Altro integrale...facile
[tex]\int \frac{sin2x}{2+cos^2x}[/tex]
A me sembra che se scrivo:
[tex]\int\frac{2sinxcosx}{2+cos^2x}[/tex]
Al numeratore ho esattamente la derivata del denominatore tranne per il fatto che ci vuole un segno negativo...allora il risultato non è:
[tex]-log|2+cos^2x|[/tex] ?
A me sembra che se scrivo:
[tex]\int\frac{2sinxcosx}{2+cos^2x}[/tex]
Al numeratore ho esattamente la derivata del denominatore tranne per il fatto che ci vuole un segno negativo...allora il risultato non è:
[tex]-log|2+cos^2x|[/tex] ?
Risposte
si e puoi anche togliere il modulo perchè $cos^2 x +2 >0$
Ah benissimo...e una cosa...in quest'altro invece:
[tex]\int \frac{e^x+1}{e^{2x}+4}dx[/tex] Ho pensato di usare la sostituzione:
[tex]e^x=t[/tex] [tex]x=logt[/tex] e [tex]dx=\frac{1}{t}dt[/tex]
Quindi ho:
[tex]\int \frac{t+1}{t^2+4}*\frac{1}{t}dt[/tex]
Ora...come si dovrebbe continuare?
Con la proprietà di linearità può servire separare in somma di due integrali?
[tex]\int \frac{e^x+1}{e^{2x}+4}dx[/tex] Ho pensato di usare la sostituzione:
[tex]e^x=t[/tex] [tex]x=logt[/tex] e [tex]dx=\frac{1}{t}dt[/tex]
Quindi ho:
[tex]\int \frac{t+1}{t^2+4}*\frac{1}{t}dt[/tex]
Ora...come si dovrebbe continuare?
Con la proprietà di linearità può servire separare in somma di due integrali?
Linearità e poi fratti semplici (per il pezzo che non si integra "ad occhio"), per me.
[tex]\int\frac{1}{t^2+4}dt+\int\frac{1}{t^3+4t}dt[/tex]
Mi sembra....sia così, ora il primo l'ho risolto, (credo) per l'altro....sto avendo un attimo di perplessità sulla scomposizione del denominatore...non capisco come scomporlo, anche senza moltiplicare la t come ho fatto io avrei [tex]t^2+4[/tex] che è una somma di quadrati...che non si può scomporre.
Mi sembra....sia così, ora il primo l'ho risolto, (credo) per l'altro....sto avendo un attimo di perplessità sulla scomposizione del denominatore...non capisco come scomporlo, anche senza moltiplicare la t come ho fatto io avrei [tex]t^2+4[/tex] che è una somma di quadrati...che non si può scomporre.
per il primo integrale basta che metti in evidenza il 4 al denominatore e ti viene la derivata di arctg ($x/2$)
quindi il primo integrale dovrebbe fare $1/4 arctg (x/2)$ (sbagliato )
il secondo integrale si scompone in fratti semplici
$1/(t*(t^2 +4)) = A/t + (ht+k)/(t^2 +4)$
$(A+h)t^2 +kt +4A=1$
quindi per il principio di identità dei polinomi
A+h=0
k=0
A=1/4
h=-1/4
$int 1/t(t^2+4) dt= 1/4 int 1/t dt -1/4 int t/(t^2+4) dt=1/4 logt - 1/8 log(t^2 +4)$
quindi il primo integrale dovrebbe fare $1/4 arctg (x/2)$ (sbagliato )
il secondo integrale si scompone in fratti semplici
$1/(t*(t^2 +4)) = A/t + (ht+k)/(t^2 +4)$
$(A+h)t^2 +kt +4A=1$
quindi per il principio di identità dei polinomi
A+h=0
k=0
A=1/4
h=-1/4
$int 1/t(t^2+4) dt= 1/4 int 1/t dt -1/4 int t/(t^2+4) dt=1/4 logt - 1/8 log(t^2 +4)$
Ah.........rimango sempre allibito....e il secondo....più o meno...come pensi si possa fare?
Avevo pensato alla stessa cosa, dovrei mettere in evidenza [tex]t^3[/tex] però non so se funziona.
Avevo pensato alla stessa cosa, dovrei mettere in evidenza [tex]t^3[/tex] però non so se funziona.
"Darèios89":
Avevo pensato alla stessa cosa, dovrei mettere in evidenza [tex]t^3[/tex] però non so se funziona.
Decomposizione in fratti semplici, questa sconosciuta...
"anticristo":
per il primo integrale basta che metti in evidenza il 4 al denominatore e ti viene la derivata di arctg ($x/2$)
quindi il primo integrale dovrebbe fare 1/4 arctg (x/2)
Sei sicuro?
Fatti la derivata e vedi.
[mod="Steven"]Vale il consiglio di prima, rifletti prima di postare. Non costringermi a ripetermi.[/mod]
Scusa ma io ho scomposto prima in fratti semplici e mi sono trovato due integrali, se ho [tex]\frac{1}{t^3+4t}[/tex] come faccio a dividere in fratti semplici?
[tex]\frac{n+1}{n}[/tex] lo divido in fratti come [tex]1+\frac{1}{n}[/tex]
Ma in quel caso come posso scriverlo?
[tex]\frac{n+1}{n}[/tex] lo divido in fratti come [tex]1+\frac{1}{n}[/tex]
Ma in quel caso come posso scriverlo?
Per il secondo integrale puoi riscrivere la funzione integranda così :
$1/(t^3+4t) =1/[t(t^2+4)] $.
Il metodo dei fratti semplici ( che faresti bene ad andare a vedere se già non lo conosci) permette di esprimere $ 1/[t(t^2+4)] $ come somma di elementi poi facilmente integrabili cioè si ha :
$ 1/[t(t^2+4)] = A/t +(Bt)/(t^2+4)$ con le costanti $A,B $ da determinare sfruttando il principio di identità dei polinomi...
$1/(t^3+4t) =1/[t(t^2+4)] $.
Il metodo dei fratti semplici ( che faresti bene ad andare a vedere se già non lo conosci) permette di esprimere $ 1/[t(t^2+4)] $ come somma di elementi poi facilmente integrabili cioè si ha :
$ 1/[t(t^2+4)] = A/t +(Bt)/(t^2+4)$ con le costanti $A,B $ da determinare sfruttando il principio di identità dei polinomi...
Ma non conosci il metodo con A,B,C poi fai un sistema e trovi questi coefficenti?
Aggiungo a ciò che ha detto Steven, che abbiamo precedenti di gente sospesa per evidenti scorrettezze matematiche (ché confondono gli utenti meno ferrati in materia).
Quindi consiglio ad anticristo di controllare bene ciò che scrive.
Quindi consiglio ad anticristo di controllare bene ciò che scrive.
Ma per il primo com'era il giochino che ti riportava ad arcotangente?
Intendo $1/(t^2+4)$ mi pare si doveva 'giocare' moltiplicando e dividendo ma non mi scappa il risultato giusto.
Intendo $1/(t^2+4)$ mi pare si doveva 'giocare' moltiplicando e dividendo ma non mi scappa il risultato giusto.
Infattti gugo ha corretto dicendo che non è vera questa cosa della derivata della tangente, ora è pronto in tavola, tra poco riprendo l'integrale, quello che ha detto camillo mi sembra corretto, non ci avevo pensato.
"Darèios89":
Infattti gugo ha corretto dicendo che non è vera questa cosa della derivata della tangente [...]
Ma nient'affatto.
Infatti [tex]$\int \frac{1}{t^2+4}\ \text{d} t$[/tex] è un'arcotangente (precisamente [tex]$\tfrac{1}{2}\ \arctan \tfrac{1}{2}\ t$[/tex]); è l'altro pezzo che va calcolato con la tecnica dei fratti semplici.
"gugo82":
[quote="Darèios89"]Infattti gugo ha corretto dicendo che non è vera questa cosa della derivata della tangente [...]
Ma nient'affatto.
Infatti [tex]$\int \frac{1}{t^2+4}\ \text{d} t$[/tex] è un'arcotangente (precisamente [tex]$\tfrac{1}{2}\ \arctan \tfrac{1}{2}\ t$[/tex]); è l'altro pezzo che va calcolato con la tecnica dei fratti semplici.[/quote]
Ti spiace scrivere i passaggi?Grazie
"edge":
[quote="gugo82"]Infatti [tex]$\int \frac{1}{t^2+4}\ \text{d} t$[/tex] è un'arcotangente (precisamente [tex]$\tfrac{1}{2}\ \arctan \tfrac{1}{2}\ t$[/tex]) [...]
Ti spiace scrivere i passaggi?Grazie[/quote]
Beh, basta notare che:
[tex]$\frac{1}{4+t^2} =\frac{1}{4}\ \frac{1}{1+(\tfrac{t}{2})^2} =\frac{1}{2}\ \frac{\tfrac{1}{2}}{1+(\tfrac{t}{2})^2}$[/tex].
"gugo82":
[quote="edge"][quote="gugo82"]Infatti [tex]$\int \frac{1}{t^2+4}\ \text{d} t$[/tex] è un'arcotangente (precisamente [tex]$\tfrac{1}{2}\ \arctan \tfrac{1}{2}\ t$[/tex]) [...]
Ti spiace scrivere i passaggi?Grazie[/quote]
Beh, basta notare che:
[tex]$\frac{1}{4+t^2} =\frac{1}{4}\ \frac{1}{1+(\tfrac{t}{2})^2} =\frac{1}{2}\ \frac{\tfrac{1}{2}}{1+(\tfrac{t}{2})^2}$[/tex].[/quote]
Scusa ma io non capisco questi passaggi che so che sono corretti ma non capisco.
[tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex] dovrebbe essere l'arcotangente, perchè in questa formula di base non ho nessuna derivata al numeratore ma nel mio esercizio bisogna ricrearsela a quanto hai fatto tu prima?
Non ho capito cosa bisogna fare per ricrearsi l'arcotangente, prima c'era un quarto ora c'è un mezzo, e c'è anche al numeratore.
Perchè nel libro(Marcellini sbordone) mi dà solo quella formula che ti ho scritto io e non mi spiega come fare nei vari casi...
P.S. invece per quello da fare con i fratti semplici, le costanti da determinare nel sistema mi vengono:
[tex]A+B=0[/tex]
[tex]A4=1[/tex]........
Mi sembra strano...
il secondo integrale credo si faccia così vedi sopra scusate se non ho controllato facendo la derivata...cmq si fa 1/2 arctg t/2...anche io ho studiato sul marcellini sbordone
E' corretto il sistema che hai ottenuto :
$A+B=0 $
$4A =1 $
da cui si ottengono facilmente le soluzioni per $A, B $.
$A+B=0 $
$4A =1 $
da cui si ottengono facilmente le soluzioni per $A, B $.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo