Altro integrale fratto...
ancora alle prese con gli integrali...
questa volta il testo è:
`int x/sqrt(1+x^2) dx`
e mi sono impallato...
in questo caso, visto che il denominatore è di grado superiore al numeratore, come dovrei procedere?
questa volta il testo è:
`int x/sqrt(1+x^2) dx`
e mi sono impallato...
in questo caso, visto che il denominatore è di grado superiore al numeratore, come dovrei procedere?
Risposte
Puoi scriverlo così
$\frac{1}{2} \int 2x (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} dx$
e ora è immediato.
$\frac{1}{2} \int 2x (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} dx$
e ora è immediato.
scusami, ma non ho capito che passaggi hai fatto per arrivare a quella forma...
Ti scrivo lo svolgimento passo passo.
$int(x/(sqrt(1+x^2)))dx$
lo si può risolvere per sostituzione;
poniamo
$sqrt(1+x^2)=t$ e ricaviamo che $t^2=x^2+1$
calcoliamo ora $2xdx=2tdt$ e quindi $tdt=xdx$
sostituendo ricaviamo il nuovo integrale indefinito $int(t/t)dt = int(1)dt = t$ abbiamo quindi trovato che il risultato dell'integrale (in x) è pari a
$sqrt(x^2+1)$
Spero sia tutto giusto e chiaro. a presto
$int(x/(sqrt(1+x^2)))dx$
lo si può risolvere per sostituzione;
poniamo
$sqrt(1+x^2)=t$ e ricaviamo che $t^2=x^2+1$
calcoliamo ora $2xdx=2tdt$ e quindi $tdt=xdx$
sostituendo ricaviamo il nuovo integrale indefinito $int(t/t)dt = int(1)dt = t$ abbiamo quindi trovato che il risultato dell'integrale (in x) è pari a
$sqrt(x^2+1)$
Spero sia tutto giusto e chiaro. a presto
ora sì che mi sono perso... amen... 
Ciao crazymath,
in questo caso la funzione integranda non è una normale funzione polinomiale fratta (al denominatore compare una radice!) quindi non aiuta parlare di "grado" di numeratore e/o denominatore.
Quello di cui ti puoi accorgere invece, come ti ha fatto notare Tipper, è che, moltiplicando e dividendo per 2 e portando fuori l'1/2, si tratta di una opportuna potenza della funzione $x^2+1$ moltiplicata per la sua derivata ($2x$).
Quindi l'integrale è immediato.
in questo caso la funzione integranda non è una normale funzione polinomiale fratta (al denominatore compare una radice!) quindi non aiuta parlare di "grado" di numeratore e/o denominatore.
Quello di cui ti puoi accorgere invece, come ti ha fatto notare Tipper, è che, moltiplicando e dividendo per 2 e portando fuori l'1/2, si tratta di una opportuna potenza della funzione $x^2+1$ moltiplicata per la sua derivata ($2x$).
Quindi l'integrale è immediato.
ok scusate, come non detto!
Non volevo creare piu casino del dovuto; ho solo riportato lo sviluppo piu semplice ed immediato cui ho pensato!
Ma almeno ciò che ho scritto è giusto? mah
Non volevo creare piu casino del dovuto; ho solo riportato lo sviluppo piu semplice ed immediato cui ho pensato!
Ma almeno ciò che ho scritto è giusto? mah
"mrpoint":
ok scusate, come non detto!
Non volevo creare piu casino del dovuto; ho solo riportato lo sviluppo piu semplice ed immediato cui ho pensato!
Ma almeno ciò che ho scritto è giusto? mah
Non sono sicurissimo che un matematico approverebbe appieno il tuo ragionamento.
Diciamo che è convincente
e io, quindi, di cosa doveri convincermi...?
hai due soluzioni diverse, uno svolgimento quantomeno "convincente"... basta che provi a rifarlo alla luce di questo nuovo mondo che ti abbiamo aperto! 
alla fine ho risolto così:
`intx/sqrt(1+x^2)dx = intx(1+x^2)^(-1/2)dx = (1-x^2)^(1/2)+c = sqrt(1-x^2)+c`
grazie!
`intx/sqrt(1+x^2)dx = intx(1+x^2)^(-1/2)dx = (1-x^2)^(1/2)+c = sqrt(1-x^2)+c`
grazie!
Esatto... 
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