Altro integrale col metodo residui

[AlyAly2]

Ciao a tutti, ci sono un paio di integrali che non mi vengono, poichè sono simili ne posto solo uno:
$ int_(-oo)^(oo) e^z/(e^(7/3z)+1) dz $
Io l'ho svolto così:
Chiamo $f(z)$ la funzione integranda e considero la curva chiusa $gamma_R$ che è il bordo di un rettangolo, percorso in senso antiorario, di estremi $+-R,+-R+i6/7pi$. Si ha che:
$ int_(gamma_R) f(z) dz = int_(-R)^R f(z) dz + int_(-R)^(R+i6/7pi) f(z) dz - int_(-R+i6/7pi)^(R+i6/7pi) f(z) dz - int_(-R)^(-R+i6/7pi) f(z) dz $
$ lim_(R -> oo) int_(R)^(R+i6/7pi) f(z) dz =0 $
$ lim_(R -> oo) int_(-R)^(-R+i6/7pi) f(z) dz =0 $
Inoltre $ int_(-R+i6/7pi)^(R+i6/7pi) f(z) dz = e^(ipi6/7) int_(-R)^R f(z) dz $ (tra l'altro..perchè vale questa uguaglianza?è scritta nelle dispense del professore ma non mi è chiara..)
Applicando poi il teorema dei residui si ricava:
$ int_(-oo)^(oo) e^z/(e^(7/3z)+1) dz =2ipi/(1-e^(6/7ipi)) sum_(omegainP_fnn Sigma ) Res(f,omega) $
dove $P_f$ è l'insieme dei poli e $Sigma={omega in CC|0 L'unico polo che cade là dentro è $omega=3/7ipi$ e $Res(f,omega)=3/7 e^(3/7ipi)/e^(ipi) $
Tuttavia applicando tale valore nella formula prima trovata mi viene come valore dell'integrale $3/7pi1/(sin(4/7pi))$ che è sbagliato...qualcuno sa trovarmi l'errore?
Grazie mille in anticipo a tutti!

[AlyAly2]

Eh già, non avevo pensato al cambio di variabile, grazie!
Per quanto riguarda il risultato quello delle soluzioni è $3/7pi/sin(3pi/7)$, quindi non è la stessa cosa...magari è sbagliato il risultato, non saprei..

[AlyAly2]

Forse dico una cavolata ma..non dovrebbe esserci un meno?
$ sin(3/7pi)=(e^(3/7pii)-e^(-3/7pii))/(2i)=(e^(-4/7pii)-e^(4/7pii))/(2i)=-(e^(4/7pii)-e^(-4/7pii))/(2i)=-sin(4/7pi) $

[AlyAly2]

Capito,grazie mille!