[AM2] Dominio Normale in R3
Salve a tutti 
Il seguente esercizio mi risulta "strano" da completare nella prima parte, potreste mica darmi delucidazioni in merito?
Stabilire se il dominio di $D={(x,y,z):z^2<=x^2+y^2, z>=x^2+y^2}$ è normale.
Determinarne poi le sue limitazioni in coordinate cilindriche.
Andando "ad occhio" direi che il dominio è normale a $z$, ma né ne sono certo, né ne ho la prova, quindi mi metto nelle vostre mani per una dimostrazione tangibile di questa cosa.
Per le limitazioni in coordinate cilindriche, ho semplicemente sostituito $x$,$y$ con le coordinate $ρcosθ$,$ρsinθ$ rispettivamente. Trovando quindi un dominio $C={(ρcosθ,ρsinθ,z):z^2<=ρ^2, z>=ρ^2}$. Vi sembra giusto?
Grazie in anticipo
Il seguente esercizio mi risulta "strano" da completare nella prima parte, potreste mica darmi delucidazioni in merito?
Stabilire se il dominio di $D={(x,y,z):z^2<=x^2+y^2, z>=x^2+y^2}$ è normale.
Determinarne poi le sue limitazioni in coordinate cilindriche.
Andando "ad occhio" direi che il dominio è normale a $z$, ma né ne sono certo, né ne ho la prova, quindi mi metto nelle vostre mani per una dimostrazione tangibile di questa cosa.
Per le limitazioni in coordinate cilindriche, ho semplicemente sostituito $x$,$y$ con le coordinate $ρcosθ$,$ρsinθ$ rispettivamente. Trovando quindi un dominio $C={(ρcosθ,ρsinθ,z):z^2<=ρ^2, z>=ρ^2}$. Vi sembra giusto?
Grazie in anticipo
Risposte
Le coordinate cilindriche ti permettono anche di dimostrare che il dominio è normale. Tuttavia tu hai solo riscritto le condizioni nelle nuove coordinate, ma non hai specificato come variano $\rho,\ \theta,\ z$.
Grazie per la risposta
Ma.. in che modo potrebbero portarmi a dire che $D$ è normale?
Per quanto riguarda la variazione delle limitazioni, invece, come potrei ottenerle?
Ma.. in che modo potrebbero portarmi a dire che $D$ è normale?
Per quanto riguarda la variazione delle limitazioni, invece, come potrei ottenerle?
Per ovvie questioni di simmetria, dal momento che le due superfici sono entrambe di rotazione attorno all'asse $z$, puoi affermare che $\theta\in[0,2\pi]$. Se ora disegni, nel piano $\rho O z$ le due curve $z^2=\rho^2,\ z=\rho^2$, tenendo conto che $\rho\ge0$ per definizione, dovrebbe riuscirti semplice capire come variano $z$ e $\rho$. Se a quel punto fai vedere che $z\in[a,b]$ con gli estremi due costanti indipendenti da $\rho$, allora hai dimostrato anche la normalità rispetto a $z$.
Perfetto ho colto tutto.
Grazie per la spiegazione chiarissima
ho colto tutto.Grazie per la spiegazione chiarissima
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