Altro integrale improprio
Ciao, per la prima votla affronto un integrale improprio di seconda specie con entrambi gli estremi fuori dal dominio.
$ int_(0)^(+oo) e^(1-4sqrtx)/sqrtx dx $
Da stabilirne sono la convergenza e poi il valore.Ovviamente in 0 la funzione è discontinua.
Ho pensato che si debba dare una stima asintotica delle funzioni a entrambi gli estremi.. come suggerite di trovare delle funzioni asintoticamente equivalenti a questa?
$ int_(0)^(+oo) e^(1-4sqrtx)/sqrtx dx $
Da stabilirne sono la convergenza e poi il valore.Ovviamente in 0 la funzione è discontinua.
Ho pensato che si debba dare una stima asintotica delle funzioni a entrambi gli estremi.. come suggerite di trovare delle funzioni asintoticamente equivalenti a questa?
Risposte
Studia separatamente i casi per $x \to 0^+$ ed $x \to +\infty$.
Puoi usare taylor nel primo caso, nel secondo caso dovresti ricondurti a dei criteri per gli integrali impropri.
Anzi, volendo neanche c'è bisogno di Taylor...ma usandolo va bene uguale.
Puoi usare taylor nel primo caso, nel secondo caso dovresti ricondurti a dei criteri per gli integrali impropri.
Anzi, volendo neanche c'è bisogno di Taylor...ma usandolo va bene uguale.
"Mephlip":
Studia separatamente i casi per $x \to 0^+$ ed $x \to +\infty$.
Puoi usare taylor nel primo caso, nel secondo caso dovresti ricondurti a dei criteri per gli integrali impropri.
La soluzione sul testo indica che $ e^(1-4sqrtx)/sqrtx $ è asintoticamente equivalente ad $ e/sqrtx $
Però sembra come se sostituisca il valore 0 solo all'esponente e non al denominatore. Non credo sia un procedimento corretto sostituire solo una variabile, giusto?
Cosa significa che due funzioni sono asintoticamente equivalenti per $x \to x_0$?
In un certo senso brutalmente fa quello, ma se ti è chiaro il significato di asintoticamente equivalente non dovrebbe stupirti!
In un certo senso brutalmente fa quello, ma se ti è chiaro il significato di asintoticamente equivalente non dovrebbe stupirti!
"Mephlip":
Cosa significa che due funzioni sono asintoticamente equivalenti per $x \to x_0$?
In un certo senso fa quello, ma se ti è chiaro il significato di asintoticamente equivalente non dovrebbe stupirti!
Ma è come se facesse il limite per $x->0^+$ della funzione. Non è sbagliato svolgere il limite solo parzialmente?
Se deve calcolare la x come 0 allora in base a cosa la sostituisce solo a una variabile se le variabili sono la stessa?
Sì, passare al limite a pezzi è sbagliato; ma qui non sta facendo propriamente quello.
A tal proposito, per capire qual è la differenza tra i due procedimenti, rinnovo la domanda: cosa significa che due funzioni sono asintoticamente equivalenti per $x \to x_0$?
P.S.: Se rispondi direttamente all'utente dell'ultimo messaggio è meglio non citare, a meno che tu non ti riferisca a particolari punti del suo messaggio
è più pulito da vedere.
A tal proposito, per capire qual è la differenza tra i due procedimenti, rinnovo la domanda: cosa significa che due funzioni sono asintoticamente equivalenti per $x \to x_0$?
P.S.: Se rispondi direttamente all'utente dell'ultimo messaggio è meglio non citare, a meno che tu non ti riferisca a particolari punti del suo messaggio
è più pulito da vedere.
Beh due funzioni son asintoticamente equivalenti per x che tende a un punto se il limite di x tendente al punto stesso è uguale per entrambe le funzioni, giusto?
Inoltre se due funzioni son asintoticamente equivalenti, la convergenza di una (a patto che questa non possa mai avere come valore della funzione $f(x)=0$ (tra gli estremi di integrazione o in tutto il dominio poi?)) implica la convergenza dell'altra.
Quindi credo che valga solo se entrambe le funzioni son positive in tutto il dominio. Ma non so come si agirebbe nel caso ciò non sia rispettato.
In questo caso sia $e^(1-4sqrtx)/sqrtx$ che $e/sqrtx$ divergono a $+oo$, e non credo serva usare neanche l'equivalenza asintotica dato che il limite dela funzione iniziale è semplice da risolvere per calcolarne direttamente la convergenza.
Poi però non so come influisce la convergenza o divergenza della funzione.
Inoltre se due funzioni son asintoticamente equivalenti, la convergenza di una (a patto che questa non possa mai avere come valore della funzione $f(x)=0$ (tra gli estremi di integrazione o in tutto il dominio poi?)) implica la convergenza dell'altra.
Quindi credo che valga solo se entrambe le funzioni son positive in tutto il dominio. Ma non so come si agirebbe nel caso ciò non sia rispettato.
In questo caso sia $e^(1-4sqrtx)/sqrtx$ che $e/sqrtx$ divergono a $+oo$, e non credo serva usare neanche l'equivalenza asintotica dato che il limite dela funzione iniziale è semplice da risolvere per calcolarne direttamente la convergenza.
Poi però non so come influisce la convergenza o divergenza della funzione.
Sì, detto meglio: due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono asintoticamente equivalenti per $x \to x_0$ se
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$$
Quindi che succede se ti calcoli
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{\frac{e}{\sqrt{x}}}$$
Ti basta questa informazione per concludere il discorso per $x \to 0^+$!
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$$
Quindi che succede se ti calcoli
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{\frac{e}{\sqrt{x}}}$$
Ti basta questa informazione per concludere il discorso per $x \to 0^+$!
Le condizioni di validità sono che $f(x)>=0$ e $g(x)>0$, ma come vedo se questa condizione è rispettata prima di applicare il criterio del confronto asintotico? 
Hai dei rapporti tra esponenziali e radici, se non sono positivi loro...inoltre $\sqrt{x} > 0$ in un intorno destro di $0$.
Comunque questa stima asintotica dovrebbe servire solo per rendere la verifica della convergenza più semplice ma non dovrebbe comunque essere un passaggio necessario. Anzi non capisco a che vantaggio porti a dire il vero.
Ma dopo aver visto ciò, come verifico effettivamente la convergenza dato che entrambi gli estremi non appartengono al dominio?
Dovrei dare pure una stima asintotica per $x rarr +oo$?
Ultima cosa, serve a qualcosa calcolare la convergenza della funzione prima della convergenza dell'integrale?
Ma dopo aver visto ciò, come verifico effettivamente la convergenza dato che entrambi gli estremi non appartengono al dominio?
Dovrei dare pure una stima asintotica per $x rarr +oo$?
Ultima cosa, serve a qualcosa calcolare la convergenza della funzione prima della convergenza dell'integrale?
Facciamo un po' di chiarezza: un integrale è improprio se l'intervallo di integrazione è illimitato, se la funzione è illimitata per $x \to x_0$ o se si verificano entrambe queste casistiche.
In questi casi, conviene spezzare l'integrale utilizzando l'additività dello stesso rispetto all'intervallo di integrazione, in modo tale che ci sia un solo "problema" alla volta.
Quindi
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x=\int_{0}^{25} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x+\int_{25}^{+\infty} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x$$
Ho scelto di spezzarlo in $x=25$ perché mi andava.
Quindi, come vedi, l'unico modo affinché questo integrale converga è che convergano entrambi gli integrali al membro di destra; perciò sì, devi fare qualcosa anche per $x \to +\infty$.
Ora non so come sei messo a teoria o che criteri sai/devi usare, però ci sono delle funzioni note che fungono da confronto per determinare se un integrale converge o no.
Queste funzioni sono del tipo $f(x)=\frac{1}{x^a}$ oppure $g(x)=\frac{1}{e^{ax}}$, ecc..
Visto che il testo a cui ti riferisci usa il criterio del confronto asintotico, usiamo quello: abbiamo visto che le ipotesi sono rispettate, perciò hai che l'integrale
$$\int_{0}^{2} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x$$
Si comporta come l'integrale $$\int_{0}^{2} \frac{e}{\sqrt{x}}\text{d}x$$
Quindi, come concludiamo?
Per $x \to +\infty$ devi modificare opportunamente il ragionamento visto che ora ci interessano valori "grandi" della $x$, ma il ragionamento è sostanzialmente equivalente nella forma; oppure puoi usare un confronto non asintotico.
Capirai l'importanza di tutto questo quando avrai funzioni orrende, piene di seni iperbolici, coseni, esponenziali e radici; funzioni che non si integrano elementarmente.
Per quanto riguarda la convergenza, non ho capito bene: se intendi studiarne il limite sì, perché ti dà proprio informazioni sull'andamento asintotico.
In questi casi, conviene spezzare l'integrale utilizzando l'additività dello stesso rispetto all'intervallo di integrazione, in modo tale che ci sia un solo "problema" alla volta.
Quindi
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x=\int_{0}^{25} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x+\int_{25}^{+\infty} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x$$
Ho scelto di spezzarlo in $x=25$ perché mi andava.
Quindi, come vedi, l'unico modo affinché questo integrale converga è che convergano entrambi gli integrali al membro di destra; perciò sì, devi fare qualcosa anche per $x \to +\infty$.
Ora non so come sei messo a teoria o che criteri sai/devi usare, però ci sono delle funzioni note che fungono da confronto per determinare se un integrale converge o no.
Queste funzioni sono del tipo $f(x)=\frac{1}{x^a}$ oppure $g(x)=\frac{1}{e^{ax}}$, ecc..
Visto che il testo a cui ti riferisci usa il criterio del confronto asintotico, usiamo quello: abbiamo visto che le ipotesi sono rispettate, perciò hai che l'integrale
$$\int_{0}^{2} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x$$
Si comporta come l'integrale $$\int_{0}^{2} \frac{e}{\sqrt{x}}\text{d}x$$
Quindi, come concludiamo?
Per $x \to +\infty$ devi modificare opportunamente il ragionamento visto che ora ci interessano valori "grandi" della $x$, ma il ragionamento è sostanzialmente equivalente nella forma; oppure puoi usare un confronto non asintotico.
Capirai l'importanza di tutto questo quando avrai funzioni orrende, piene di seni iperbolici, coseni, esponenziali e radici; funzioni che non si integrano elementarmente.
Per quanto riguarda la convergenza, non ho capito bene: se intendi studiarne il limite sì, perché ti dà proprio informazioni sull'andamento asintotico.
Ciao Jaeger90,
Nel caso specifico dell'integrale improprio proposto è più semplice calcolarlo direttamente...
Infatti, dopo aver risolto il corrispondente integrale indefinito che è immediato essendo facilmente riconducibile alla forma $\int e^{f(x)} f'(x) \text{d}x $, non è difficile verificare che si ha:
$ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x = e/2 $
Nel caso specifico dell'integrale improprio proposto è più semplice calcolarlo direttamente...
Infatti, dopo aver risolto il corrispondente integrale indefinito che è immediato essendo facilmente riconducibile alla forma $\int e^{f(x)} f'(x) \text{d}x $, non è difficile verificare che si ha:
$ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\text{d}x = e/2 $
"Mephlip":
Per quanto riguarda la convergenza, non ho capito bene: se intendi studiarne il limite sì, perché ti dà proprio informazioni sull'andamento asintotico.
Ciao, riprendo un attimo la discussione dopo tanto tempo.
Ho un po' di confusione tra l'uso del confronto asintotico per quanto riguarda il limite della funzione asintoticamente equivalente e il limite dell'integrale della funzione asintoticamente equivalente.
Cosa cambia tra i due?
Nel contronto asintotico fra integrali ho che g(x) non deve essere minore di f(x). Inoltre esso mi permette di dire che entrambi convergono o divergono, ma se convergono non è detto che convergano allo stesso valore, mentre se divergono, allora divergeranno entrambi allo stesso modo?
Come funziona il confronto asintotico della funzione? E' sempre valido a prescindere da tutto, e quindi se una funzione asintoticamente equivalente converge o diverge, lo fa anche l'altra? Inoltre se convergono o divergono, lo fanno verso lo stesso punto?
Prima ho usato il confronto asintotico come suggeriva il libro, ma a che scopo?
Al posto di effettuare il limite della funzione asintoticamente equivalente, non potevo applicarlo direttamente a quella di partenza? Che vantaggio dovrebbe dare?
Comunque si dovrebbe effettuare il limite delle varie parti e si arriverebbe ad eliminare il $4*sqrt(x)$, quindi non vedo alcuna semplificazione utile nell'usare il criterio del confronto asintotico
Detto ciò, ho provato ad avanzare nell'esercizio.
Trovo $lim_(x->0^+) e/sqrt(x) = +oo $
Quindi, anche la funzione di partenza converge a $+oo$ per $x->0^+$
Anche se non mi è chiaro a cosa serva calcolare la convergenza o divergenza della funzione nei punti critici ai fini della convergenza o divergenza dell'integrale.
Poi devo effettuare lo stesso procedimento per l'altro estremo di integrazione. Hai detto che posso anche qui usare un confronto ma ancora una volta non ne capisco il motivo, e non saprei comunque come fare in questo caso dato che non riesco a riportarmi a nulla. Il docente tuttavia vuole che lo si usi a prescindere e non vuole i calcoli diretti, quindi servirebbe trovare questa equivalenza asintotica che non mi viene in mente.
Dopo aver fatto la seconda equivalenza asintotica dovrei calcolare separatamente gli integrali per i due estremi(anche usando le funzioni ottenute tramite equivalenza asintotica, ma in tal caso facendo attenzione al fatto che si deve ora verificare che g(x) non sia mai minore di f(x), cosa che potrebbe essere non valida), sapendo anche che sono di 2 specie diverse.
Il fatto è che, quando si decide di utilizzare il criterio del confronto asintotico, si cerca una funzione $g(x)$ con la quale utilizzarlo; intendevo questo nella parte del messaggio che hai citato in quest'ultima risposta.
Mi spiego meglio: vogliamo utilizzare il criterio del confronto asintotico per $x \to 0^+$ con $f(x)$ la funzione integranda, ossia $f(x)=\frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$.
Ci serve una $g(x)$ tale che $g(x) > 0$ per ogni $x \in (0,+\infty)$ e tale che sia
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{g(x)}=l \in (0,+\infty)$$
Cosa si fa "brutalmente"?
Si nota che $-4\sqrt{x}$ all'esponente di $e^{1-4\sqrt{x}}$ non conta quando $x \to 0^+$, perché c'è quella costante $1$; perciò si "omette", con questo "omette" intendevo, nei post precedenti, che sembra sia stato mandato al limite per pezzi.
Non è stato mandato al limite a pezzi, semplicemente con un po' di occhio si deve vedere cosa conta.
Dunque si nota che la funzione $g(x)$ cercata è quella che "conta al limite", ossia $\frac{e}{\sqrt{x}}$; ecco perché ti dicevo che è importante capire come si comporta asintoticamente la funzione, perché in termini spiccioli tu stai ricercando la funzione da usare nel criterio del confronto asintotico tramite quella che è rilevante al limite.
Perché si fa questo? Perché, se manteniamo solo ciò che conta, il limite del rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ sarà $1$ in quanto abbiamo omesso la parte che non influenza effettivamente il limite, ed essendo $1\in(0,+\infty)$ potremo utilizzare il criterio del confronto asintotico con quella $g(x)$ (ovviamente speriamo di sapere se l'integrale di $g(x)$ convergerà/divergerà) non appena avremo verificato le altre ipotesi.
Le altre ipotesi sono soddisfatte? Sì, perché come ti dicevo nei post precedenti abbiamo quantità positive e non negative (tutti esponenziali e radici).
Dunque il criterio del confronto asintotico ci assicura che gli integrali hanno lo stesso comportamento.
Similmente si procede per $x\to+\infty$, passando per qualche stima; ti consiglio di studiare (o ri-studiare se già l'hai fatto) la dimostrazione del criterio del confronto asintotico, secondo me da essa si capisce benissimo cosa sta succedendo e ciò potrebbe toglierti questi dubbi!
Poi, come ha già detto pilloeffe, non è essenziale utilizzarlo; questa funzione si poteva addirittura integrare esplicitamente.
Però questo non si può fare sempre, dunque in quei casi uno degli approcci standard è questo.
Spero di averti chiarito qualcosa in più, ad essere onesto non ho riletto tutto perché ora non ho tanto tempo per farlo; magari se hai altri dubbi provo a risponderti (o magari non li ho proprio capiti e sperabilmente qualcuno saprà chiarirteli meglio di me!)
Inoltre ci sono dei casi "limite" del confronto asintotico, quando $l=0$ oppure $l=+\infty$; ma penso che questo sia qualcosa che affronterai in futuro quando avrai piena dimestichezza dei casi standard.
Mi spiego meglio: vogliamo utilizzare il criterio del confronto asintotico per $x \to 0^+$ con $f(x)$ la funzione integranda, ossia $f(x)=\frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$.
Ci serve una $g(x)$ tale che $g(x) > 0$ per ogni $x \in (0,+\infty)$ e tale che sia
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{e^{1-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}{g(x)}=l \in (0,+\infty)$$
Cosa si fa "brutalmente"?
Si nota che $-4\sqrt{x}$ all'esponente di $e^{1-4\sqrt{x}}$ non conta quando $x \to 0^+$, perché c'è quella costante $1$; perciò si "omette", con questo "omette" intendevo, nei post precedenti, che sembra sia stato mandato al limite per pezzi.
Non è stato mandato al limite a pezzi, semplicemente con un po' di occhio si deve vedere cosa conta.
Dunque si nota che la funzione $g(x)$ cercata è quella che "conta al limite", ossia $\frac{e}{\sqrt{x}}$; ecco perché ti dicevo che è importante capire come si comporta asintoticamente la funzione, perché in termini spiccioli tu stai ricercando la funzione da usare nel criterio del confronto asintotico tramite quella che è rilevante al limite.
Perché si fa questo? Perché, se manteniamo solo ciò che conta, il limite del rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ sarà $1$ in quanto abbiamo omesso la parte che non influenza effettivamente il limite, ed essendo $1\in(0,+\infty)$ potremo utilizzare il criterio del confronto asintotico con quella $g(x)$ (ovviamente speriamo di sapere se l'integrale di $g(x)$ convergerà/divergerà) non appena avremo verificato le altre ipotesi.
Le altre ipotesi sono soddisfatte? Sì, perché come ti dicevo nei post precedenti abbiamo quantità positive e non negative (tutti esponenziali e radici).
Dunque il criterio del confronto asintotico ci assicura che gli integrali hanno lo stesso comportamento.
Similmente si procede per $x\to+\infty$, passando per qualche stima; ti consiglio di studiare (o ri-studiare se già l'hai fatto) la dimostrazione del criterio del confronto asintotico, secondo me da essa si capisce benissimo cosa sta succedendo e ciò potrebbe toglierti questi dubbi!
Poi, come ha già detto pilloeffe, non è essenziale utilizzarlo; questa funzione si poteva addirittura integrare esplicitamente.
Però questo non si può fare sempre, dunque in quei casi uno degli approcci standard è questo.
Spero di averti chiarito qualcosa in più, ad essere onesto non ho riletto tutto perché ora non ho tanto tempo per farlo; magari se hai altri dubbi provo a risponderti (o magari non li ho proprio capiti e sperabilmente qualcuno saprà chiarirteli meglio di me!)
Inoltre ci sono dei casi "limite" del confronto asintotico, quando $l=0$ oppure $l=+\infty$; ma penso che questo sia qualcosa che affronterai in futuro quando avrai piena dimestichezza dei casi standard.
Quello che non mi è chiaro è il ragionamento alla base, o meglio la relazione tra convergenza e divergenza di funzione integranda e dell'integrale in sè.
Il confronto asintotico per integrali si esegue facendo il limite sull'integrale di una funzione g(x) ottenuta per equivalenza asintotica: se l'integrale di g(x) converge, allora anche l'integrale di f(x) converge (anche se a numeri diversi); mentre se l'integrale di g(x) diverge, anche l'integrale di f(x) diverge (penso con stesso verso di infinito?).
Tuttavia sul libro in questo caso studia la convergenza non degli integrali ma delle funzioni integrande usando comunque le stesse equivalenze asintotiche, ma non trovo criteri di convergenza per funzioni...
Come se non bastasse, dopo aver studiato la convergenza e divergenza delle funzioni avute con confronto asintotico (non degli integrali), dice direttamente che l'integrale improprio converge.
Non riesco proprio a seguire la logica, e anche la relazione tra funzione integranda e integrale per quanto riguarda la convergenza e divergenza..
Inoltre non riesco a trovare una funzione asintoticamente equivalente per $x->+oo$ di $f(x)$
Grazie.
Il confronto asintotico per integrali si esegue facendo il limite sull'integrale di una funzione g(x) ottenuta per equivalenza asintotica: se l'integrale di g(x) converge, allora anche l'integrale di f(x) converge (anche se a numeri diversi); mentre se l'integrale di g(x) diverge, anche l'integrale di f(x) diverge (penso con stesso verso di infinito?).
Tuttavia sul libro in questo caso studia la convergenza non degli integrali ma delle funzioni integrande usando comunque le stesse equivalenze asintotiche, ma non trovo criteri di convergenza per funzioni...
Come se non bastasse, dopo aver studiato la convergenza e divergenza delle funzioni avute con confronto asintotico (non degli integrali), dice direttamente che l'integrale improprio converge.
Non riesco proprio a seguire la logica, e anche la relazione tra funzione integranda e integrale per quanto riguarda la convergenza e divergenza..
Inoltre non riesco a trovare una funzione asintoticamente equivalente per $x->+oo$ di $f(x)$
Grazie.
Certamente, se il confronto asintotico assicura la convergenza in generale gli integrali convergeranno a due valori diversi; mentre, per quanto riguarda la divergenza, l'ipotesi che le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ siano rispettivamente non negativa e positiva fanno sì che la divergenza possa essere solo a $+\infty$.
Comunque ripeto: tutto sta nella dimostrazione, ora te la scrivo e cerchiamo di fare luce.
Indicherò con $\mathbb{R}^+$ i reali non negativi e con $\mathbb{R}_0^+$ i reali positivi, mentre con $x_0$ indico il "punto problematico" (ossia il punto che rende improprio l'integrale).
Teorema (del confronto asintotico per integrali)
Sia $E \subset \mathbb{R}$ un intervallo (o una semiretta) e siano $f:E \to \mathbb{R}_+$, $g:E \to mathbb{R}_0^+$ due funzioni.
Supponiamo che
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=l\in(0,+\infty)$$
Allora
1) $\int_E g(x) \text{d}x$ convergente $\Leftrightarrow$ $\int_E f(x) \text{d}x$ convergente;
2) $\int_E g(x) \text{d}x$ divergente $\Leftrightarrow$ $\int_E f(x) \text{d}x$ divergente.
Dimostrazione
Per ipotesi si ha
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=l\in(0,+\infty)$$
perciò risulta definitivamente
$$\frac{l}{2} \leq \frac{f(x)}{g(x)} \leq \frac{3}{2}l$$
Essendo per ipotesi $g(x) > 0$, possiamo moltiplicare impunemente e senza invertire le disuguaglianze per $g(x)$; risulta quindi
$$\frac{l}{2}g(x) \leq f(x) \leq \frac{3l}{2}g(x)$$
Essendo l'integrale monotòno, dall'ultima disuguaglianza segue anche che
$$\int_E \frac{l}{2}g(x)\text{d}x \leq \int_E f(x)\text{d}x \leq \int_E \frac{3l}{2}g(x)\text{d}x$$
Ossia
$$\frac{l}{2} \int_E g(x)\text{d}x \leq \int_E f(x)\text{d}x \leq \frac{3l}{2} \int_E g(x)\text{d}x$$
Dunque se $\int_E g(x) \text{d}x$ converge guardiamo la disuguaglianza $\int_E f(x)\text{d}x \leq \frac{3l}{2} \int_E g(x)\text{d}x$: essendo $\int_E f(x) \text{d}x$ maggiorato da un integrale convergente, per il teorema del confronto (non asintotico) per integrali converge anche $\int_E f(x) \text{d}x$.
Se invece $\int_E g(x) \text{d}x$ diverge guardiamo la disuguaglianza $\int_E \frac{l}{2}g(x)\text{d}x \leq \int_E f(x)\text{d}x$: essendo $\int_E f(x) \text{d}x$ minorato da un integrale divergente, per il teorema del confronto (non asintotico) per integrali diverge anche $\int_E f(x) \text{d}x$. $\square$
Come puoi vedere, sostanzialmente si studia solo la funzione perché l'integrale è monotòno; quello che avviene sul rapporto di funzioni può essere stimato dal limite con $l$ dell'ipotesi, tale limite ti dà una stima tra $f$ e $g$ ed infine la monotonia dell'integrale trasporta l'informazione ottenuta all'integrale.
Comunque ripeto: tutto sta nella dimostrazione, ora te la scrivo e cerchiamo di fare luce.
Indicherò con $\mathbb{R}^+$ i reali non negativi e con $\mathbb{R}_0^+$ i reali positivi, mentre con $x_0$ indico il "punto problematico" (ossia il punto che rende improprio l'integrale).
Teorema (del confronto asintotico per integrali)
Sia $E \subset \mathbb{R}$ un intervallo (o una semiretta) e siano $f:E \to \mathbb{R}_+$, $g:E \to mathbb{R}_0^+$ due funzioni.
Supponiamo che
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=l\in(0,+\infty)$$
Allora
1) $\int_E g(x) \text{d}x$ convergente $\Leftrightarrow$ $\int_E f(x) \text{d}x$ convergente;
2) $\int_E g(x) \text{d}x$ divergente $\Leftrightarrow$ $\int_E f(x) \text{d}x$ divergente.
Dimostrazione
Per ipotesi si ha
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=l\in(0,+\infty)$$
perciò risulta definitivamente
$$\frac{l}{2} \leq \frac{f(x)}{g(x)} \leq \frac{3}{2}l$$
Essendo per ipotesi $g(x) > 0$, possiamo moltiplicare impunemente e senza invertire le disuguaglianze per $g(x)$; risulta quindi
$$\frac{l}{2}g(x) \leq f(x) \leq \frac{3l}{2}g(x)$$
Essendo l'integrale monotòno, dall'ultima disuguaglianza segue anche che
$$\int_E \frac{l}{2}g(x)\text{d}x \leq \int_E f(x)\text{d}x \leq \int_E \frac{3l}{2}g(x)\text{d}x$$
Ossia
$$\frac{l}{2} \int_E g(x)\text{d}x \leq \int_E f(x)\text{d}x \leq \frac{3l}{2} \int_E g(x)\text{d}x$$
Dunque se $\int_E g(x) \text{d}x$ converge guardiamo la disuguaglianza $\int_E f(x)\text{d}x \leq \frac{3l}{2} \int_E g(x)\text{d}x$: essendo $\int_E f(x) \text{d}x$ maggiorato da un integrale convergente, per il teorema del confronto (non asintotico) per integrali converge anche $\int_E f(x) \text{d}x$.
Se invece $\int_E g(x) \text{d}x$ diverge guardiamo la disuguaglianza $\int_E \frac{l}{2}g(x)\text{d}x \leq \int_E f(x)\text{d}x$: essendo $\int_E f(x) \text{d}x$ minorato da un integrale divergente, per il teorema del confronto (non asintotico) per integrali diverge anche $\int_E f(x) \text{d}x$. $\square$
Come puoi vedere, sostanzialmente si studia solo la funzione perché l'integrale è monotòno; quello che avviene sul rapporto di funzioni può essere stimato dal limite con $l$ dell'ipotesi, tale limite ti dà una stima tra $f$ e $g$ ed infine la monotonia dell'integrale trasporta l'informazione ottenuta all'integrale.
Sono ancora più confuso..
Per prima cosa, come fa il confronto asintotico della funzione integranda (non dell'integrale) usando l'equivalenza asintotica? Questa era la domanda di base. Non so se usa un teorema simile a quello del confronto asintotico per integrali impropri o una cosa a se.
Hai detto che in quanto l'integrale è monotono basta vedere la funzione... ma davvero non capisco come, soprattutto considerato che senza calcolare l'integrale non so come faccia a sapere che è monotono.
Poi nei vari teoremi si definisce f(x) >0 come requisito necessario, perchè?
Per prima cosa, come fa il confronto asintotico della funzione integranda (non dell'integrale) usando l'equivalenza asintotica? Questa era la domanda di base. Non so se usa un teorema simile a quello del confronto asintotico per integrali impropri o una cosa a se.
Hai detto che in quanto l'integrale è monotono basta vedere la funzione... ma davvero non capisco come, soprattutto considerato che senza calcolare l'integrale non so come faccia a sapere che è monotono.
Poi nei vari teoremi si definisce f(x) >0 come requisito necessario, perchè?
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