Altro semplice integrale doppio
Calcolare l'integrale doppio di
$log(1+x^2+y^2)$
esteso alla porzione di cerchio di centro l'origine e raggio 2 contwnuta nel secondo quadrante.
Risolvo in coordinate polari ed ottengo che $0<=\rho<=2$ e $(\pi)/2<=\theta<=\pi$
Ho fatto bene?
dopodiche vado a scrivere l'integrale e mi viene $\int_0^2d(\rho)*int_(\pi/2)^(\pi)(\rho)d(\theta)$
svolgendo tutti calcoli mi ritrovo questo integrale semplice .....
$\int_0^2log(1+(\rho)^2)(\rho)(\pi)/2d(\rho)$
ed è qui che io mi intoppo... dovrei risolverlo per parti??
Non riesco a proseguire ....
$log(1+x^2+y^2)$
esteso alla porzione di cerchio di centro l'origine e raggio 2 contwnuta nel secondo quadrante.
Risolvo in coordinate polari ed ottengo che $0<=\rho<=2$ e $(\pi)/2<=\theta<=\pi$
Ho fatto bene?
dopodiche vado a scrivere l'integrale e mi viene $\int_0^2d(\rho)*int_(\pi/2)^(\pi)(\rho)d(\theta)$
svolgendo tutti calcoli mi ritrovo questo integrale semplice .....
$\int_0^2log(1+(\rho)^2)(\rho)(\pi)/2d(\rho)$
ed è qui che io mi intoppo... dovrei risolverlo per parti??
Non riesco a proseguire ....
Risposte
Il quadrante è il primo? Beh allora non è corretto il range angolare.
L'integrale comunque verrà del tipo
[tex]\displaystyle\int x\log(1+x^2)\text{d}x=\frac{1}{2}\int 2x\log(1+x^2)\text{d}x=\frac{1}{2}\int \log(1+x^2)\text{d}x^2=\int \log(y)\text{d}y[/tex]
avendo sostituito [tex]y=x^2+1[/tex].Da qui dovresti riuscire a proseguire.
L'integrale comunque verrà del tipo
[tex]\displaystyle\int x\log(1+x^2)\text{d}x=\frac{1}{2}\int 2x\log(1+x^2)\text{d}x=\frac{1}{2}\int \log(1+x^2)\text{d}x^2=\int \log(y)\text{d}y[/tex]
avendo sostituito [tex]y=x^2+1[/tex].Da qui dovresti riuscire a proseguire.
scusami Lomax !!! Ho sbagliato a scrivere la traccia.....
E' il secondo quadrante .... ora correggo scusami tanto ,....
E' il secondo quadrante .... ora correggo scusami tanto ,....
comunque non ho ben capito come hai fatto a fare quella sostituzione....
Ok allora gli estremi angolari sono corretti.
Cosa non ti è chiaro dei passaggi?
Cosa non ti è chiaro dei passaggi?
non mi è chiaro come ti sei trovato $d(x^2)$ ... hai moltiplicato $dx$ per $x$ questo lo so.... però lì in virtu della sostitsione che hai fatto non ci dovrebbe essere $d(y-1)$ ?... ti chiedo questo anche perchè fino ad adesso che me l'hai fatto notare non pensavo che "fosse lecito" fare un passaggio di questo tipo e moltiplicare $dx$ per $x$...tutto qua ... 
GRAZIE PER LA PAZIENZA
GRAZIE PER LA PAZIENZA
Poi è normale che un integrale del tipo $\intlog(y)dy$
lo saprei risolvere senza problemi... lo si risolverebbe per parti... sono i passaggi preliminari che non ho ben chiari...
lo saprei risolvere senza problemi... lo si risolverebbe per parti... sono i passaggi preliminari che non ho ben chiari...
Puoi notare che:
[tex]\dfrac{\text{d}x^2}{\text{d}x}=2x[/tex]
ovvero [tex]\text{d}x^2=2x\text{d}x[/tex]
Analogamente, sostituendo [tex]y=x^2+1[/tex]
[tex]\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x^2}=\dfrac{\text{d}(x^2+1)}{\text{d}x^2}=1[/tex]
ovvero [tex]\text{d}y=\text{d}x^2[/tex]
[tex]\dfrac{\text{d}x^2}{\text{d}x}=2x[/tex]
ovvero [tex]\text{d}x^2=2x\text{d}x[/tex]
Analogamente, sostituendo [tex]y=x^2+1[/tex]
[tex]\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x^2}=\dfrac{\text{d}(x^2+1)}{\text{d}x^2}=1[/tex]
ovvero [tex]\text{d}y=\text{d}x^2[/tex]
aaaaa ho capito grazie grazie... scusami per l'ignoranza 
scusami per l'ignoranza
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo