affinché $f$ sia trasformabile in ambito classico, deve accadere che $f$ appartiene a $L'(R)={f:R->C: EE int_-infty^(+infty) |f(x)|dx < +infty }$.
Si tratta quindi di provare che $EE I=int_-infty^(+infty) |f(x)|dx < +infty $
Affinché $I$ converga $|f(x)|$ deve risultare infinitesima (in caso contrario $I$ diverge!).
Se $|f(x)|$ è infinitesima (e continua, ovviamente) si possono applicare i seguenti criteri:
$i)$ se $lim_(x->+-infty) |x||f(x)|>0$ allora $I$ diverge.
$ii)$ se $lim_(x->+-infty) |x|^alpha|f(x)|<+infty$, con $alpha>1$, allora $I$ converge.
Se $I$ diverge, la trasformata di Fourier di $f(x)$ deve essere fatta in ambito distribuzionale; resta dunque da provare che $f(x)$ è a crescita lenta e, per far ciò, si deve verificare che $f(x)=p(x)*F(x)$ ove $p(x)$ è un polinomio e $F(x)inL'(R)$.
Questo "algoritmo", a vostro parere, è corretto o bisogna fare qualche altra considerazione? E' sufficiente operare in tal modo per provare che f(x) è a crescita lenta? E ancora... Tutte le distribuzioni temperate sono definite da una funzione a crescita lenta? E ancora... La somma di due funzioni a crescita lenta è ancora una funzione a crescita lenta?
Risposte
Vi allego un esempio.
Si calcoli nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier della funzione
$g(t)=t^4/(2t^2+1) + |sintcost|$
Osservando che $g(t)$ non è infinitesima si può dedurre immediatamente che non appartiene a $L'(R)$; la trasformata va dunque fatta in ambito distribuzionale. Resta da provare che $g(t)$ è a crescita lenta.
Per provare ciò io analizzerei i due termini (assumendo che la somma di due funzioni a crescita lenta sia ancora una funzione a crescita lenta...)
Per quanto riguarda il primo termine, ponendo $p(t)=t^4$ e $F(t)=1/(2t^2+1) in L'(R)$ si trova subito che esso è a crescita lenta.
Per quanto riguarda il secondo termine della somma, esso si può riscrivere come: $(t^2+1)*|sintcost|/(t^2+1)$; ponendo $p(t)=1+t^2$ e $F(t)=|sintcost|/(t^2+1)$ (che ha lo stesso comportamento di 1/t^2....) esso risulta a crescita lenta.
Da qui segue che $g(t)$ è a crescita lenta e la trasformata di Fourier va fatta in ambito distribuzionale...
Si calcoli nell'opportuno ambito la trasformata di Fourier della funzione
$g(t)=t^4/(2t^2+1) + |sintcost|$
Osservando che $g(t)$ non è infinitesima si può dedurre immediatamente che non appartiene a $L'(R)$; la trasformata va dunque fatta in ambito distribuzionale. Resta da provare che $g(t)$ è a crescita lenta.
Per provare ciò io analizzerei i due termini (assumendo che la somma di due funzioni a crescita lenta sia ancora una funzione a crescita lenta...)
Per quanto riguarda il primo termine, ponendo $p(t)=t^4$ e $F(t)=1/(2t^2+1) in L'(R)$ si trova subito che esso è a crescita lenta.
Per quanto riguarda il secondo termine della somma, esso si può riscrivere come: $(t^2+1)*|sintcost|/(t^2+1)$; ponendo $p(t)=1+t^2$ e $F(t)=|sintcost|/(t^2+1)$ (che ha lo stesso comportamento di 1/t^2....) esso risulta a crescita lenta.
Da qui segue che $g(t)$ è a crescita lenta e la trasformata di Fourier va fatta in ambito distribuzionale...
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